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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算课时作业
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算课时作业，共37页。
并集：由所有属于集合或集合的元素组成的集合，称为集合集合是集合与的并集.记作：.即.
知识点二 交集
交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合是集合与的交集.记作：.即.
知识点三 全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的 ，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作 .
知识点四 补集
对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作:,即.
并集的运算（列举法）
已知集合，1，，集合，0，，则
A．，B．C．，0，D．，0，1，
已知集合，0，1，，，则
A．，B．，1，C．，0，1，D．，0，1，2，
已知集合，，1，3，，则
A．，B．，
C．，1，2，3，4，D．，0，1，2，3，4，
已知集合，，，，则
A．B．C．D．
并集的运算（描述法）
已知集合，，则
A．B．C．D．
已知集合，，则
A．B．C．D．
集合，，则
A．B．，C．，D．
已知集合，，则
A．B．，
C．，，D．，，
交集的运算（列举法）
设集合，3，6，，，2，3，5，，则
A．，B．，5，
C．，5，6，8，D．，2，3，5，6，8，
已知集合，，集合，4，5，6，7，8，，则中元素的个数为
A．1B．2C．3D．4
已知集合，，0，，，则
A．，0，B．，C．，1，D．，
，，则
A．，B．，C．，D．，
交集的运算（描述法）
若集合，，则
A．B．C．D．
已知集合，，则
A．，B．，C．，D．，
若集合，，则
A．B．
C．D．
已知集合，，则
A．B．C．D．
交集的运算（点的坐标）
已知集合，，则
A．B．C．，D．，
已知，，则等于
A．，B．C．D．
已知集合，，则集合的子集个数为
A．2B．4C．8D．16
已知集合，，，则
A．B．，C．，D．，
并集、交集性质的应用
设，．
（1）写出集合的所有子集；
（2）若，求的范围．
已知集合，，，集合，．
（1）若集合，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
已知集合，，
（1）若，求实数的值．
（2）若，求实数的取值范围．
设集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
已知集合，，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
已知集合，．
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
已知集合，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围．
补集的运算
已知集合，，0，1，2，，，1，，则
A．，B．，，0，C．，0，D．，0，
已知全集，集合，4，5，，则
A．，B．，2，C．，7，D．，2，7，
已知集合，1，2，3，，，1，，则
A．，1，B．，1，2，3，C．，D．，
已知集合，，，则的子集个数为
A．3B．4C．7D．8
已知集合，，则
A．B．
C．或D．或
已知全集，集合，则
A．B．或
C．或D．
已知全集，集合，则
A．，B．，C．，D．，
已知集合，，则
A．B．C．D．
Venn图
如图，已知全集，集合，2，3，4，，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为
A．3B．4C．7D．8
已知全集，，0，1，2，3，4，5，，，3，5，，，，1，3，，如图中阴影部分表示的集合为
A．，2，5，B．，2，3，5，
C．，2，3，4，5，D．，0，1，2，3，
设全集，2，3，4，，，，，3，，则图中阴影部分所表示的集合是
A．，2，B．，3，C．，D．，2，3，
如图，是全集，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是
A．B．
C．D．
容斥原理
某校高一（1）班50名学生全部参加100米和400米两项体育测试，100米和400米两项测试成绩合格的分别有29人和25人，这两项成绩都不合格的有6人，则这两项成绩都合格的人数是
A．9B．10C．11D．12
某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有 名．
A．62B．56C．46D．42
某班有学生48人，经调查发现，喜欢打羽毛球的学生有35人，喜欢打篮球的学生有20人．设既喜欢打羽毛球，又喜欢打篮球的学生的人数为，则的最小值是 ．
某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人．已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有 人．
交、并、补集的综合运算
已知全集，，，求，，，，．
已知集合，．求，，．
设全集小于8的自然数，集合，3，，集合，，求，，，．
已知是小于9的正整数，，5，6，，，5，7，．求：
（1）；
（2）；
（3）．
与补集有关的参数值的求解
已知集合，．
（1）若，求；
（2）在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．
已知集合，集合．现有三个条件：
条件①；
条件②；
条件③．
请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题：
（1）若，求；
（2）若______，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个选择的解答计分．
已知集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
已知集合，集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
1．已知集合，0，，，，则集合中元素个数为
A．3个B．4个C．5个D．6个
2．已知集合，集合，则
A．，B．C．D．
3．设集合，2，，，则
A．，B．，C．，2，D．，2，3，
4．已知集合，2，3，4，，，则
A．，2，B．，2，3，C．D．
6．已知集合，，则
A．B．，C．D．，
7．已知集合，，则
A．，，B．，，
C．，D．，
8．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为
A．，，B．，
C．，，D．，
10．已知集合，0，，，则 ．
11．已知集合，则集合中整数的个数为 个．
12．全集，集合，则 ．
13．已知集合，集合．
（Ⅰ）求集合；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围．
14．集合，．
（1）当时，求；
（2）问题：已知_______，求的取值范围．
从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．
①；
②；
③．
15．已知集合，集合，．
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）当时，求的取值范围．
专题1.3 集合的基本运算
知识点一 并集
并集：由所有属于集合或集合的元素组成的集合，称为集合集合是集合与的并集.记作：.即.
知识点二 交集
交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合是集合与的交集.记作：.即.
知识点三 全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
知识点四 补集
对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作:,即.
并集的运算（列举法）
已知集合，1，，集合，0，，则
A．，B．C．，0，D．，0，1，
【解答】解：集合，1，，集合，0，，
，0，1，．
故选：．
已知集合，0，1，，，则
A．，B．，1，C．，0，1，D．，0，1，2，
【解答】解：，0，1，，，2，，，0，1，2，．
故选：．
已知集合，，1，3，，则
A．，B．，
C．，1，2，3，4，D．，0，1，2，3，4，
【解答】解：集合，1，2，3，，
，1，3，，
，0，1，2，3，4，．
故选：．
已知集合，，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：集合，，，，
，
．
故选：．
并集的运算（描述法）
已知集合，，则
A．B．C．D．
【解答】解：集合，，
，
故选：．
已知集合，，则
A．B．C．D．
【解答】解：由题意得，，
故，
故选：．
集合，，则
A．B．，C．，D．
【解答】解：集合，
，
则．
故选：．
已知集合，，则
A．B．，C．，，D．，，
【解答】解：，
或，，
，，．
故选：．
交集的运算（列举法）
设集合，3，6，，，2，3，5，，则
A．，B．，5，
C．，5，6，8，D．，2，3，5，6，8，
【解答】解：由已知可得，，
故选：．
已知集合，，集合，4，5，6，7，8，，则中元素的个数为
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：集合，，集合，4，5，6，7，8，，
，7，，
中元素的个数为3，
故选：．
已知集合，，0，，，则
A．，0，B．，C．，1，D．，
【解答】解：，，0，，，
，．
故选：．
，，则
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：或，
，，0，，
则，．
故选：．
交集的运算（描述法）
若集合，，则
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得，
则，
故选：．
已知集合，，则
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：集合或，
，
则．
故选：．
若集合，，则
A．B．
C．D．
【解答】解：因为，，
所以，，
又，相互没有包含关系．
故选：．
已知集合，，则
A．B．C．D．
【解答】解：集合，
，
则．
故选：．
交集的运算（点的坐标）
已知集合，，则
A．B．C．，D．，
【解答】解：由题意可知集合表示直线，集合表示直线，
又表示两条直线的交点组成的集合，
故有：，得，
所以，
故选：．
已知，，则等于
A．，B．C．D．
【解答】解：根据题意，的元素为两条直线的交点，
则，，
故选：．
已知集合，，则集合的子集个数为
A．2B．4C．8D．16
【解答】解：集合，，
则集合，，，
集合的子集个数为．
故选：．
已知集合，，，则
A．B．，C．，D．，
【解答】解：，，，
，．
故选：．
并集、交集性质的应用
设，．
（1）写出集合的所有子集；
（2）若，求的范围．
【解答】解：（1），，
集合的所有子集是，，，，；
（2），，
，
当时，△，解得，
当时，，解得，此时，，不合题意；
当时，，解得，此时，，不合题意；
当，时，，此时，，符合题意．
综上，实数的取值范围是．
已知集合，，，集合，．
（1）若集合，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为集合，，，，
又集合，
所以，，
将代入方程，可得，解得或，
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意．
综上所述，或；
（2）若，
则，
当时，方程无解，则△，解得；
当时，则，无解；
当时，则，无解；
当，时，则，无解．
综上所述，实数的取值范围为．
已知集合，，
（1）若，求实数的值．
（2）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）集合，，
解得：集合，，，
由题意，得，0，是方程的两实数根，由根与系数关系可得：，
（2）因为，所以，所以或或或，
当时，△，解得；
当时，解得；
当时，无实数解；
当，时，解得；
综上得：或．
设集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）集合或，，
若，则是方程的实数根，
可得：，解得或；
（2），
，
当时，方程无实数根，
即
解得：或；
当时，方程有一个实数根，
则△
解得：或；
若，那么方程，可得
若，那么方程，可得
若只有两个实数根，、
△，则；
由韦达定理：且
此时无解
综上可得实数的取值范围是或
已知集合，，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）集合，，．
当时，，
；
（2），，
，解得，
实数的取值范围为．
已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为集合，
当时，，
所以；
（2）因为，所以，
①当时，则，解得；
②当时，则有，解得．
综上所述，的取值范围为，．
已知集合，．
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），
，
，
（2），．
，
的取值范围是，．
已知集合，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）集合，，
所以；
（Ⅱ）若，则，
因为，所以，
即实数的取值范围是，．
补集的运算
已知集合，，0，1，2，，，1，，则
A．，B．，，0，C．，0，D．，0，
【解答】解：，，0，1，2，，，1，，
，0，，
故选：．
已知全集，集合，4，5，，则
A．，B．，2，C．，7，D．，2，7，
【解答】解：全集，3，4，5，6，，，4，5，；
，．
故选：．
已知集合，1，2，3，，，1，，则
A．，1，B．，1，2，3，C．，D．，
【解答】解：集合，1，2，3，，，1，，则，，
故选：．
已知集合，，，则的子集个数为
A．3B．4C．7D．8
【解答】解：，3，4，，，，
，，的子集个数为：．
故选：．
已知集合，，则
A．B．C．或D．或
【解答】解：集合，，
或．
故选：．
已知全集，集合，则
A．B．或
C．或D．
【解答】解：全集，集合，
，
故选：．
已知全集，集合，则
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：因为全集，集合，
所以或，．
故选：．
已知集合，，则
A．B．C．D．
【解答】解：集合，，则．
故选：．
Venn图
如图，已知全集，集合，2，3，4，，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为
A．3B．4C．7D．8
【解答】解：由韦恩图可知，图中阴影部分表示的集合为，
，2，3，4，，，
，4，，则子集的个数为8个，
故选：．
已知全集，，0，1，2，3，4，5，，，3，5，，，，1，3，，如图中阴影部分表示的集合为
A．，2，5，B．，2，3，5，
C．，2，3，4，5，D．，0，1，2，3，
【解答】解：图中阴影部分表示的集合为，2，3，4，5，，
故选：．
设全集，2，3，4，，，，，3，，则图中阴影部分所表示的集合是
A．，2，B．，3，C．，D．，2，3，
【解答】解：由图中阴影部分可知对应集合为，
全集，2，3，4，，集合，，，3，，
，2，，，．
故选：．
如图，是全集，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是
A．B．
C．D．
【解答】解：根据维恩图的意义，知阴影部分所表示的集合是集合，在全集上的补集的公共部分和集合的交集，
阴影部分所表示的集合是．
故选：．
容斥原理
某校高一（1）班50名学生全部参加100米和400米两项体育测试，100米和400米两项测试成绩合格的分别有29人和25人，这两项成绩都不合格的有6人，则这两项成绩都合格的人数是
A．9B．10C．11D．12
【解答】解：设这两项成绩均合格的人数为，
则参加100米合格但400米跑不合格的人数为，
则，
得，
即这两项成绩均合格的人数是10人，
故选：．
某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有 名．
A．62B．56C．46D．42
【解答】解：由题意可得如下所示韦恩图：
60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，96名学生喜欢足球或游泳，
既喜欢足球又喜欢游泳的学生有，
故选：．
某班有学生48人，经调查发现，喜欢打羽毛球的学生有35人，喜欢打篮球的学生有20人．设既喜欢打羽毛球，又喜欢打篮球的学生的人数为，则的最小值是 ．
【解答】解：设既不喜欢打羽毛球，又不喜欢打篮球的学生的人数为，
则，即，
因为，所以．
因为，所以．
故答案为：
某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人．已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有 人．
【解答】解：某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人．
该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，
则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有：
．
故答案为：12
交、并、补集的综合运算
已知全集，，，求，，，，．
【解答】解：由得：或
由得，或
由得，或
或
或
或
已知集合，．求，，．
【解答】解：，，
，，或．
设全集小于8的自然数，集合，3，，集合，，求，，，．
【解答】解：全集小于8的自然数，1，2，3，4，5，6，，
集合，3，，集合，，
则，1，4，5，，
，2，3，4，5，7，，，2，3，，
所以，
，4，5，7，．
已知是小于9的正整数，，5，6，，，5，7，．求：
（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1），；
（2），4，5，6，7，；
（3），2，3，，，2，3，5，7，．
与补集有关的参数值的求解
已知集合，．
（1）若，求；
（2）在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），
，
又，
，．
（2）若选①：则满足或，
的取值范围为或．
若选②：或，
则满足，
的取值范围为．
若选③：
则满足，
的取值范围为．
已知集合，集合．现有三个条件：
条件①；
条件②；
条件③．
请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题：
（1）若，求；
（2）若______，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个选择的解答计分．
【解答】解：（1），．．
或．
，．
．
（2）选条件①，则，
由（1）知，，
，解得，
的取值范围是，．
选条件②，则，
由（1）知，，
，解得，
的取值范围是，．
选条件③，则，
由（1）知，，
，解得，
的取值范围是，．
已知集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）集合，，，
当时，，解得；
当时，或，
解得，
实数的取值范围是，，；
（2），，
当时，，解得；
当时，，解得．
综上，实数的取值范围是，．
已知集合，集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）时，集合，
集合，
；
（2），，
或，
，
或，
解得或，
实数的取值范围是，，．
1．已知集合，0，，，，则集合中元素个数为
A．3个B．4个C．5个D．6个
【解答】解：集合，0，，
，，，0，1，，
则集合，，0，1，．
集合中元素个数为5．
故选：．
2．已知集合，集合，则
A．，B．C．D．
【解答】解：由，
，
则，，
故选：．
3．设集合，2，，，则
A．，B．，C．，2，D．，2，3，
【解答】解：集合，2，，
，，
，2，．
故选：．
4．已知集合，2，3，4，，，则
A．，2，B．，2，3，C．D．
【解答】解：，2，3，4，，，
，2，．
故选：．
6．已知集合，，则
A．B．，C．D．，
【解答】解：，，
，，
故选：．
7．已知集合，，则
A．，，B．，，
C．，D．，
【解答】解：或，或，
，
，，．
故选：．
8．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为
A．，，B．，
C．，，D．，
【解答】解：设全集，集合，
或，
或，
如图所示的阴影部分表示的集合为：
，，．
故选：．
10．已知集合，0，，，则 ，0，1， ．
【解答】解：集合，0，，，，
，0，1，．
故答案为：，0，1，．
11．已知集合，则集合中整数的个数为 3 个．
【解答】解：，，
则集合，
故集合中整数为，0，1共3个．
故答案为：3．
12．全集，集合，则 ．
【解答】解：因为集合，全集，
所以，
故答案为：．
13．已知集合，集合．
（Ⅰ）求集合；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）集合；
（Ⅱ）集合，集合，
，
，且，解得．
实数的取值范围是．
14．集合，．
（1）当时，求；
（2）问题：已知_______，求的取值范围．
从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．
①；
②；
③．
【解答】解：（1）当时，或，
．
或；
（2）若选①，此时或，．
若，则，
若，则，解得，符合题意；
若，可得或，
解得或，
的取值范围是或；
若选②，此时或，．
若，则，
若，则，解得，符合题意；
若，可得或，
解得或，
的取值范围是或；
若选③，此时或，．
若，则或，解得，
的取值范围是．
15．已知集合，集合，．
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）当时，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当时，集合，，
又，
所以，．
（Ⅱ）若，
则，
解得，
实数的取值范围．
并集：由所有属于集合或集合的元素组成的集合，称为集合集合是集合与的并集.记作：.即.
知识点二 交集
交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合是集合与的交集.记作：.即.
知识点三 全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的 ，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作 .
知识点四 补集
对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作:,即.
并集的运算（列举法）
已知集合，1，，集合，0，，则
A．，B．C．，0，D．，0，1，
已知集合，0，1，，，则
A．，B．，1，C．，0，1，D．，0，1，2，
已知集合，，1，3，，则
A．，B．，
C．，1，2，3，4，D．，0，1，2，3，4，
已知集合，，，，则
A．B．C．D．
并集的运算（描述法）
已知集合，，则
A．B．C．D．
已知集合，，则
A．B．C．D．
集合，，则
A．B．，C．，D．
已知集合，，则
A．B．，
C．，，D．，，
交集的运算（列举法）
设集合，3，6，，，2，3，5，，则
A．，B．，5，
C．，5，6，8，D．，2，3，5，6，8，
已知集合，，集合，4，5，6，7，8，，则中元素的个数为
A．1B．2C．3D．4
已知集合，，0，，，则
A．，0，B．，C．，1，D．，
，，则
A．，B．，C．，D．，
交集的运算（描述法）
若集合，，则
A．B．C．D．
已知集合，，则
A．，B．，C．，D．，
若集合，，则
A．B．
C．D．
已知集合，，则
A．B．C．D．
交集的运算（点的坐标）
已知集合，，则
A．B．C．，D．，
已知，，则等于
A．，B．C．D．
已知集合，，则集合的子集个数为
A．2B．4C．8D．16
已知集合，，，则
A．B．，C．，D．，
并集、交集性质的应用
设，．
（1）写出集合的所有子集；
（2）若，求的范围．
已知集合，，，集合，．
（1）若集合，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
已知集合，，
（1）若，求实数的值．
（2）若，求实数的取值范围．
设集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
已知集合，，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
已知集合，．
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
已知集合，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围．
补集的运算
已知集合，，0，1，2，，，1，，则
A．，B．，，0，C．，0，D．，0，
已知全集，集合，4，5，，则
A．，B．，2，C．，7，D．，2，7，
已知集合，1，2，3，，，1，，则
A．，1，B．，1，2，3，C．，D．，
已知集合，，，则的子集个数为
A．3B．4C．7D．8
已知集合，，则
A．B．
C．或D．或
已知全集，集合，则
A．B．或
C．或D．
已知全集，集合，则
A．，B．，C．，D．，
已知集合，，则
A．B．C．D．
Venn图
如图，已知全集，集合，2，3，4，，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为
A．3B．4C．7D．8
已知全集，，0，1，2，3，4，5，，，3，5，，，，1，3，，如图中阴影部分表示的集合为
A．，2，5，B．，2，3，5，
C．，2，3，4，5，D．，0，1，2，3，
设全集，2，3，4，，，，，3，，则图中阴影部分所表示的集合是
A．，2，B．，3，C．，D．，2，3，
如图，是全集，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是
A．B．
C．D．
容斥原理
某校高一（1）班50名学生全部参加100米和400米两项体育测试，100米和400米两项测试成绩合格的分别有29人和25人，这两项成绩都不合格的有6人，则这两项成绩都合格的人数是
A．9B．10C．11D．12
某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有 名．
A．62B．56C．46D．42
某班有学生48人，经调查发现，喜欢打羽毛球的学生有35人，喜欢打篮球的学生有20人．设既喜欢打羽毛球，又喜欢打篮球的学生的人数为，则的最小值是 ．
某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人．已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有 人．
交、并、补集的综合运算
已知全集，，，求，，，，．
已知集合，．求，，．
设全集小于8的自然数，集合，3，，集合，，求，，，．
已知是小于9的正整数，，5，6，，，5，7，．求：
（1）；
（2）；
（3）．
与补集有关的参数值的求解
已知集合，．
（1）若，求；
（2）在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．
已知集合，集合．现有三个条件：
条件①；
条件②；
条件③．
请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题：
（1）若，求；
（2）若______，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个选择的解答计分．
已知集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
已知集合，集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
1．已知集合，0，，，，则集合中元素个数为
A．3个B．4个C．5个D．6个
2．已知集合，集合，则
A．，B．C．D．
3．设集合，2，，，则
A．，B．，C．，2，D．，2，3，
4．已知集合，2，3，4，，，则
A．，2，B．，2，3，C．D．
6．已知集合，，则
A．B．，C．D．，
7．已知集合，，则
A．，，B．，，
C．，D．，
8．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为
A．，，B．，
C．，，D．，
10．已知集合，0，，，则 ．
11．已知集合，则集合中整数的个数为 个．
12．全集，集合，则 ．
13．已知集合，集合．
（Ⅰ）求集合；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围．
14．集合，．
（1）当时，求；
（2）问题：已知_______，求的取值范围．
从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．
①；
②；
③．
15．已知集合，集合，．
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）当时，求的取值范围．
专题1.3 集合的基本运算
知识点一 并集
并集：由所有属于集合或集合的元素组成的集合，称为集合集合是集合与的并集.记作：.即.
知识点二 交集
交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合是集合与的交集.记作：.即.
知识点三 全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
知识点四 补集
对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作:,即.
并集的运算（列举法）
已知集合，1，，集合，0，，则
A．，B．C．，0，D．，0，1，
【解答】解：集合，1，，集合，0，，
，0，1，．
故选：．
已知集合，0，1，，，则
A．，B．，1，C．，0，1，D．，0，1，2，
【解答】解：，0，1，，，2，，，0，1，2，．
故选：．
已知集合，，1，3，，则
A．，B．，
C．，1，2，3，4，D．，0，1，2，3，4，
【解答】解：集合，1，2，3，，
，1，3，，
，0，1，2，3，4，．
故选：．
已知集合，，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：集合，，，，
，
．
故选：．
并集的运算（描述法）
已知集合，，则
A．B．C．D．
【解答】解：集合，，
，
故选：．
已知集合，，则
A．B．C．D．
【解答】解：由题意得，，
故，
故选：．
集合，，则
A．B．，C．，D．
【解答】解：集合，
，
则．
故选：．
已知集合，，则
A．B．，C．，，D．，，
【解答】解：，
或，，
，，．
故选：．
交集的运算（列举法）
设集合，3，6，，，2，3，5，，则
A．，B．，5，
C．，5，6，8，D．，2，3，5，6，8，
【解答】解：由已知可得，，
故选：．
已知集合，，集合，4，5，6，7，8，，则中元素的个数为
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：集合，，集合，4，5，6，7，8，，
，7，，
中元素的个数为3，
故选：．
已知集合，，0，，，则
A．，0，B．，C．，1，D．，
【解答】解：，，0，，，
，．
故选：．
，，则
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：或，
，，0，，
则，．
故选：．
交集的运算（描述法）
若集合，，则
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得，
则，
故选：．
已知集合，，则
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：集合或，
，
则．
故选：．
若集合，，则
A．B．
C．D．
【解答】解：因为，，
所以，，
又，相互没有包含关系．
故选：．
已知集合，，则
A．B．C．D．
【解答】解：集合，
，
则．
故选：．
交集的运算（点的坐标）
已知集合，，则
A．B．C．，D．，
【解答】解：由题意可知集合表示直线，集合表示直线，
又表示两条直线的交点组成的集合，
故有：，得，
所以，
故选：．
已知，，则等于
A．，B．C．D．
【解答】解：根据题意，的元素为两条直线的交点，
则，，
故选：．
已知集合，，则集合的子集个数为
A．2B．4C．8D．16
【解答】解：集合，，
则集合，，，
集合的子集个数为．
故选：．
已知集合，，，则
A．B．，C．，D．，
【解答】解：，，，
，．
故选：．
并集、交集性质的应用
设，．
（1）写出集合的所有子集；
（2）若，求的范围．
【解答】解：（1），，
集合的所有子集是，，，，；
（2），，
，
当时，△，解得，
当时，，解得，此时，，不合题意；
当时，，解得，此时，，不合题意；
当，时，，此时，，符合题意．
综上，实数的取值范围是．
已知集合，，，集合，．
（1）若集合，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为集合，，，，
又集合，
所以，，
将代入方程，可得，解得或，
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意．
综上所述，或；
（2）若，
则，
当时，方程无解，则△，解得；
当时，则，无解；
当时，则，无解；
当，时，则，无解．
综上所述，实数的取值范围为．
已知集合，，
（1）若，求实数的值．
（2）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）集合，，
解得：集合，，，
由题意，得，0，是方程的两实数根，由根与系数关系可得：，
（2）因为，所以，所以或或或，
当时，△，解得；
当时，解得；
当时，无实数解；
当，时，解得；
综上得：或．
设集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）集合或，，
若，则是方程的实数根，
可得：，解得或；
（2），
，
当时，方程无实数根，
即
解得：或；
当时，方程有一个实数根，
则△
解得：或；
若，那么方程，可得
若，那么方程，可得
若只有两个实数根，、
△，则；
由韦达定理：且
此时无解
综上可得实数的取值范围是或
已知集合，，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）集合，，．
当时，，
；
（2），，
，解得，
实数的取值范围为．
已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为集合，
当时，，
所以；
（2）因为，所以，
①当时，则，解得；
②当时，则有，解得．
综上所述，的取值范围为，．
已知集合，．
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），
，
，
（2），．
，
的取值范围是，．
已知集合，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）集合，，
所以；
（Ⅱ）若，则，
因为，所以，
即实数的取值范围是，．
补集的运算
已知集合，，0，1，2，，，1，，则
A．，B．，，0，C．，0，D．，0，
【解答】解：，，0，1，2，，，1，，
，0，，
故选：．
已知全集，集合，4，5，，则
A．，B．，2，C．，7，D．，2，7，
【解答】解：全集，3，4，5，6，，，4，5，；
，．
故选：．
已知集合，1，2，3，，，1，，则
A．，1，B．，1，2，3，C．，D．，
【解答】解：集合，1，2，3，，，1，，则，，
故选：．
已知集合，，，则的子集个数为
A．3B．4C．7D．8
【解答】解：，3，4，，，，
，，的子集个数为：．
故选：．
已知集合，，则
A．B．C．或D．或
【解答】解：集合，，
或．
故选：．
已知全集，集合，则
A．B．或
C．或D．
【解答】解：全集，集合，
，
故选：．
已知全集，集合，则
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：因为全集，集合，
所以或，．
故选：．
已知集合，，则
A．B．C．D．
【解答】解：集合，，则．
故选：．
Venn图
如图，已知全集，集合，2，3，4，，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为
A．3B．4C．7D．8
【解答】解：由韦恩图可知，图中阴影部分表示的集合为，
，2，3，4，，，
，4，，则子集的个数为8个，
故选：．
已知全集，，0，1，2，3，4，5，，，3，5，，，，1，3，，如图中阴影部分表示的集合为
A．，2，5，B．，2，3，5，
C．，2，3，4，5，D．，0，1，2，3，
【解答】解：图中阴影部分表示的集合为，2，3，4，5，，
故选：．
设全集，2，3，4，，，，，3，，则图中阴影部分所表示的集合是
A．，2，B．，3，C．，D．，2，3，
【解答】解：由图中阴影部分可知对应集合为，
全集，2，3，4，，集合，，，3，，
，2，，，．
故选：．
如图，是全集，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是
A．B．
C．D．
【解答】解：根据维恩图的意义，知阴影部分所表示的集合是集合，在全集上的补集的公共部分和集合的交集，
阴影部分所表示的集合是．
故选：．
容斥原理
某校高一（1）班50名学生全部参加100米和400米两项体育测试，100米和400米两项测试成绩合格的分别有29人和25人，这两项成绩都不合格的有6人，则这两项成绩都合格的人数是
A．9B．10C．11D．12
【解答】解：设这两项成绩均合格的人数为，
则参加100米合格但400米跑不合格的人数为，
则，
得，
即这两项成绩均合格的人数是10人，
故选：．
某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有 名．
A．62B．56C．46D．42
【解答】解：由题意可得如下所示韦恩图：
60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，96名学生喜欢足球或游泳，
既喜欢足球又喜欢游泳的学生有，
故选：．
某班有学生48人，经调查发现，喜欢打羽毛球的学生有35人，喜欢打篮球的学生有20人．设既喜欢打羽毛球，又喜欢打篮球的学生的人数为，则的最小值是 ．
【解答】解：设既不喜欢打羽毛球，又不喜欢打篮球的学生的人数为，
则，即，
因为，所以．
因为，所以．
故答案为：
某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人．已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有 人．
【解答】解：某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人．
该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，
则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有：
．
故答案为：12
交、并、补集的综合运算
已知全集，，，求，，，，．
【解答】解：由得：或
由得，或
由得，或
或
或
或
已知集合，．求，，．
【解答】解：，，
，，或．
设全集小于8的自然数，集合，3，，集合，，求，，，．
【解答】解：全集小于8的自然数，1，2，3，4，5，6，，
集合，3，，集合，，
则，1，4，5，，
，2，3，4，5，7，，，2，3，，
所以，
，4，5，7，．
已知是小于9的正整数，，5，6，，，5，7，．求：
（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1），；
（2），4，5，6，7，；
（3），2，3，，，2，3，5，7，．
与补集有关的参数值的求解
已知集合，．
（1）若，求；
（2）在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），
，
又，
，．
（2）若选①：则满足或，
的取值范围为或．
若选②：或，
则满足，
的取值范围为．
若选③：
则满足，
的取值范围为．
已知集合，集合．现有三个条件：
条件①；
条件②；
条件③．
请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题：
（1）若，求；
（2）若______，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个选择的解答计分．
【解答】解：（1），．．
或．
，．
．
（2）选条件①，则，
由（1）知，，
，解得，
的取值范围是，．
选条件②，则，
由（1）知，，
，解得，
的取值范围是，．
选条件③，则，
由（1）知，，
，解得，
的取值范围是，．
已知集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）集合，，，
当时，，解得；
当时，或，
解得，
实数的取值范围是，，；
（2），，
当时，，解得；
当时，，解得．
综上，实数的取值范围是，．
已知集合，集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）时，集合，
集合，
；
（2），，
或，
，
或，
解得或，
实数的取值范围是，，．
1．已知集合，0，，，，则集合中元素个数为
A．3个B．4个C．5个D．6个
【解答】解：集合，0，，
，，，0，1，，
则集合，，0，1，．
集合中元素个数为5．
故选：．
2．已知集合，集合，则
A．，B．C．D．
【解答】解：由，
，
则，，
故选：．
3．设集合，2，，，则
A．，B．，C．，2，D．，2，3，
【解答】解：集合，2，，
，，
，2，．
故选：．
4．已知集合，2，3，4，，，则
A．，2，B．，2，3，C．D．
【解答】解：，2，3，4，，，
，2，．
故选：．
6．已知集合，，则
A．B．，C．D．，
【解答】解：，，
，，
故选：．
7．已知集合，，则
A．，，B．，，
C．，D．，
【解答】解：或，或，
，
，，．
故选：．
8．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为
A．，，B．，
C．，，D．，
【解答】解：设全集，集合，
或，
或，
如图所示的阴影部分表示的集合为：
，，．
故选：．
10．已知集合，0，，，则 ，0，1， ．
【解答】解：集合，0，，，，
，0，1，．
故答案为：，0，1，．
11．已知集合，则集合中整数的个数为 3 个．
【解答】解：，，
则集合，
故集合中整数为，0，1共3个．
故答案为：3．
12．全集，集合，则 ．
【解答】解：因为集合，全集，
所以，
故答案为：．
13．已知集合，集合．
（Ⅰ）求集合；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）集合；
（Ⅱ）集合，集合，
，
，且，解得．
实数的取值范围是．
14．集合，．
（1）当时，求；
（2）问题：已知_______，求的取值范围．
从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．
①；
②；
③．
【解答】解：（1）当时，或，
．
或；
（2）若选①，此时或，．
若，则，
若，则，解得，符合题意；
若，可得或，
解得或，
的取值范围是或；
若选②，此时或，．
若，则，
若，则，解得，符合题意；
若，可得或，
解得或，
的取值范围是或；
若选③，此时或，．
若，则或，解得，
的取值范围是．
15．已知集合，集合，．
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）当时，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当时，集合，，
又，
所以，．
（Ⅱ）若，
则，
解得，
实数的取值范围．
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