高中4.2 指数函数测试题

这是一份高中4.2 指数函数测试题，共26页。
1.如果，那么叫做 的次方根.其中.
2. 当为奇数时，；
当为偶数时，.
3.规定：
⑴；
⑵ .
(3)0的正分数指数幂等于0.0的负分数指数幂无意义.
4. 运算性质：
⑴；
⑵；
⑶.
知识点二 无理指数幂及其运算性质
运算性质：
⑴；
⑵；
⑶.
知识点三 指数函数
1.定义：函数叫做指数函数，定义域为.
2.性质：
知识点四 对数
1.定义：如果；
那么数叫做以为底的对数，记作：，叫对数的底数，叫真数.
2.指数与对数间的关系：当时，
3.对数恒等式：，.
4.两个特殊对数：
（1）以10为底的对叫做常用对数，并把记为；
（2）以无理数 为底数的对数称为自然对数，并把记为；
5.基本性质：⑴；⑵；⑶负数和0没有对数.
6.积、商、幂的对数运算法则：当时：
⑴；
⑵；
⑶.
5.换底公式：.
6.推论：⑴ ⑵.
知识点五 对数函数
1.定义：函数叫做对数函数，定义域是.
2.性质：
知识点六 函数的应用
4.5.1函数的零点与方程的解
1.方程有实数解 函数的图象与轴有公共点 函数有零点.
2. 函数零点存在性定理：
如果函数在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
3.用二分法求方程的近似解
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
图
象
性
质
（1）定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）增函数
（4）减函数
（5）;
（5）;
图
象
性
质
（1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0
（4）在 （0，+∞）上是增函数
（4）在（0，+∞）上是减函数
（5）；
（5）；
题型一．有理数指数幂及根式
1．化简的结果是
A．B．C．D．
2．已知，则的值为
A．7B．C．47D．51
3．若，则的值为 ．
2．
4．（1）已知，求的值；
（2）化简并计算．
题型二．指数函数的定义、解析式、定义域和值域
5．函数的值域为
A．B．，C．，D．
6．已知集合，，则
A．B．，C．D．
7．已知函数，，的值域为，，则该函数的一个解析式可以为 ．
8．函数的定义域为 ．
9．已知函数的图象经过点，其中且．
（1）求的值；
（2）求函数的值域．
10．已知函数为偶函数，当时，，为常数）．
（1）当时，求的解析式：
（2）设函数在，上的最大值为（a），求（a）的表达式；
（3）对于（2）中的（a），试求满足的所有实数的取值集合．
题型三．指数函数的图象与性质
11．函数①；②；③；④的图象如图所示，，，，分别是下列四个数：，，，中的一个，则，，，的值分别是
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
12．已知函数且，，若，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
题型四．对数的概念
13．若对数式有意义，则实数的取值范围是
A．，B．，，
C．D．
题型五．对数的运算性质
14．已知函数，则
A．3B．2C．1D．0
题型六．对数值大小的比较
15．设，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
16．若，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
17．已知，，，则
A．B．C．D．
18．下列各式大小比较中，其中正确的是
A．B．
C．D．
19．已知，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
20．已知，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
题型七．对数函数的单调性与特殊点
21．若函数且的图像恒过定点，则
A．B．C．1D．2
题型八．函数零点的判定定理
22．函数的零点所在区间是
A．B．C．D．
23．函数的零点所在的区间为
A．B．C．D．
24．函数的零点所在的区间是
A．B．C．D．
题型九．二分法的定义与应用
25．已知函数的部分函数值如表所示：
那么函数的一个零点的近似值（精确度为为
A．0.55B．0.57C．0.65D．0.7
题型一十．根据实际问题选择函数类型
26．某公司在甲、乙两地销售同一种产品，利润（单位：万元）分别为，，其中（单位：件）为在当地的销量．若该公司在甲、乙两地共销售该产品150件，则公司能获得的最大利润为
A．45.606万元B．45.6万元C．45.56万元D．45.51万元
题型一十一．函数的零点与方程根的关系
27．已知函数，若关于的方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围是
A．，B．C．，D．
28．若函数的定义域为，为偶函数，当时，，则函数的零点个数为
A．0B．1C．2D．4
一．选择题（共8小题）
1．下列选项中，计算结果等于4a3的是（ ）
A．2a3•2a3B．5a4﹣aC．8a3÷2a3D．a3+3a3
2．（214）﹣0.5+327×3﹣2﹣（1﹣π）0＝（ ）
A．πB．2C．1D．0
3．设m＞0，下列计算中正确的是（ ）
A．m﹣3m3＝0B．m34÷m43=m
C．m23⋅m3=m2D．(m−25)54=m−12
4．下列函数不是指数函数的是（ ）
A．y＝2x+1B．y＝3﹣xC．y＝4xD．y＝23x
5．函数y＝（a2﹣4a+4）ax是指数函数，则有（ ）
A．a＝1或a＝3B．a＝1C．a＝3D．a＞0且a≠1
6．1.5﹣3.1，23.1，2﹣3.1的大小关系是（ ）
A．23.1＜2﹣3.1＜1.5﹣3.1B．1.5﹣3.1＜23.1＜2﹣3.1
C．1.5﹣3.1＜2﹣3.1＜23.1D．2﹣3.1＜1.5﹣3.1＜23.1
7．设a=(23)13，b=(25)13，c=(45)−12，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞a
8．在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量Xn（单位：μg/μL）与PCR扩增次数n满足Xn=X0×1.6n，其中X0为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1μg/μL，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为10μg/μL，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（ ）（参考数据：lg1.6≈0.20）
A．5B．10C．15D．20
二．填空题（共4小题）
9．已知函数f(x)=ex−1ex+1，若实数a，b（a＞b）满足f(a+b)=57且f(a)f(b)=16，则f（a﹣b）＝ ．
10．16的4次方根是 ．
11．已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为 ．
12．若x＜0时，指数函数y＝（a﹣1）x的值总大于1，则实数a的取值范围是 ．
三．解答题（共3小题）
13．（1）计算(235)0+2−2×(214)−12−(0.01)0.5；
（2）求函数y=1x−3+x(x＞3)的最小值．
14．计算：
（1）3(−8)3−(12)0+0.2512×(−22)−4；
（2）已知10m＝4，10n＝3，求103m−2n2的值．
15．（1）化简(214)12−(338)13+(2−1)−1−π0；
（2）若x12+x−12=6，求x2+x﹣2的值．
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6321
0.2776
0.0897
第四章 指数函数与对数函数
知识点一 n次方根与分数指数幂
1.如果，那么叫做 的次方根.其中.
2. 当为奇数时，；
当为偶数时，.
3.规定：
⑴；
⑵ .
(3)0的正分数指数幂等于0.0的负分数指数幂无意义.
4. 运算性质：
⑴；
⑵；
⑶.
知识点二 无理指数幂及其运算性质
运算性质：
⑴；
⑵；
⑶.
知识点三 指数函数
1.定义：函数叫做指数函数，定义域为.
2.性质：
知识点四 对数
1.定义：如果；
那么数叫做以为底的对数，记作：，叫对数的底数，叫真数.
2.指数与对数间的关系：当时，
3.对数恒等式：，.
4.两个特殊对数：
（1）以10为底的对叫做常用对数，并把记为；
（2）以无理数 为底数的对数称为自然对数，并把记为；
5.基本性质：⑴；⑵；⑶负数和0没有对数.
6.积、商、幂的对数运算法则：当时：
⑴；
⑵；
⑶.
5.换底公式：.
6.推论：⑴ ⑵.
知识点五 对数函数
1.定义：函数叫做对数函数，定义域是.
2.性质：
知识点六 函数的应用
4.5.1函数的零点与方程的解
1.方程有实数解 函数的图象与轴有公共点 函数有零点.
2. 函数零点存在性定理：
如果函数在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
3.用二分法求方程的近似解
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
图
象
性
质
（1）定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）增函数
（4）减函数
（5）;
（5）;
图
象
性
质
（1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0
（4）在 （0，+∞）上是增函数
（4）在（0，+∞）上是减函数
（5）；
（5）；
题型一．有理数指数幂及根式
1．化简的结果是
A．B．C．D．
【解答】解：．
故选：．
2．已知，则的值为
A．7B．C．47D．51
【解答】解：，
则，解得，
故，解得．
故选：．
3．若，则的值为 2 ．
【解答】解：，，，
，
故答案为：2．
4．（1）已知，求的值；
（2）化简并计算．
【解答】解：（1），
．
（2）原式．
题型二．指数函数的定义、解析式、定义域和值域
5．函数的值域为
A．B．，C．，D．
【解答】解：，
函数的值域为，．
故选：．
6．已知集合，，则
A．B．，C．D．
【解答】解：集合，
，
．
故选：．
7．已知函数，，的值域为，，则该函数的一个解析式可以为 ．
【解答】解：函数中，，的值域为，，
所以时，；
时，，
所以，，且，
所以该函数的一个解析式可以为．
故答案为：．
8．函数的定义域为 ， ．
【解答】解：要使函数有意义，则，
即，
故函数的定义域为，．
故答案为：，．
9．已知函数的图象经过点，其中且．
（1）求的值；
（2）求函数的值域．
【解答】解：（1）由题意得
所以
（2）由（1）得
因为函数在，上是减函数
所以当时有最大值，
所以
所以，
所以函数的值域为，．
10．已知函数为偶函数，当时，，为常数）．
（1）当时，求的解析式：
（2）设函数在，上的最大值为（a），求（a）的表达式；
（3）对于（2）中的（a），试求满足的所有实数的取值集合．
【解答】解：（1）设，则，
所以；
又因为为偶函数，所以，
所以当时，；（4分）
（2）当，时，，对称轴，
①当，即时，（a）；
②当，即时，（a）（5）；
综上所述，（a）；（10分）
（3）由（2）知（a），
当时，（a）为常函数；
当时，（a）为一次函数且为增函数；
因为，所以有或，
解得或，
即的取值集合为或．（16分）
另解（3）①当，有，所以，，
则或，
解得或，取并集得；
②当，有，所以，，，
则或；
解得或（舍负）；
综上所述，的取值集合为或．【注：最后结果不写集合不扣分】．
题型三．指数函数的图象与性质
11．函数①；②；③；④的图象如图所示，，，，分别是下列四个数：，，，中的一个，则，，，的值分别是
A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，
【解答】解：直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为，，，，
由，
故选：．
12．已知函数且，，若，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：，则函数有且只有一个零点
若存在，使，
则（1）
即
即，
故选：．
题型四．对数的概念
13．若对数式有意义，则实数的取值范围是
A．，B．，，C．D．
【解答】解：要使对数式有意义，
须；
解得且，
实数的取值范围是，，．
故选：．
题型五．对数的运算性质
14．已知函数，则
A．3B．2C．1D．0
【解答】解：的定义域为，
当且时，，
所以，
由于，
所以，
所以．
故选：．
题型六．对数值大小的比较
15．设，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解答】解：因为，所以，
又因为，所以．
所以．
故选：．
16．若，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解答】解：因为指数函数在上单调递减，所以，则，
又指数函数恒成立，故，
因为对数函数在上单调递减，所以，即，
综上：．
故选：．
17．已知，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：，，，
易知，，，
，，
，，
．
故选：．
18．下列各式大小比较中，其中正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：，，，
，，
，即，错误，
，，错误，
，，，，错误，
，，，，正确，
故选：．
19．已知，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解答】解：，，
，
，
，
故选：．
20．已知，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
，，
，
故选：．
题型七．对数函数的单调性与特殊点
21．若函数且的图像恒过定点，则
A．B．C．1D．2
【解答】解：函数且的图像恒过定点，
即（3）恒成立，则，且，
则，，，
故选：．
题型八．函数零点的判定定理
22．函数的零点所在区间是
A．B．C．D．
【解答】解：对于，当时，，，，在内无零点，错误；
对于，当从正方向无限趋近于0时，，则；又（1），在内无零点，错误；
对于，（1），（2），且在上连续，在内有零点，正确；
对于，（2），，在内无零点，错误．
故选：．
23．函数的零点所在的区间为
A．B．C．D．
【解答】解：易知函数在上单调递减，且，，则，
故由零点存在性定理可知，函数在上存在一个零点．
故选：．
24．函数的零点所在的区间是
A．B．C．D．
【解答】解：函数的定义域为且函数在上单调增，
（2），（3），
函数的零点一定在区间．
故选：．
题型九．二分法的定义与应用
25．已知函数的部分函数值如表所示：
那么函数的一个零点的近似值（精确度为为
A．0.55B．0.57C．0.65D．0.7
【解答】解：根据题干所给数据可知，函数的零点在区间内，
结合选项可知，其近似值为0.57．
故选：．
题型一十．根据实际问题选择函数类型
26．某公司在甲、乙两地销售同一种产品，利润（单位：万元）分别为，，其中（单位：件）为在当地的销量．若该公司在甲、乙两地共销售该产品150件，则公司能获得的最大利润为
A．45.606万元B．45.6万元C．45.56万元D．45.51万元
【解答】解：设该公司在甲地销辆，，，
那么乙地销辆，
利润，为开口向下的抛物线，
对称轴方程为，
时，取到最大值，这时最大利润为45.606万元，
故选：．
题型一十一．函数的零点与方程根的关系
27．已知函数，若关于的方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围是
A．，B．C．，D．
【解答】解：，则的图象如图所示：
令，则，
关于的方程有五个不同的实数根，
由函数图象可知关于的方程有两个不相等的实根，，且，，或，，
令，
若，，则，解得，
若，，则，此时无解，
综上所述，实数的取值范围是，，
故选：．
28．若函数的定义域为，为偶函数，当时，，则函数的零点个数为
A．0B．1C．2D．4
【解答】解：令解得，令解得，
所以当时，，
因为为偶函数，所以的图象关于轴对称，
所以的图象关于直线轴对称，
故作出的图象如下，
令，即，
由图象可知，的图象与的图象共有四个交点，
所以函数的零点个数为4个．
故选：．
一．选择题（共8小题）
1．下列选项中，计算结果等于4a3的是（ ）
A．2a3•2a3B．5a4﹣aC．8a3÷2a3D．a3+3a3
【解答】解：2a3•2a3＝4a6，故A错误；
5a4﹣a＝5a（a3﹣1），故B错误；
8a3÷2a3＝4，故C错误；
a3+3a3＝4a3，故D正确．
故选：D．
2．（214）﹣0.5+327×3﹣2﹣（1﹣π）0＝（ ）
A．πB．2C．1D．0
【解答】解：（214）﹣0.5+327×3﹣2﹣（1﹣π）0=23+3×19−1=0．
故选：D．
3．设m＞0，下列计算中正确的是（ ）
A．m﹣3m3＝0B．m34÷m43=m
C．m23⋅m3=m2D．(m−25)54=m−12
【解答】解：m3•m﹣3＝m0＝1，A错误；
m34÷m43=m−712，B错误；
m23•m3=m113，C错误；
（m−25）54=m(−25×54)=m−12，D正确．
故选：D．
4．下列函数不是指数函数的是（ ）
A．y＝2x+1B．y＝3﹣xC．y＝4xD．y＝23x
【解答】解：指数函数是形如y＝ax（a＞0且a≠1）的函数，
对于A：y＝2x+1＝2×2x，系数不是1，所以不是指数函数；
对于B：y＝3﹣x＝（13）x，符合指数函数的定义，所以是指数函数；
对于C：y＝4x，符合指数函数的定义，所以是指数函数；
对于D：y＝23x＝8x，符合指数函数的定义，所以是指数函数；
故选：A．
5．函数y＝（a2﹣4a+4）ax是指数函数，则有（ ）
A．a＝1或a＝3B．a＝1C．a＝3D．a＞0且a≠1
【解答】解：由于函数y＝（a2﹣4a+4）ax是指数函数，∴a2﹣4a+4＝1，求得a＝1，或a＝3．
当a＝1时，函数即y＝1，不满足条件；
当a＝3时，函数即y＝3x，它是指数函数，满足条件，
故选：C．
6．1.5﹣3.1，23.1，2﹣3.1的大小关系是（ ）
A．23.1＜2﹣3.1＜1.5﹣3.1B．1.5﹣3.1＜23.1＜2﹣3.1
C．1.5﹣3.1＜2﹣3.1＜23.1D．2﹣3.1＜1.5﹣3.1＜23.1
【解答】解：因为1.5﹣3.1＝（23）3.1，2﹣3.1＝（12）3.1，
又y＝x3.1在（0，+∞）上单调递增且12＜23＜2，
所以（12）3.1＜（23）3.1＜23.1．
故选：D．
7．设a=(23)13，b=(25)13，c=(45)−12，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞a
【解答】解：∵a=(23)13，b=(25)13，c=(45)−12，函数y=x13是增函数，23＞25，
∴(23)13＞(25)13，
∴a＞b，且1＞a＞b，
又(45)−12=(54)12＞1，即c＞1＞a＞b，
综上可得，c＞a＞b，
故选：C．
8．在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量Xn（单位：μg/μL）与PCR扩增次数n满足Xn=X0×1.6n，其中X0为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1μg/μL，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为10μg/μL，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（ ）（参考数据：lg1.6≈0.20）
A．5B．10C．15D．20
【解答】解：由题意可知，X0＝0.1，Xn＝10，
令10＝0.1×1.6n，得1.6n＝100，两边同时取对数可得，nlg1.6＝lg100＝2，
所以n=2lg1.6≈10．
故选：B．
二．填空题（共4小题）
9．已知函数f(x)=ex−1ex+1，若实数a，b（a＞b）满足f(a+b)=57且f(a)f(b)=16，则f（a﹣b）＝ 15 ．
【解答】解：f(x)=ex−1ex+1=ex+1−2ex+1=1−2ex+1，
由f(a+b)=57，知1−2ea+b+1=57，所以ea+b＝6①，
因为f(a)f(b)=16，所以ea−1ea+1•eb−1eb+1=ea+b−ea−eb+1ea+b+ea+eb+1=6−(ea+eb)+16+(ea+eb)+1=16，
解得ea+eb＝5②，
联立①②，解得ea＝3，eb＝2，
所以f（a﹣b）＝1−2ea−b+1=1−232+1=15．
故答案为：15．
10．16的4次方根是 ±2 ．
【解答】解：∵（±2）4＝16，
∴16的4次方根是±2，
故答案为：±2．
11．已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为 3 ．
【解答】解：∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝1+4+1＝6，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝3，
故答案为：3．
12．若x＜0时，指数函数y＝（a﹣1）x的值总大于1，则实数a的取值范围是 （1，2） ．
【解答】解：依题意，（a﹣1）x＞1在（﹣∞，0）上恒成立，
则0＜a﹣1＜1，解得1＜a＜2．
故答案为：（1，2）．
三．解答题（共3小题）
13．（1）计算(235)0+2−2×(214)−12−(0.01)0.5；
（2）求函数y=1x−3+x(x＞3)的最小值．
【解答】解：（1）原式＝1+14×23−0.1=1615；
（2）当x＞3时，y=1x−3+x=1x−3+x﹣3+3≥21x−3⋅(x−3)+3＝2+3＝5，
当且仅当1x−3=x﹣3，即x＝4时等号成立，
故y=1x−3+x的最小值为5．
14．计算：
（1）3(−8)3−(12)0+0.2512×(−22)−4；
（2）已知10m＝4，10n＝3，求103m−2n2的值．
【解答】解：（1）原式=−8−1+12×4=−7，
（2）103m−2n2=(10m)3210n=(4)323=83．
15．（1）化简(214)12−(338)13+(2−1)−1−π0；
（2）若x12+x−12=6，求x2+x﹣2的值．
【解答】解：（1）(214)12−(338)13+(2−1)−1−π0=(94)12−(278)13+12−1−1=32−32+2+1−1=2．
（2）x12+x−12=6，故(x12+x−12)2=x+x−1+2=6，
故x+x﹣1＝4，（x+x﹣1）2＝x2+x﹣2+2＝16，
故x2+x﹣2＝14．1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6321
0.2776
0.0897