人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念一课一练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念一课一练，共16页。试卷主要包含了设为复数集的非空子集，设是有理数，集合，在下列集合中等内容，欢迎下载使用。
集合新定义问题的类型：
(1)新定义性质，(2)新定义运算．
解决集合新定义问题的着手点：
(1)正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识．
(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．
(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明．
1．若对任意，有，就称是具有“伙伴关系”的集合，集合，0，，，1，2，3，的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为
A．15B．16C．D．
2．设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，2，3，4，，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有
A．10个B．11个C．12个D．13个
3．对于任意两个正整数，，定义某种运算“※”如下：当，都为正偶数或正奇数时，※；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，※．则在此定义下，集合※，，中的元素个数是
A．10个B．15个C．16个D．18个
4．对于任意两个正整数，，定义某种运算“※”如下：当，都为正偶数或都为正奇数时，※；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，※，则在此定义下，集合※中的元素个数是
A．10B．9C．8D．7
5．集合，1，2，3，4，，是的一个子集，当时，若有，且，则称为的一个“孤立元素”，那么中无“孤立元素”的非空子集有 个．
A．16B．17C．18D．20
6．用（A）表示非空集合中的元素个数，定义，若，，，且，由的所有可能值构成的集合是，那么等于
A．4B．3C．2D．1
7．在整数集中，被5所除得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4；给出四个结论：
（1）；（2）；（3）；（4）“整数，属于同一“类”的充要条件是“”．
其中正确结论的个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．设为复数集的非空子集．若对任意，，都有，，，则称为封闭集．下列命题：
①集合，为整数，为虚数单位）为封闭集；
②若为封闭集，则一定有；
③封闭集一定是无限集；
④若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集．
其中真命题是 ．（写出所有真命题的序号）
9．若集合，2，3，，，，，，，且满足集合中最大的数大于集合中最大的数，则称有序集合对为“兄弟集合对”．当时，这样的“兄弟集合对”有 对；当时，这样的“兄弟集合对”有 对（用含有的表达式作答）．
10．设是有理数，集合，在下列集合中：①；②；③，；④，；与相等的集合的序号是
11．设集合，，，，2，3，，，且中任意两数之和不能被5整除，则的最大值为
12．若使集合，中元素个数最少，则实数的取值范围是 ，设，对中的每一个元素，至少存在一个，有，则 ．
13．非空集合关于运算满足：
（1）对任意，，都有；
（2）存在使得对于一切都有，
则称是关于运算的融洽集，
现有下列集合与运算：
①是非负整数集，：实数的加法；
②是偶数集，：实数的乘法；
③是所有二次三项式构成的集合，：多项式的乘法；
④，，，：实数的乘法；
其中属于融洽集的是 （请填写编号）
14．设集合，如果满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的一个聚点，则在下列集合中：①；②；③，；④，
其中以0为聚点的集合的序号是 ．
15．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”．其中正确的结论序号有 ．
17．设是正整数，集合，2，，．求最小的正整数，使得对于的任何一个元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于 ．
18．定义集合运算：，，，设，，，，则集合的所有元素之和为 ．
19．如果具有下述性质的都是集合中的元素，其中：，则下列元素中属于集合的元素的是 （填序号）．
①，②，③，④，⑤．
20．如果非空数集满足：①；②若，有，那么称是“互倒集”．给出以下数集：①；②；③，，；其中“互倒集”的是 （请在横线上写出所有正确答案的序号）
专题1.1 集合中的新定义问题
集合新定义问题的类型：
(1)新定义性质，(2)新定义运算．
解决集合新定义问题的着手点：
(1)正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识．
(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．
(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明．
1．若对任意，有，就称是具有“伙伴关系”的集合，集合，0，，，1，2，3，的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为
A．15B．16C．D．
【解答】解：具有伙伴关系的元素组有，1，、2，、3共四组，
它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，
由组合数公式可得其个数依次为
故选：．
2．设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，2，3，4，，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有
A．10个B．11个C．12个D．13个
【解答】解：“孤立元“是1的集合：；，3，；，4，；，3，4，；
“孤立元“是2的集合：；，4，；
“孤立元“是3的集合：；
“孤立元“是4的集合：；，2，；
“孤立元“是5的集合：；，2，；，3，；，2，3，．
共有13个；
故选：．
3．对于任意两个正整数，，定义某种运算“※”如下：当，都为正偶数或正奇数时，※；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，※．则在此定义下，集合※，，中的元素个数是
A．10个B．15个C．16个D．18个
【解答】解：※，、，
若和一奇一偶，则，满足此条件的有，故点有4个；
若和同奇偶，则，满足此条件的有共6组，故点有个，
所以满足条件的个数为个．
故选：．
4．对于任意两个正整数，，定义某种运算“※”如下：当，都为正偶数或都为正奇数时，※；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，※，则在此定义下，集合※中的元素个数是
A．10B．9C．8D．7
【解答】解：由定义知，
当，都为正偶数或都为正奇数时，※，
故是，，，，，，；
当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，※，
故是，；
故共9个元素，
故选：．
5．集合，1，2，3，4，，是的一个子集，当时，若有，且，则称为的一个“孤立元素”，那么中无“孤立元素”的非空子集有 个．
A．16B．17C．18D．20
【解答】解：当时，若有，且，则称为的一个“孤立元素”，
单元素集合都含孤立元素，
中无“孤立元素”的2个元素的子集为，，，，，，，，，，共5个
中无“孤立元素”的3个元素的子集为，1，，，2，，，3，，，4，，共4个
中无“孤立元素”的4个元素的子集为，1，2，，，1，3，，，1，4，，，2，3，，，2，4，，，3，4，共6个
中无“孤立元素”的5个元素的子集为，1，2，3，，，2，3，4，，，1，2，4，，，1，3，4，，共4个
中无“孤立元素”的6个元素的子集为，1，2，3，4，，共1个
故中无“孤立元素”的非空子集有20个
故选：．
6．用（A）表示非空集合中的元素个数，定义，若，，，且，由的所有可能值构成的集合是，那么等于
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：或，
即①
或②，
，，且，
集合要么是单元素集合，要么是三元素集合，
集合是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，
；
集合是三元素集合，则
方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，
即，解得，
综上所述或，
．
故选：．
7．在整数集中，被5所除得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4；给出四个结论：
（1）；（2）；（3）；（4）“整数，属于同一“类”的充要条件是“”．
其中正确结论的个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：，，故（1）正确；
，，故（2）错误；
整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故，故（3）正确；
整数，属于同一“类”， 整数，被5除的余数相同，从而被5除的余数为0，
反之也成立，故“整数，属于同一“类”的充要条件是“”．故（4）正确．
故选：．
8．设为复数集的非空子集．若对任意，，都有，，，则称为封闭集．下列命题：
①集合，为整数，为虚数单位）为封闭集；
②若为封闭集，则一定有；
③封闭集一定是无限集；
④若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集．
其中真命题是 ．（写出所有真命题的序号）
【解答】解：取集合，为整数，为虚数单位）中任意两个元素和、、、，则；；；满足集合，为整数，为虚数单位）为封闭集；①正确．
当为封闭集时，因为，取，得，②正确
对于集合，显然满足所有条件，但是有限集，③错误
取，，，满足，但由于不属于，故不是封闭集，④错误．
9．若集合，2，3，，，，，，，且满足集合中最大的数大于集合中最大的数，则称有序集合对为“兄弟集合对”．当时，这样的“兄弟集合对”有 对；当时，这样的“兄弟集合对”有 对（用含有的表达式作答）．
【解答】解：当时，，2，，
中的最大元素为2，则是的非空子集，有个，此时有2个；
中的最大元素为3，则是，的非空子集，有个，此时有4个；
共有这样的“兄弟集合对” 个，
当时，，2，3，，，
当的最大元素为，此时有个，是，2，3，，的非空子集，有个；
当的最大元素为，有个，是，2，3，，的非空子集，有个；
当的最大元素为3，有个，是，的非空子集，有个；
当的最大元素为2，有个，是的非空子集，有个；
故
．
故答案为：14；．
10．设是有理数，集合，在下列集合中：①；②；③，；④，；与相等的集合的序号是
【解答】解：设①②③④对应的集合分别为，，，，则
对于①：，设，则，而，从而，故，反过来，，故，从而；
对于②：，设，令 ，则可得，从而，，解得，，且，，从而，故，反过来，，故，从而；
对于③：取，则，从而不是的子集，故；
对于④：，设，则，取，则，即，反过来，时，，故，故．
综上，①②④正确，
故答案为①②④．
11．设集合，，，，2，3，，，且中任意两数之和不能被5整除，则的最大值为
【解答】解：设，10，15，20，25，30，，则（B）；
可将集合分为4组：
，6，11，16，21，26，31，，则；
，7，12，17，22，27，32，，则；
，8，13，18，23，28，，则；
，9，14，19，24，29，，则．
因为中的任何两个数之和不能被5整除，所以和，和中不能同时取数，且中最多取1个，
所以最多的取法是取和中的一个元素，
故（A），
故的最大值为17，
故答案为：17．
12．若使集合，中元素个数最少，则实数的取值范围是 ，设，对中的每一个元素，至少存在一个，有，则 ．
【解答】解：集合，，
方程，
解得：，，
，
当时，，；
当时，，，，；
当时，，，；
当时，集合的元素的个数无限；
当时，，，，集合的元素的个数有限，
令函数，
则有：，
对于集合，，满足条件的元素只有0，1，2，3，4，
只需，包含的整数最小，题意要求，
故只需，且，
解得：，
根据对的讨论，所以，
故答案为：，．
13．非空集合关于运算满足：
（1）对任意，，都有；
（2）存在使得对于一切都有，
则称是关于运算的融洽集，
现有下列集合与运算：
①是非负整数集，：实数的加法；
②是偶数集，：实数的乘法；
③是所有二次三项式构成的集合，：多项式的乘法；
④，，，：实数的乘法；
其中属于融洽集的是 （请填写编号）
【解答】解：①对于任意非负整数，知道：仍为非负整数，所以；取，及任意非负整数，则，因此对于为整数的加法运算来说是“融洽集”；
②对于任意偶数，知道：仍为偶数，故有；但是不存在，使对一切都有，故②的不是“融洽集”．
③对于二次三项式，若、时，，的两个同类项系数，则其积不再为二次三项式，故不是和谐集，故③不正确；
④，，，设，，则设，属于集合，
取，，因此对于实数的乘法运算来说是“融洽集”，故④中的是“融洽集”．
故答案为①④．
14．设集合，如果满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的一个聚点，则在下列集合中：①；②；③，；④，
其中以0为聚点的集合的序号是 ．
【解答】解：（1）对于某个，比如，
此时对任意的，都有或者，
也就是说不可能，从而0不是的聚点；
（2）集合，对任意的，都存在（实际上任意比小得数都可以），
使得，
是集合的聚点；
（3）集合，中的元素是极限为0的数列，对于任意的，存在，使，
是集合，的聚点；
（4）中，集合，中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，
在的时候，不存在满足得的，
不是集合，的聚点；
故答案为：②③．
15．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”．其中正确的结论序号有 ．
【解答】解：①，，故①正确；
②，，故②错误；
③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，
，故③正确；
④整数，属于同一“类”， 整数，被5除的余数相同，从而被5除的余数为0，
反之也成立，故“整数，属于同一“类”的充要条件是“”．故④正确．
故答案为：①③④．
17．设是正整数，集合，2，，．求最小的正整数，使得对于的任何一个元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于 ．
【解答】解：考虑的元子集，，，，，
中任何4个不同元素之和不小于，
所以，
将的元配对为对，，，
对的任一元子集，必有三对，，，同属于，，两两不同）
又将的元配为对，，，
对的任一元子集，必有一对同属于，
这一对必与，，中至少一个无公共元素，
这4个元素互不相同，且和为，
故最小的正整数．
故答案为：．
18．定义集合运算：，，，设，，，，则集合的所有元素之和为 ．
【解答】解：有题意：，，，设，，，，
那么：当时：或4，可得、4，
当时：或4，可得、8，
故得的所有元素：2、4、8，即集合的所有元素为：2、4、8，
元素之和为：．
故答案为：14．
19．如果具有下述性质的都是集合中的元素，其中：，则下列元素中属于集合的元素的是 （填序号）．
①，②，③，④，⑤．
【解答】解：①，其中，，①满足条件．
②，其中，，②满足条件．
③，其中，但，③不满足条件．
④，其中，，④满足条件
⑤．其中，，⑤满足条件．
故答案为：①②④⑤．
20．如果非空数集满足：①；②若，有，那么称是“互倒集”．给出以下数集：①；②；③，，；其中“互倒集”的是 （请在横线上写出所有正确答案的序号）
【解答】解：对于①，
当时，，
故不是互倒集；
对于②；
△，
是非空数集，
且，
若，即，
则，
故，故是互倒集；
对于③，，，，
若，，易知，，故是互倒集；
故答案为：②③．