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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制复习练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制复习练习题，共26页。试卷主要包含了角的概念，角的表示，角的分类，若α＝k•180°+45°，从13等内容，欢迎下载使用。
知识点一 任意角
1．角的概念：
角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
2．角的表示：
如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点O.
3．角的分类：
知识点二 角的加法与减法
设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.
(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．
知识点三 象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
知识点四 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
知识点五 度量角的两种制度
知识点六 弧度数的计算
知识点七 角度与弧度的互化
知识点八 弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形面积公式：S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)αR2.
终边相同的角
下列说法中正确的是
A．角与角的终边相同
B．若是锐角．则是第二象限的角
C．角与角都是第三象限的角
D．角与角的终边关于轴对称
时针走过2时40分，则分针转过的角度是
A．B．C．D．
在下列说法中：
①时钟经过两个小时，时针转过的角是；
②钝角一定大于锐角；
③射线绕端点按逆时针旋转一周所成的角是．
其中错误说法的序号为 （错误说法的序号都写上）．
自行车大链轮有36齿，小链轮有24齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是 度．
经过2小时15分钟，时间从8点5分变为10点20分，钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少？此时它们所成的角是多少？
象限角及区域角的表示
与角终边相同的最小正角是
A．B．C．D．
下列各角中，与角终边相同的角是
A．B．C．D．
终边在直线上的所有角的集合是
A．，B．，
C．，D．，
把转化为的形式是
A．B．C．D．
若角满足，，则角的终边落在
A．第一或第二象限B．第一或第三象限
C．第二或第四象限D．第三或第四象限
如果是第二象限角，那么是
A．第一或第四象限角B．第一或第三象限角
C．第二或第三象限角D．第二或第四象限角
若，满足，则的取值范围是
A．B．C．D．
给出下列命题：
①是第四象限角；
②是第三象限角；
③是第二象限角；
④是第一象限角．
其中正确的命题是
A．①B．②C．③D．④
已知．
（1）把写成的形式，并指出它是第几象限角
（2）写出与终边相同的角构成的集合，并把中适合不等式的元素写出来．
如图．
（1）写出终边落在射线，上的角组成的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角组成的集合．
角度制与弧度制的互化
下列转化结果正确的是
A．化成弧度是B．化成角度是
C．化成弧度是D．化成角度是
A．B．C．D．
时间经过5小时，时针转过的弧度数为
A．B．C．D．
将下列角度与弧度进行互化．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
（1）把化成弧度；
（2）把化成角度；
（3）已知、、、、，试比较、、、、的大小．
扇形的弧长、面积
时钟的分针长，从到．分针转过的角是多少弧度？分针扫过的扇形面积是多少？分针尖端所走过的弧长是多少？取3.14，计算结果精确到
如图所示的圆中，已知圆心角，半径与弦垂直，垂足为，若，求的长及其弦所围成的弓形的面积．
一．选择题（共8小题）
1．已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α的值为（ ）
A．﹣480°B．﹣240°C．150°D．480°
2．下列各对角中，终边相同的是（ ）
A．32π和2kπ−32π（k∈Z）B．−π5和225π
C．−79π和119πD．203π和1229π
3．设A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限角}，则A∩B等于（ ）
A．{锐角}
B．{小于90°的角}
C．{第一象限角}
D．{α|k•360°＜α＜k•360°+90°（k∈Z，k≤0）}
4．下列各组角中两个角终边不相同的一组是（ ）
A．﹣43°和677°B．900°和1260°
C．﹣120°和960°D．150°和630°
5．若α＝k•180°+45°（k∈Z），则α的终边在（ ）
A．第一或第三象限B．第一或第二象限
C．第二或第四象限D．第三或第四象限
6．如图所示，扇形OPQ的半径为2，圆心角为π3，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形，则SABCD的最大值是（ ）
A．233B．23C．3D．23
7．已知扇形的弧长是4cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．1B．2C．4D．1或4
8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为（ ）
A．505B．507C．5011D．5019
二．填空题（共4小题）
9．从13：00到14：00，时针转过的角为 ，分针转过的角为 ．
10．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是 ．
11．已知角α＝﹣3000°，则与α终边相同的最小正角是 ．
12．弧度数为2的角的终边落在第 象限．
三．解答题（共3小题）
13．半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A（1，0）出发，以逆时针方向等速沿圆周旋转，已知点P在1s内转过的角度为θ（0°＜θ＜180°），经过2s到达第三象限，经过14s后又回到了出发点A处，求θ．
14．（1）写出与α＝﹣1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式﹣720°≤β＜360°的元素β写出来．
（2）分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
（3）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合．
15．已知角α＝2020°．
（1）把α改写成k•360°+β（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，并指出它是第几象限角；
（2）求θ，使θ与α终边相同，且﹣360°≤θ＜720°．
名称
定义
图示
正角
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角
一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有做任何旋转形成的角
角度制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
1度的角
1度的角等于周角的eq \f(1,360)
弧度制
定义
以弧度作为单位来度量角的单位制
1弧度的角
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝eq \f(π,180) rad≈0.017 45 rad
1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°≈57.30°
度数×eq \f(π,180)＝弧度数
弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝度数
专题5.1 任意角和弧度制
知识点一 任意角
1．角的概念：
角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
2．角的表示：
如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点O.
3．角的分类：
知识点二 角的加法与减法
设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.
(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．
知识点三 象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
知识点四 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
知识点五 度量角的两种制度
知识点六 弧度数的计算
知识点七 角度与弧度的互化
知识点八 弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形面积公式：S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)αR2.
终边相同的角
下列说法中正确的是
A．角与角的终边相同
B．若是锐角．则是第二象限的角
C．角与角都是第三象限的角
D．角与角的终边关于轴对称
【解答】解：，，与角的终边相同，不正确；
，若是锐角，则，．则是第二象限的角，不正确；
，，与角的终边相同，是第二象限的角，不正确；
，，与角的终边相同，角与角的终边关于轴对称，正确．
故选：．
时针走过2时40分，则分针转过的角度是
A．B．C．D．
【解答】解：，，
由于时针都是顺时针旋转，
时针走过2小时40分，分针转过的角的度数为，
故选：．
在下列说法中：
①时钟经过两个小时，时针转过的角是；
②钝角一定大于锐角；
③射线绕端点按逆时针旋转一周所成的角是．
其中错误说法的序号为 ①③ （错误说法的序号都写上）．
【解答】解：①时钟经过两个小时，时针转过的角是；所以①不正确；
②钝角一定大于锐角；显然正确；
③射线绕端点按逆时针旋转一周所成的角是；所以③不正确；
故答案为：①③．
自行车大链轮有36齿，小链轮有24齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是 度．
【解答】解：因为大链轮转过一周时，小链轮转36齿．而小链轮有24齿，故小链轮转周，
一周为，故小链轮转过的角度为
故答案为：．
经过2小时15分钟，时间从8点5分变为10点20分，钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少？此时它们所成的角是多少？
【解答】解：时针每小时转过，则每分钟转过，
而分针每分钟转过，故经过2小时15分钟后，
时针转过，
分针转过小时15分钟后为10点（20分），
此时分针指向4，时针则由指向10转过了，
此时时针和分针所成的角为．
象限角及区域角的表示
与角终边相同的最小正角是
A．B．C．D．
【解答】解：，
即与角终边相同的最小正角是，
故选：．
下列各角中，与角终边相同的角是
A．B．C．D．
【解答】解：与终边相同的角一定可以写成的形式，，
令 可得，与终边相同，
故选：．
终边在直线上的所有角的集合是
A．，B．，
C．，D．，
【解答】直线过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在范围内终边在直线上的角有两个：，．
因此，终边在直线上的角的集合
，，
，，
，．
故选：．
把转化为的形式是
A．B．C．D．
【解答】解：，
故选：．
若角满足，，则角的终边落在
A．第一或第二象限B．第一或第三象限
C．第二或第四象限D．第三或第四象限
【解答】解：，；
当时，，此时为第一象限角；
当时，，此时是第三象限角；
角的终边落在第一或第三象限角．
故选：．
如果是第二象限角，那么是
A．第一或第四象限角B．第一或第三象限角
C．第二或第三象限角D．第二或第四象限角
【解答】解：是第二象限角，
，，，
，，．
是第一或三象限角．
故选：．
若，满足，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：从题中可分离出三个不等式：①，②，③．
根据不等式的性质，
②式同乘以得④，
根据同向不等式的可加性，
可得．由③式得，
所以．
故选：．
给出下列命题：
①是第四象限角；
②是第三象限角；
③是第二象限角；
④是第一象限角．
其中正确的命题是
A．①B．②C．③D．④
【解答】解：是第四象限角，故选项①正确；
是第三象限角，故选项②正确；
，因为是第二象限角，所以也是第二象限角，故选项③正确；
，因为是第一象限角，所以也是第一象限角，故选项④正确．
故选：．
已知．
（1）把写成的形式，并指出它是第几象限角
（2）写出与终边相同的角构成的集合，并把中适合不等式的元素写出来．
【解答】解：（1），，
把角写成的形式为：，
它是第四象限的角．
（2）与的终边相同，
令，，
，
当，0，满足题意，
得到，
如图．
（1）写出终边落在射线，上的角组成的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角组成的集合．
【解答】解：（1）终边落在射线上的角组成的集合是，．
终边落在射线上的角组成的集合是，．
（2）终边落在阴影部分（包括边界）的角组成的集合是，．
角度制与弧度制的互化
下列转化结果正确的是
A．化成弧度是B．化成角度是
C．化成弧度是D．化成角度是
【解答】解：对于，化成弧度是，所以错误；
对于，化成角度是，所以错误；
对于，化成弧度是，所以错误；
对于，化成角度是，所以正确．
故选：．
A．B．C．D．
【解答】解：．
故选：．
时间经过5小时，时针转过的弧度数为
A．B．C．D．
【解答】解：由于经过一个小时，时针转过倍的周角
由一周角为，
又由顺时针旋转得到的角是负角，
故经过一个小时，时针转过的弧度数，
所以时间经过5小时，时钟转过的角的弧度数是．
故选：．
将下列角度与弧度进行互化．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
（1）把化成弧度；
（2）把化成角度；
（3）已知、、、、，试比较、、、、的大小．
【解答】解：（1）由，所以；
（2）由，所以；
（3）由，所以，，
因为，
故．
扇形的弧长、面积
时钟的分针长，从到．分针转过的角是多少弧度？分针扫过的扇形面积是多少？分针尖端所走过的弧长是多少？取3.14，计算结果精确到
【解答】解：时钟的分针从到，分针转过的角的弧度是，
分针扫过的扇形面积，
分针尖端所走过的弧长是．
如图所示的圆中，已知圆心角，半径与弦垂直，垂足为，若，求的长及其弦所围成的弓形的面积．
【解答】解：圆心角，半径与弦垂直，垂足为，则，
设半径为，，则，有，解得，从而，，．
故的长（圆心角弧度数）（半径）．
故弓形的面积．
一．选择题（共8小题）
1．已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α的值为（ ）
A．﹣480°B．﹣240°C．150°D．480°
【解答】解：角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，
则α的值为360°+90°+30°＝480°，
故选：D．
2．下列各对角中，终边相同的是（ ）
A．32π和2kπ−32π（k∈Z）B．−π5和225π
C．−79π和119πD．203π和1229π
【解答】解：∵119π+79π＝2π，∴终边相同．
故选：C．
3．设A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限角}，则A∩B等于（ ）
A．{锐角}
B．{小于90°的角}
C．{第一象限角}
D．{α|k•360°＜α＜k•360°+90°（k∈Z，k≤0）}
【解答】解：∵A＝{小于90°的角}＝{锐角、负角和零角}，
B＝{第一象限角}＝{α|k•360°＜α＜k•360°+90°，k∈Z}，
∴A∩B＝{α|k•360°＜α＜k•360°+90°（k∈Z，k≤0）}．
故选：D．
4．下列各组角中两个角终边不相同的一组是（ ）
A．﹣43°和677°B．900°和1260°
C．﹣120°和960°D．150°和630°
【解答】解：若角α与角β终边相同，则β＝α+k360°，k∈Z，
所以将四个选项中的两角做差可知，
只有D选项630°﹣150＝480°，不是360°的整数倍．
故选：D．
5．若α＝k•180°+45°（k∈Z），则α的终边在（ ）
A．第一或第三象限B．第一或第二象限
C．第二或第四象限D．第三或第四象限
【解答】解：由α＝k•180°+45°（k∈Z），
当k为偶数时，k•180°的终边位于x轴正半轴，则α＝k•180°+45°（k∈Z）为第一象限角；
当k为奇数时，k•180°的终边位于x轴负半轴，则α＝k•180°+45°（k∈Z）为第三象限角．
所以α的终边在第一或第三象限．
故选：A．
6．如图所示，扇形OPQ的半径为2，圆心角为π3，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形，则SABCD的最大值是（ ）
A．233B．23C．3D．23
【解答】解：如图，记∠COP＝α，在Rt△OBC中，OB＝2csα，BC＝2sinα，
在Rt△OAD中，OA=33DA=33BC=33×2sinα．
所以AB＝OB﹣OA＝2csα−233sinα．
设矩形ABCD的面积为S，则S＝AB•BC＝（2csα−233sinα）•2sinα＝4sinαcsα−433sin2α
＝2sin2α+233cs2α−233
=43sin（2α+π6）−233．
由于0＜α＜α3，所以当2α+π6=π2，即α=π6时，S最大=43−233=233．
因此，当α=π6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为233．
故选：A．
7．已知扇形的弧长是4cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．1B．2C．4D．1或4
【解答】解：因为扇形的弧长为4，面积为2，
所以扇形的半径为：12×4×r＝2，解得：r＝1，
则扇形的圆心角的弧度数为41=4．
故选：C．
8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为（ ）
A．505B．507C．5011D．5019
【解答】解：设该扇形的半径为r米，连接CO．
由题意，得CD＝150（米），OD＝100（米），∠CDO＝60°，
在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD•OD•cs60°＝OC2，
即，150 2+1002﹣2×150×100×12=r2，
解得r＝507（米）．
故选：B．
二．填空题（共4小题）
9．从13：00到14：00，时针转过的角为 ﹣30° ，分针转过的角为 ﹣360° ．
【解答】解：从13：00到14：00，经过一个小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，
结合负角的定义可知，时针转过的角为﹣30°，分针转过的角为﹣360°．
故答案为：﹣30°；﹣360°．
10．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是 ﹣960° ．
【解答】解：40分=23小时，23×360°＝240°，
因为时针按顺时针旋转，故形成负角，
﹣360°×2﹣240°＝﹣960°．
故答案为：﹣960°．
11．已知角α＝﹣3000°，则与α终边相同的最小正角是 240° ．
【解答】解：与α＝﹣3000°终边相同的角的集合为{θ|θ＝﹣3000°+k•360°，k∈Z}
令﹣3000°+k•360°＞0°
解得k＞253，故k＝9时，α＝240°满足条件
故答案为：240°．
12．弧度数为2的角的终边落在第 二 象限．
【解答】解：根据题意，π2＜2＜π，则弧度数为2的角的终边落在第二象限，
故答案为：二
三．解答题（共3小题）
13．半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A（1，0）出发，以逆时针方向等速沿圆周旋转，已知点P在1s内转过的角度为θ（0°＜θ＜180°），经过2s到达第三象限，经过14s后又回到了出发点A处，求θ．
【解答】解：∵0°＜θ＜180°，且k•360°+180°＜2θ＜k•360°+270°，k∈Z，
∴一定有k＝0，90°＜θ＜135°．
又∵14θ＝n•360°（n∈Z），∴θ=n⋅180°7，n∈Z，
从而90°＜n⋅180°7＜135°，n∈Z，
∴72＜n＜214，n∈Z，∴n＝4或5．
当n＝4时，θ=(7207)°；
当n＝5时，θ=(9007)°．
14．（1）写出与α＝﹣1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式﹣720°≤β＜360°的元素β写出来．
（2）分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
（3）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合．
【解答】解：（1）与α＝﹣1910°终边相同的角的集合为{β|β＝﹣1910°+k•360°，k∈Z}．
取k＝4时，β＝﹣470°；取k＝5，β＝﹣110°；取k＝6，β＝250°．
（2）①S＝{α|α＝k•180°，k∈Z}；
②S＝{α|α＝135°+k•180°，k∈Z}；
③S＝{α|α＝45°+k•180°，k∈Z}∪{α|α＝135°+k•180°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝45°+2k•90°，k∈Z}∪{α|α＝45°+（2k+1）•90°，k∈Z}＝{α|α＝45°+k•90°，k∈Z}．
（3））终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为：
{α|﹣30°+k•360°≤α≤135°+k•360°，k∈z}．
15．已知角α＝2020°．
（1）把α改写成k•360°+β（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，并指出它是第几象限角；
（2）求θ，使θ与α终边相同，且﹣360°≤θ＜720°．
【解答】解：（1）α＝2020°＝5×360°+220°，
因为220°是第三象限角，
所以α为第三象限角；
（2）与α终边相同的角为k•360°+2020°，k∈Z，
因为θ与α终边相同且﹣360°≤θ＜720°，
则k＝﹣6，k＝﹣5，k＝﹣4时，与α终边相同的角θ为﹣140°，220°，580°．
名称
定义
图示
正角
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角
一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有做任何旋转形成的角
角度制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
1度的角
1度的角等于周角的eq \f(1,360)
弧度制
定义
以弧度作为单位来度量角的单位制
1弧度的角
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝eq \f(π,180) rad≈0.017 45 rad
1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°≈57.30°
度数×eq \f(π,180)＝弧度数
弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝度数
知识点一 任意角
1．角的概念：
角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
2．角的表示：
如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点O.
3．角的分类：
知识点二 角的加法与减法
设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.
(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．
知识点三 象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
知识点四 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
知识点五 度量角的两种制度
知识点六 弧度数的计算
知识点七 角度与弧度的互化
知识点八 弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形面积公式：S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)αR2.
终边相同的角
下列说法中正确的是
A．角与角的终边相同
B．若是锐角．则是第二象限的角
C．角与角都是第三象限的角
D．角与角的终边关于轴对称
时针走过2时40分，则分针转过的角度是
A．B．C．D．
在下列说法中：
①时钟经过两个小时，时针转过的角是；
②钝角一定大于锐角；
③射线绕端点按逆时针旋转一周所成的角是．
其中错误说法的序号为 （错误说法的序号都写上）．
自行车大链轮有36齿，小链轮有24齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是 度．
经过2小时15分钟，时间从8点5分变为10点20分，钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少？此时它们所成的角是多少？
象限角及区域角的表示
与角终边相同的最小正角是
A．B．C．D．
下列各角中，与角终边相同的角是
A．B．C．D．
终边在直线上的所有角的集合是
A．，B．，
C．，D．，
把转化为的形式是
A．B．C．D．
若角满足，，则角的终边落在
A．第一或第二象限B．第一或第三象限
C．第二或第四象限D．第三或第四象限
如果是第二象限角，那么是
A．第一或第四象限角B．第一或第三象限角
C．第二或第三象限角D．第二或第四象限角
若，满足，则的取值范围是
A．B．C．D．
给出下列命题：
①是第四象限角；
②是第三象限角；
③是第二象限角；
④是第一象限角．
其中正确的命题是
A．①B．②C．③D．④
已知．
（1）把写成的形式，并指出它是第几象限角
（2）写出与终边相同的角构成的集合，并把中适合不等式的元素写出来．
如图．
（1）写出终边落在射线，上的角组成的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角组成的集合．
角度制与弧度制的互化
下列转化结果正确的是
A．化成弧度是B．化成角度是
C．化成弧度是D．化成角度是
A．B．C．D．
时间经过5小时，时针转过的弧度数为
A．B．C．D．
将下列角度与弧度进行互化．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
（1）把化成弧度；
（2）把化成角度；
（3）已知、、、、，试比较、、、、的大小．
扇形的弧长、面积
时钟的分针长，从到．分针转过的角是多少弧度？分针扫过的扇形面积是多少？分针尖端所走过的弧长是多少？取3.14，计算结果精确到
如图所示的圆中，已知圆心角，半径与弦垂直，垂足为，若，求的长及其弦所围成的弓形的面积．
一．选择题（共8小题）
1．已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α的值为（ ）
A．﹣480°B．﹣240°C．150°D．480°
2．下列各对角中，终边相同的是（ ）
A．32π和2kπ−32π（k∈Z）B．−π5和225π
C．−79π和119πD．203π和1229π
3．设A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限角}，则A∩B等于（ ）
A．{锐角}
B．{小于90°的角}
C．{第一象限角}
D．{α|k•360°＜α＜k•360°+90°（k∈Z，k≤0）}
4．下列各组角中两个角终边不相同的一组是（ ）
A．﹣43°和677°B．900°和1260°
C．﹣120°和960°D．150°和630°
5．若α＝k•180°+45°（k∈Z），则α的终边在（ ）
A．第一或第三象限B．第一或第二象限
C．第二或第四象限D．第三或第四象限
6．如图所示，扇形OPQ的半径为2，圆心角为π3，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形，则SABCD的最大值是（ ）
A．233B．23C．3D．23
7．已知扇形的弧长是4cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．1B．2C．4D．1或4
8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为（ ）
A．505B．507C．5011D．5019
二．填空题（共4小题）
9．从13：00到14：00，时针转过的角为 ，分针转过的角为 ．
10．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是 ．
11．已知角α＝﹣3000°，则与α终边相同的最小正角是 ．
12．弧度数为2的角的终边落在第 象限．
三．解答题（共3小题）
13．半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A（1，0）出发，以逆时针方向等速沿圆周旋转，已知点P在1s内转过的角度为θ（0°＜θ＜180°），经过2s到达第三象限，经过14s后又回到了出发点A处，求θ．
14．（1）写出与α＝﹣1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式﹣720°≤β＜360°的元素β写出来．
（2）分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
（3）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合．
15．已知角α＝2020°．
（1）把α改写成k•360°+β（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，并指出它是第几象限角；
（2）求θ，使θ与α终边相同，且﹣360°≤θ＜720°．
名称
定义
图示
正角
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角
一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有做任何旋转形成的角
角度制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
1度的角
1度的角等于周角的eq \f(1,360)
弧度制
定义
以弧度作为单位来度量角的单位制
1弧度的角
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝eq \f(π,180) rad≈0.017 45 rad
1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°≈57.30°
度数×eq \f(π,180)＝弧度数
弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝度数
专题5.1 任意角和弧度制
知识点一 任意角
1．角的概念：
角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
2．角的表示：
如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点O.
3．角的分类：
知识点二 角的加法与减法
设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.
(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．
知识点三 象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
知识点四 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
知识点五 度量角的两种制度
知识点六 弧度数的计算
知识点七 角度与弧度的互化
知识点八 弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形面积公式：S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)αR2.
终边相同的角
下列说法中正确的是
A．角与角的终边相同
B．若是锐角．则是第二象限的角
C．角与角都是第三象限的角
D．角与角的终边关于轴对称
【解答】解：，，与角的终边相同，不正确；
，若是锐角，则，．则是第二象限的角，不正确；
，，与角的终边相同，是第二象限的角，不正确；
，，与角的终边相同，角与角的终边关于轴对称，正确．
故选：．
时针走过2时40分，则分针转过的角度是
A．B．C．D．
【解答】解：，，
由于时针都是顺时针旋转，
时针走过2小时40分，分针转过的角的度数为，
故选：．
在下列说法中：
①时钟经过两个小时，时针转过的角是；
②钝角一定大于锐角；
③射线绕端点按逆时针旋转一周所成的角是．
其中错误说法的序号为 ①③ （错误说法的序号都写上）．
【解答】解：①时钟经过两个小时，时针转过的角是；所以①不正确；
②钝角一定大于锐角；显然正确；
③射线绕端点按逆时针旋转一周所成的角是；所以③不正确；
故答案为：①③．
自行车大链轮有36齿，小链轮有24齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是 度．
【解答】解：因为大链轮转过一周时，小链轮转36齿．而小链轮有24齿，故小链轮转周，
一周为，故小链轮转过的角度为
故答案为：．
经过2小时15分钟，时间从8点5分变为10点20分，钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少？此时它们所成的角是多少？
【解答】解：时针每小时转过，则每分钟转过，
而分针每分钟转过，故经过2小时15分钟后，
时针转过，
分针转过小时15分钟后为10点（20分），
此时分针指向4，时针则由指向10转过了，
此时时针和分针所成的角为．
象限角及区域角的表示
与角终边相同的最小正角是
A．B．C．D．
【解答】解：，
即与角终边相同的最小正角是，
故选：．
下列各角中，与角终边相同的角是
A．B．C．D．
【解答】解：与终边相同的角一定可以写成的形式，，
令 可得，与终边相同，
故选：．
终边在直线上的所有角的集合是
A．，B．，
C．，D．，
【解答】直线过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在范围内终边在直线上的角有两个：，．
因此，终边在直线上的角的集合
，，
，，
，．
故选：．
把转化为的形式是
A．B．C．D．
【解答】解：，
故选：．
若角满足，，则角的终边落在
A．第一或第二象限B．第一或第三象限
C．第二或第四象限D．第三或第四象限
【解答】解：，；
当时，，此时为第一象限角；
当时，，此时是第三象限角；
角的终边落在第一或第三象限角．
故选：．
如果是第二象限角，那么是
A．第一或第四象限角B．第一或第三象限角
C．第二或第三象限角D．第二或第四象限角
【解答】解：是第二象限角，
，，，
，，．
是第一或三象限角．
故选：．
若，满足，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：从题中可分离出三个不等式：①，②，③．
根据不等式的性质，
②式同乘以得④，
根据同向不等式的可加性，
可得．由③式得，
所以．
故选：．
给出下列命题：
①是第四象限角；
②是第三象限角；
③是第二象限角；
④是第一象限角．
其中正确的命题是
A．①B．②C．③D．④
【解答】解：是第四象限角，故选项①正确；
是第三象限角，故选项②正确；
，因为是第二象限角，所以也是第二象限角，故选项③正确；
，因为是第一象限角，所以也是第一象限角，故选项④正确．
故选：．
已知．
（1）把写成的形式，并指出它是第几象限角
（2）写出与终边相同的角构成的集合，并把中适合不等式的元素写出来．
【解答】解：（1），，
把角写成的形式为：，
它是第四象限的角．
（2）与的终边相同，
令，，
，
当，0，满足题意，
得到，
如图．
（1）写出终边落在射线，上的角组成的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角组成的集合．
【解答】解：（1）终边落在射线上的角组成的集合是，．
终边落在射线上的角组成的集合是，．
（2）终边落在阴影部分（包括边界）的角组成的集合是，．
角度制与弧度制的互化
下列转化结果正确的是
A．化成弧度是B．化成角度是
C．化成弧度是D．化成角度是
【解答】解：对于，化成弧度是，所以错误；
对于，化成角度是，所以错误；
对于，化成弧度是，所以错误；
对于，化成角度是，所以正确．
故选：．
A．B．C．D．
【解答】解：．
故选：．
时间经过5小时，时针转过的弧度数为
A．B．C．D．
【解答】解：由于经过一个小时，时针转过倍的周角
由一周角为，
又由顺时针旋转得到的角是负角，
故经过一个小时，时针转过的弧度数，
所以时间经过5小时，时钟转过的角的弧度数是．
故选：．
将下列角度与弧度进行互化．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
（1）把化成弧度；
（2）把化成角度；
（3）已知、、、、，试比较、、、、的大小．
【解答】解：（1）由，所以；
（2）由，所以；
（3）由，所以，，
因为，
故．
扇形的弧长、面积
时钟的分针长，从到．分针转过的角是多少弧度？分针扫过的扇形面积是多少？分针尖端所走过的弧长是多少？取3.14，计算结果精确到
【解答】解：时钟的分针从到，分针转过的角的弧度是，
分针扫过的扇形面积，
分针尖端所走过的弧长是．
如图所示的圆中，已知圆心角，半径与弦垂直，垂足为，若，求的长及其弦所围成的弓形的面积．
【解答】解：圆心角，半径与弦垂直，垂足为，则，
设半径为，，则，有，解得，从而，，．
故的长（圆心角弧度数）（半径）．
故弓形的面积．
一．选择题（共8小题）
1．已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α的值为（ ）
A．﹣480°B．﹣240°C．150°D．480°
【解答】解：角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，
则α的值为360°+90°+30°＝480°，
故选：D．
2．下列各对角中，终边相同的是（ ）
A．32π和2kπ−32π（k∈Z）B．−π5和225π
C．−79π和119πD．203π和1229π
【解答】解：∵119π+79π＝2π，∴终边相同．
故选：C．
3．设A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限角}，则A∩B等于（ ）
A．{锐角}
B．{小于90°的角}
C．{第一象限角}
D．{α|k•360°＜α＜k•360°+90°（k∈Z，k≤0）}
【解答】解：∵A＝{小于90°的角}＝{锐角、负角和零角}，
B＝{第一象限角}＝{α|k•360°＜α＜k•360°+90°，k∈Z}，
∴A∩B＝{α|k•360°＜α＜k•360°+90°（k∈Z，k≤0）}．
故选：D．
4．下列各组角中两个角终边不相同的一组是（ ）
A．﹣43°和677°B．900°和1260°
C．﹣120°和960°D．150°和630°
【解答】解：若角α与角β终边相同，则β＝α+k360°，k∈Z，
所以将四个选项中的两角做差可知，
只有D选项630°﹣150＝480°，不是360°的整数倍．
故选：D．
5．若α＝k•180°+45°（k∈Z），则α的终边在（ ）
A．第一或第三象限B．第一或第二象限
C．第二或第四象限D．第三或第四象限
【解答】解：由α＝k•180°+45°（k∈Z），
当k为偶数时，k•180°的终边位于x轴正半轴，则α＝k•180°+45°（k∈Z）为第一象限角；
当k为奇数时，k•180°的终边位于x轴负半轴，则α＝k•180°+45°（k∈Z）为第三象限角．
所以α的终边在第一或第三象限．
故选：A．
6．如图所示，扇形OPQ的半径为2，圆心角为π3，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形，则SABCD的最大值是（ ）
A．233B．23C．3D．23
【解答】解：如图，记∠COP＝α，在Rt△OBC中，OB＝2csα，BC＝2sinα，
在Rt△OAD中，OA=33DA=33BC=33×2sinα．
所以AB＝OB﹣OA＝2csα−233sinα．
设矩形ABCD的面积为S，则S＝AB•BC＝（2csα−233sinα）•2sinα＝4sinαcsα−433sin2α
＝2sin2α+233cs2α−233
=43sin（2α+π6）−233．
由于0＜α＜α3，所以当2α+π6=π2，即α=π6时，S最大=43−233=233．
因此，当α=π6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为233．
故选：A．
7．已知扇形的弧长是4cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．1B．2C．4D．1或4
【解答】解：因为扇形的弧长为4，面积为2，
所以扇形的半径为：12×4×r＝2，解得：r＝1，
则扇形的圆心角的弧度数为41=4．
故选：C．
8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为（ ）
A．505B．507C．5011D．5019
【解答】解：设该扇形的半径为r米，连接CO．
由题意，得CD＝150（米），OD＝100（米），∠CDO＝60°，
在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD•OD•cs60°＝OC2，
即，150 2+1002﹣2×150×100×12=r2，
解得r＝507（米）．
故选：B．
二．填空题（共4小题）
9．从13：00到14：00，时针转过的角为 ﹣30° ，分针转过的角为 ﹣360° ．
【解答】解：从13：00到14：00，经过一个小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，
结合负角的定义可知，时针转过的角为﹣30°，分针转过的角为﹣360°．
故答案为：﹣30°；﹣360°．
10．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是 ﹣960° ．
【解答】解：40分=23小时，23×360°＝240°，
因为时针按顺时针旋转，故形成负角，
﹣360°×2﹣240°＝﹣960°．
故答案为：﹣960°．
11．已知角α＝﹣3000°，则与α终边相同的最小正角是 240° ．
【解答】解：与α＝﹣3000°终边相同的角的集合为{θ|θ＝﹣3000°+k•360°，k∈Z}
令﹣3000°+k•360°＞0°
解得k＞253，故k＝9时，α＝240°满足条件
故答案为：240°．
12．弧度数为2的角的终边落在第 二 象限．
【解答】解：根据题意，π2＜2＜π，则弧度数为2的角的终边落在第二象限，
故答案为：二
三．解答题（共3小题）
13．半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A（1，0）出发，以逆时针方向等速沿圆周旋转，已知点P在1s内转过的角度为θ（0°＜θ＜180°），经过2s到达第三象限，经过14s后又回到了出发点A处，求θ．
【解答】解：∵0°＜θ＜180°，且k•360°+180°＜2θ＜k•360°+270°，k∈Z，
∴一定有k＝0，90°＜θ＜135°．
又∵14θ＝n•360°（n∈Z），∴θ=n⋅180°7，n∈Z，
从而90°＜n⋅180°7＜135°，n∈Z，
∴72＜n＜214，n∈Z，∴n＝4或5．
当n＝4时，θ=(7207)°；
当n＝5时，θ=(9007)°．
14．（1）写出与α＝﹣1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式﹣720°≤β＜360°的元素β写出来．
（2）分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
（3）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合．
【解答】解：（1）与α＝﹣1910°终边相同的角的集合为{β|β＝﹣1910°+k•360°，k∈Z}．
取k＝4时，β＝﹣470°；取k＝5，β＝﹣110°；取k＝6，β＝250°．
（2）①S＝{α|α＝k•180°，k∈Z}；
②S＝{α|α＝135°+k•180°，k∈Z}；
③S＝{α|α＝45°+k•180°，k∈Z}∪{α|α＝135°+k•180°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝45°+2k•90°，k∈Z}∪{α|α＝45°+（2k+1）•90°，k∈Z}＝{α|α＝45°+k•90°，k∈Z}．
（3））终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为：
{α|﹣30°+k•360°≤α≤135°+k•360°，k∈z}．
15．已知角α＝2020°．
（1）把α改写成k•360°+β（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，并指出它是第几象限角；
（2）求θ，使θ与α终边相同，且﹣360°≤θ＜720°．
【解答】解：（1）α＝2020°＝5×360°+220°，
因为220°是第三象限角，
所以α为第三象限角；
（2）与α终边相同的角为k•360°+2020°，k∈Z，
因为θ与α终边相同且﹣360°≤θ＜720°，
则k＝﹣6，k＝﹣5，k＝﹣4时，与α终边相同的角θ为﹣140°，220°，580°．
名称
定义
图示
正角
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角
一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有做任何旋转形成的角
角度制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
1度的角
1度的角等于周角的eq \f(1,360)
弧度制
定义
以弧度作为单位来度量角的单位制
1弧度的角
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝eq \f(π,180) rad≈0.017 45 rad
1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°≈57.30°
度数×eq \f(π,180)＝弧度数
弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝度数
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