数学必修 第一册5.2.1 三角函数的概念习题

这是一份数学必修 第一册5.2.1 三角函数的概念习题，共21页。试卷主要包含了图示，口诀，若α∈等内容，欢迎下载使用。

知识点一 任意角的三角函数的定义
知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
1．图示：
2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
知识点三 公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等．
即
知识点四 同角三角函数的基本关系
三角函数的定义及应用
若角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，且终边经过点，则
A．B．C．D．
已知角的终边经过点，则的值为
A．11B．10C．12D．13
在平面直角坐标系中，角，角的终边关于直线对称，若，则
A．B．C．D．
三角函数值符号的应用
已知角的终边在第三象限，则点在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是
A．B．C．D．
若，，，则是
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
函数的值域是 ．
若，且，则角是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
三角函数的求值
已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边经过点，其中．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
求下列三角函数值（可用计算器）
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
已知，则
A．B．C．D．或
，，
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
已知，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
已知，计算：
（1）；
（2）．
一．选择题（共8小题）
1．在平面直角坐标系中，角α的终边经过点（−12，32），则sinα的值为（ ）
A．12B．−12C．−32D．32
2．若tanθ＞0，则下列三角函数值为正值的是（ ）
A．sinθB．csθC．sin2θD．cs2θ
3．若sinα=−12，则角α终边上一点的坐标可能是（ ）
A．(−12，32)B．(−12，−32)C．(32，−12)D．(−32，12)
4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），点B在第一象限内，OA＝AB，∠OAB＝120°（O为坐标原点），将△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第23次旋转后，点B的坐标为（ ）
A．（1，0）B．（32，12）C．（32，−32）D．（32，32）
5．下列能使csθ＜sinθ＜tanθ成立的θ所在区间是（ ）
A．(0，π4)B．(π4，π2)C．(π2，π)D．(5π4，3π2)
6．若csα＞0，sinα＜0，则角α的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．若α∈（0，π2），sinα2−csα=tanα2，则tanα＝（ ）
A．33B．3C．34D．62
8．在直角坐标系中，角α、β终边与单位圆的交点分别为A、B（如图），将∠AOB绕原点O顺时针旋转角β，得到∠A'OB'，则点A'的坐标为（ ）
A．（sin（α+β），cs（α+β））B．（sin（α﹣β），cs（α﹣β））
C．（cs（α+β），sin（α+β））D．（cs（α﹣β），sin（α﹣β））
二．填空题（共4小题）
9．若角α的终边经过点（sin70°，cs70°），且tanα+tan2α+mtanα•tan2α=3，则实数m＝ ．
10．设a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα＝ ．
11．适合条件|sinα|＝﹣sinα的角α的取值范围是 ．
12．如果角α是第三象限角，则点P（tanα，sinα）位于第 象限．
三．解答题（共3小题）
13．已知角α的终边在函数y=−12x(x＞0)的图像上，求sinα，csα的值．
14．（1）已知角α的终边经过点P（4，﹣3），求2sinα+csα的值；
（2）已知角α的终边经过点P（4a，﹣3a）（a≠0），求2sinα+csα的值．
15．已知角α终边上一点的坐标为P（﹣4，3）．
（Ⅰ）求sinα，csα，tanα的值；
（Ⅱ）求sin(π+α)+2sin(π2−α)2cs(π−α)的值．
条件
如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α
余弦
点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cs α，即x＝cs α
正切
点P的纵坐标与横坐标的比值eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α，即eq \f(y,x)＝tan α(x≠0)
三角函数
正弦函数y＝sin x，x∈R
余弦函数y＝cs x，x∈R
正切函数y＝tan x，x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z
(sinα＋2kπ＝sin α，
csα＋2kπ＝cs α，
tanα＋2kπ＝tan α，
其中k∈Z.
关系式
文字表述
平方关系
sin2α＋cs2α＝1
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
商数关系
eq \f(sin α,cs α)＝tan α
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))
同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切
专题5.2 三角函数的概念
知识点一 任意角的三角函数的定义
知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
1．图示：
2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
知识点三 公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等．
即
知识点四 同角三角函数的基本关系
三角函数的定义及应用
若角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，且终边经过点，则
A．B．C．D．
【解答】解：因为角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，且终边经过点，
所以利用三角函数的定义，可得．
故选：．
已知角的终边经过点，则的值为
A．11B．10C．12D．13
【解答】解：角的终边经过点，则，，
，
故选：．
在平面直角坐标系中，角，角的终边关于直线对称，若，则
A．B．C．D．
【解答】解：在平面直角坐标系中，角，角的终边关于直线对称，
设的终边经过点，则的终边经过点，
，
．
故选：．
三角函数值符号的应用
已知角的终边在第三象限，则点在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：角的终边在第三象限，，，
点在第四象限，
故选：．
是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是
A．B．C．D．
【解答】解：因为是第二象限角，所以为第一或第三象限角，为第三或第四象限角或轴的非负半轴，
由三角函数在各个象限的符号可得，有正有负，有正有负，为负，有正有负．
故选：．
若，，，则是
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【解答】解：，
在第二四象限，
，
在第二三象限，
故的终边在第二象限，
故选：．
函数的值域是 ，0， ．
【解答】解：①当是第一象限角时，、，
则；
②当是第二象限角时，、，
则；
③当是第三象限角时，、，
则；
④当是第四象限角时，、，
则；
综上可得，函数的值域是，0，，
故答案为：，0，．
若，且，则角是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：，可知是第二或第三象限角，
又，可知是第三或第四象限角．
角是第三象限角．
故选：．
三角函数的求值
已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边经过点，其中．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【解答】解：（1）角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，
终边经过点，其中，
故，．
（2）若，，则．
求下列三角函数值（可用计算器）
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
已知，则
A．B．C．D．或
【解答】解：将已知等式①两边平方得：，
，
，
，，即，
，
②，
联立①②，解得：，，
则．
故选：．
，，
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【解答】解：（1），，，．
（2）由题意可得，，，
．
（3）由，，求得，，．
已知，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），不可能是第三象限角，
，，，则，
又，平方后得到，
，
又，
．
（2）由于及．
得：，．
，
．
已知，计算：
（1）；
（2）．
【解答】
（2）
求的值是
A．89B．C．45D．
【解答】解：
，
故选：．
一．选择题（共8小题）
1．在平面直角坐标系中，角α的终边经过点（−12，32），则sinα的值为（ ）
A．12B．−12C．−32D．32
【解答】解：角α的终边经过点（−12，32），可得r=(−12)2+(32)2=1，
则sinα=yr=32．
故选：D．
2．若tanθ＞0，则下列三角函数值为正值的是（ ）
A．sinθB．csθC．sin2θD．cs2θ
【解答】解：由tanθ＞0得θ为第一或第三象限，
若θ为第一象限，则sinθ＞0，csθ＞0，则sin2θ＝2sinθcsθ＞0，
若θ为第三象限，则sinθ＜0，csθ＜0，则sin2θ＝2sinθcsθ＞0，
综上sin2θ＞0，
故选：C．
3．若sinα=−12，则角α终边上一点的坐标可能是（ ）
A．(−12，32)B．(−12，−32)C．(32，−12)D．(−32，12)
【解答】解：对于A，若角α终边上一点的坐标是(−12，32)，则sinα=3214+34=32，故错误；
对于B，若角α终边上一点的坐标是(−12，−32)，则sinα=−3214+34=−32，故错误；
对于C，若角α终边上一点的坐标是（32，−12），则sinα=−1214+34=−12，故正确；
对于D，若角α终边上一点的坐标是（−32，12），则sinα=1214+34=12，故错误．
故选：C．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），点B在第一象限内，OA＝AB，∠OAB＝120°（O为坐标原点），将△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第23次旋转后，点B的坐标为（ ）
A．（1，0）B．（32，12）C．（32，−32）D．（32，32）
【解答】解：由于OA＝AB＝1，∠OAB＝120°（O为坐标原点），
故有∠AOB＝30°，OB=12+12−2×1×1×cs120°=3，
将△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，
则第23次旋转后，x的非负半轴到射线OB的角变为30°+23×60°＝1410°＝4×360°﹣30°，
故射线OB与﹣30°终边相同，
故点B的横坐标为3×cs（﹣30°）=32，点B的纵坐标为 3×sin（﹣30°）=−32，
故点B（32，−32），
故选：C．
5．下列能使csθ＜sinθ＜tanθ成立的θ所在区间是（ ）
A．(0，π4)B．(π4，π2)C．(π2，π)D．(5π4，3π2)
【解答】解：取答案各区间的特点值π6、π3、2π3、4π3代入检验．csπ6＞sinπ6所以A不正确；
因为csπ3＜sinπ3＜tanπ3，所以B正确；
因为sin2π3＞tan2π3，所以C不正确；
因为cs4π3＞sin4π3，不满足csθ＜sinθ＜tanθ，所以D不正确．
故选：B．
6．若csα＞0，sinα＜0，则角α的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵cs α＞0，∴α的终边在第一或第四象限或在x轴的非负半轴上，
再根据sin α＜0，则角α的终边在第三或四象限或y轴的非正半轴上，
综合可得则角α的终边在四象限，
故选：D．
7．若α∈（0，π2），sinα2−csα=tanα2，则tanα＝（ ）
A．33B．3C．34D．62
【解答】解：因为sinα2−csα=tanα2，
所以sinα2csα2=2sinα2csα22−csα，
又因为α∈（0，π2），sinα2≠0，
所以2﹣csα＝2cs2α2，即2﹣csα＝1+csα，
所以csα=12，
又因为α∈（0，π2），
所以α=π3，tanα=3．
故选：B．
8．在直角坐标系中，角α、β终边与单位圆的交点分别为A、B（如图），将∠AOB绕原点O顺时针旋转角β，得到∠A'OB'，则点A'的坐标为（ ）
A．（sin（α+β），cs（α+β））B．（sin（α﹣β），cs（α﹣β））
C．（cs（α+β），sin（α+β））D．（cs（α﹣β），sin（α﹣β））
【解答】解：点A′是∠A′OB′的终边与单位圆的交点，
又∠A′OB′＝∠AOB＝α﹣β，
根据三角函数定义点A′的坐标为（cs（α﹣β），sin（α﹣β））．
故选：D．
二．填空题（共4小题）
9．若角α的终边经过点（sin70°，cs70°），且tanα+tan2α+mtanα•tan2α=3，则实数m＝ 3 ．
【解答】解：∵角α的终边经过点（sin70°，cs70°），
∴tanα=cs70°sin70°=sin20°cs20°=tan20°，
即α＝20°，
则tanα+tan2α+mtanα•tan2α=3，等价为tan20°+tan40°+mtan20°•tan40°=3，
∵tan（20°+40°）=tan20°+tan40°1−tan20°tan40°=3，
∴tan20°+tan40°=3−3tan20°tan40°，
则3−3tan20°tan40°+mtan20°tan40°=3，
即（m−3）tan20°tan40°＝0，则m=3，
故答案为：3．
10．设a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα＝ −45 ．
【解答】解：设a＜0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），
所以sinα=4a(−3a)2+(4a)2=4a|5a|=−45．
故答案为：−45．
11．适合条件|sinα|＝﹣sinα的角α的取值范围是 [2kπ﹣π，2kπ]，k∈Z ．
【解答】解：∵|sinα|＝﹣sinα，
∴﹣sinα≥0，
∴sinα≤0，
由正弦曲线可以得到α∈[2kπ﹣π，2kπ]，k∈Z，
故答案为：[2kπ﹣π，2kπ]，k∈Z
12．如果角α是第三象限角，则点P（tanα，sinα）位于第 四 象限．
【解答】解：角α是第三象限角，可得tanα＞0，sinα＜0，
则点P（tanα，sinα）位于第四象限，
故答案为：四．
三．解答题（共3小题）
13．已知角α的终边在函数y=−12x(x＞0)的图像上，求sinα，csα的值．
【解答】解：∵角α的终边在函数y=−12x(x＞0)的图像上，
在角α的终边上任意取一点（2，﹣1），
可得sinα=−15=−55，csα=25=255．
14．（1）已知角α的终边经过点P（4，﹣3），求2sinα+csα的值；
（2）已知角α的终边经过点P（4a，﹣3a）（a≠0），求2sinα+csα的值．
【解答】解：（1）∵角α的终边经过点（4，﹣3），
∴x＝4，y＝﹣3，r=42+(−3)2=5
∴sinα=−35，csα=45，
∴2sinα+csα=2(−35)+45=−25．
（2）当a＞0时，x＝4a，y＝﹣3a，r=(4a)2+(−a)2=5a
∴sinα=−35，csα=45，
∴2sinα+csα=2(−35)+45=−25．
当a＜0时，x＝4a，y＝﹣3a，r=(4a)2+(−a)2=−5a
∴sinα=35，csα=−45，
∴2sinα+csα=2×35−45=25．
15．已知角α终边上一点的坐标为P（﹣4，3）．
（Ⅰ）求sinα，csα，tanα的值；
（Ⅱ）求sin(π+α)+2sin(π2−α)2cs(π−α)的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵P（﹣4，3），∴r＝|OP|＝5，
则sinα=35，csα=−45，tanα=−34；
（Ⅱ）sin(π+α)+2sin(π2−α)2cs(π−α)=−sinα+2csα−2csα=12tanα−1=12×(−34)−1=−118．
条件
如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α
余弦
点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cs α，即x＝cs α
正切
点P的纵坐标与横坐标的比值eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α，即eq \f(y,x)＝tan α(x≠0)
三角函数
正弦函数y＝sin x，x∈R
余弦函数y＝cs x，x∈R
正切函数y＝tan x，x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z
(sinα＋2kπ＝sin α，
csα＋2kπ＝cs α，
tanα＋2kπ＝tan α，
其中k∈Z.
关系式
文字表述
平方关系
sin2α＋cs2α＝1
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
商数关系
eq \f(sin α,cs α)＝tan α
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))
同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切