高一数学上学期阶段考试全真模拟卷(新教材地区使用)高一数学期末模拟试题一(原卷版+解析)

这是一份高一数学上学期阶段考试全真模拟卷(新教材地区使用)高一数学期末模拟试题一(原卷版+解析)，共24页。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则满足的集合的个数为（ ）
A．4B．8C．7D．16
2． “”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
3．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4．设，函数为偶函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知为定义在上的奇函数，且满足，已知时，，若，，，则的大小关系为
A．B．C．D．
6．已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若函数恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知函数定义域为，且满足，，则（ ）
A．B．
C．D．为偶函数
10．已知函数，则（ ）
A．函数的值域为
B．点是函数的一个对称中心
C．函数在区间上是减函数
D．若函数在区间上是减函数，则的最大值为
11．已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．方程有且仅有三个解B．方程有且仅有三个解
C．方程有且仅有九个解D．方程有且仅有一个解
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若函数是奇函数，且，则________．
14．已知：，，则的最小值是______.
15．设函数，若函数的图象关于点对称，且在区间上的最大值为2，则实数m的值为______．
16．己知函数，若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
18．已知
(1)求的值；
(2)已知，且，求的值.
19．已知函数
(1)求的最小正周期；
(2)若的图象关于点对称，且，求t的值
(3)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
20．已知函数
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)求不等式的解集.
21．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
22．对于在区间上有意义的函数f(x)，若满足对任意的，有恒成立，则称f(x)在上是“友好”的，否则就称f（x）在上是“不友好”的.现有函数
(1)当a=1时，判断函数f(x)在上是否“友好”；
(2)若函数f(x)在区间(1≤m≤2)上是“友好”的，求实数a的取值范围
(3)若关于x的方程的解集中有且只有一个元素，求实数a的取值范围.
高一数学期末模拟试题一
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知集合，，则满足的集合的个数为（ ）
A．4B．8C．7D．16
【答案】B
【分析】根据题设列举法表示出集合，再由集合的包含关系，判断元素与集合的关系得只需讨论元素是否为集合的元素研究集合即可.
【详解】由题设，，又，
所以，只需讨论元素是否为集合的元素研究集合的个数，即可得结果，
所以集合的个数为.
故选：B
2． “”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由集合的包含关系直接判断即可.
【详解】，
因为，
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
3．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先判断时函数的单调性，并根据零点，求的解集，然后根据奇函数的性质，求函数在时，的解集，即可求解.
【详解】当时，是增函数+增函数=增函数，且，
所以当时，，时，，
根据奇函数的性质可知，，，，，
所以不等式的解集是.
故选：D
4．设，函数为偶函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简得，然后根据偶函数得到，解得，最后根据即可得到的最小值.
【详解】，因为为偶函数，所以，故，又，最小值为.
故选：D.
5．已知为定义在上的奇函数，且满足，已知时，，若，，，则的大小关系为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据函数的奇偶性和单调性，结合函数的周期性进行转化判断即可．
【详解】为定义在R上的奇函数，且满足，
，
则，
即，则函数的周期是4，
时，，为增函数，则在上为增函数，
，
，
，
，
即，
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数的奇偶性和对称性求出函数的周期是解决本题的关键．有一定的难度．
6．已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，则，然后判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性可求.
【详解】解：令，则，
因为，，
∴为奇函数，
又因为，由函数单调性可知为的增函数，
∵，则，
∴，
，
∴，解得.
故选：A.
7．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合同角三角函数关系以及辅助角公式，可化简原式得到，再利用辅助角公式可得，由余弦的二倍角公式可得解
【详解】，
则
故选：D
8．已知函数，若函数恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】函数有零点转化为方程有实根，令，则方程可转化为常见的一元二次方程，对其分析求解即可.
【详解】画出函数的大致图象，如下图所示：
函数恰好有5个不同的零点，方程有5个根，设，则方程化为，易知此方程有两个不等的实根，，结合的图象可知，，，令，则由二次函数的根的分布情况得：，解得：.
故选：A
二、多选题
9．已知函数定义域为，且满足，，则（ ）
A．B．
C．D．为偶函数
【答案】ACD
【分析】由已知条件结合赋值法，可得，是周期为4的函数，即可判断各个选项．
【详解】由，令，得，则，故A正确；
由，用替换得，
∵，∴，
用替换得，
又∵，∴，即，由此可知为偶函数，故D正确；
由，用替换得，
又，可得，
用替换得，∴是周期为4的函数，
∴，故C正确；
∵
令，得
∴，∴，，
∴，故B错误.
故选：ACD．
10．已知函数，则（ ）
A．函数的值域为
B．点是函数的一个对称中心
C．函数在区间上是减函数
D．若函数在区间上是减函数，则的最大值为
【答案】ABD
【分析】利用辅助角公式可得出，利用正弦型函数的值域可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断CD选项.
【详解】因为.
对于A选项，函数的值域为，A对；
对于B选项，，故点是函数的一个对称中心，B对；
对于C选项，当时，，故函数在区间上不单调，C错；
对于D选项，由题意且函数在上为减函数，
当时，，且，
所以，，则，解得，
故的最大值为，D对.
故选：ABD.
11．已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】把指数式化成相应的对数式，运用对数的运算法则及换底公式和基本不等式可求得结果.
【详解】解：，令，则，，.
对于A，
，A选项正确；
对于B，，，
因为，所以，B选项错误；
对于C，，C选项错误；
对于D，，
所以，D选项正确；
故选：AD.
12．定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．方程有且仅有三个解B．方程有且仅有三个解
C．方程有且仅有九个解D．方程有且仅有一个解
【答案】AD
【分析】根据复合函数的零点求解方法，从外到内数形结合分析，即可判断和选择.
【详解】对A：令，数形结合可知，或或；令，，，
又因为，故，
数形结合可知都有一个根，故方程有且仅有三个解，A正确；
对B：令，数形结合可知，；令，因为，数形结合可知，该方程有一个根，
故方程有且仅有一个解，故B错误；
对C：令，数形结合可知，或或；令，
由题可知，，数形结合可知，各有一个解，，有三个解，
故方程有且仅有五个解，故C错误；
对D：令，数形结合可知，；令，又，数形结合可知，该方程有一个解，
故方程有且仅有一个解，D正确.
故选：AD.
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．若函数是奇函数，且，则________．
【答案】
【分析】根据奇函数的定义，结合已知条件，求得的关系，赋值即可求得结果.
【详解】函数是奇函数，
即
又，令，则.
故答案为：.
14．已知：，，则的最小值是______.
【答案】##
【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】解：，，，，
，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值是
故答案为：
15．设函数，若函数的图象关于点对称，且在区间上的最大值为2，则实数m的值为______．
【答案】.
【分析】由题意可得，，求出，然后由，得，再结合函数的最大值为2，可得，从而可求得结果.
【详解】因为函数的图象关于点对称，
所以，，
所以，得，
因为，所以，
所以，
由，得，
因为区间上的最大值为2，
所以的最大值为，
所以，得，
故答案为：.
16．己知函数，若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据函数为奇函数且为增函数得，则有，求出右边最小值即可.
【详解】的定义域为，
且
则为奇函数，由增函数加增函数为增函数可知
函数为增函数，
不等式对任意实数恒成立，
等价于，
可得，
即，因为
,
当且仅当即时,取等号，所以.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据指数函数的单调性、绝对值的性质，结合集合交集的运算性质进行求解即可；
（2）根据充分条件的定义，结合集合子集的性质进行求解即可.
【详解】（1）由，所以
当时，，或，所以或
所以；
（2）因为若是的充分条件，所以.
当时，，符合题意；
当时，或，
因为，所以，解得.
综上实数a的取值范围是.
18．已知
(1)求的值；
(2)已知，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知可得，构造齐次式即可求出的值；
（2）由，可得，利用正切和角公式即可求出，分析角的范围即可求出的值.
【详解】（1）解：已知，所以，.
（2）解：由，可得，
则，
因为，所以，
又，则，
因为，，
则，，
所以.
19．已知函数
(1)求的最小正周期；
(2)若的图象关于点对称，且，求t的值
(3)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或；
(3).
【分析】（1）利用三角恒等式化简函数关系式，根据最小正周期的计算公式，可得答案；
（2）由（1）整理出函数的解析式，利用三角函数的对称中心的计算公式，可得答案；
（3）利用整体换元的思想，求得函数在上的值域，去掉绝对值，建立不等式组，可得答案.
【详解】（1），
则函数的最小正周期.
（2）由（1）可得，
因为的图象关于对称，
所以，则，
由，则或.
（3）由得：，则，即，
由，可得，则，解得.
20．已知函数
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)函数为奇函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用奇偶性的定义判断；
（2）利用对数函数的性质直接解不等式即可.
【详解】（1））函数为奇函数，证明如下：
由，得，
所以函数的定义域为，
对，都有，
又因为，
所以为奇函数；
（2）由，得，
所以，
因为在定义域内为减函数，
所以，
解得，
所以不等式的解集为
21．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
【答案】(1)，递减区间为，
(2)
【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；
（2）利用图象变换法则求得g(x)的函数表达式，解方程求得g(x)的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求得.
(1)
由题意，
图象的相邻两对称轴间的距离为，
的最小正周期为，即可得，
又为奇函数，则，，
又，，故，
令，得
函数的递减区间为，
(2)
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
又，则或，
即或.
令，当时，，
画出的图象如图所示：
有两个根,关于对称，即,
有,
在上有两个不同的根，,；
又的根为，
所以方程在内所有根的和为.
22．对于在区间上有意义的函数f(x)，若满足对任意的，有恒成立，则称f(x)在上是“友好”的，否则就称f（x）在上是“不友好”的.现有函数
(1)当a=1时，判断函数f(x)在上是否“友好”；
(2)若函数f(x)在区间(1≤m≤2)上是“友好”的，求实数a的取值范围
(3)若关于x的方程的解集中有且只有一个元素，求实数a的取值范围.
22．(1)函数f(x)在上是 “友好”的；
(2)；
(3).
【分析】(1)利用函数单调性求出f(x)在上的最值即可判断得解.
(2)利用函数单调性，求出f(x)在区间(1≤m≤2)上的最值，建立不等关系，分离参数，构造函数并求出其最值即可作答.
(3)利用对数函数的性质变形等式，求出方程的解，再讨论验证即可作答.
（1）
当a=1时，在上单调递减，， ，
于是得，即，有，
所以当a=1时，函数f(x)在上是 “友好”的.
（2）
依题意，在上单调递减，
则，，
则有，
即，可得，令t=2m-1(1≤t≤3)，
则，则，
函数在上单调递减，在上单调递增，当t=1或3时，取最大值1，此时，，
于是当t=1或3时，取最大值，依题意，，
又对于任意的，，即，此时，
综上，a的取值范围是.
（3）
依题意，方程化为：，且，
于是得：，即，
当a=3时，可得x=-1，此时有且，则a=3，
当a=2时，可得x=-1，此时有，矛盾，
当a≠2且a≠3时，可得x=-1或，若x=-1是原方程的解，必有(a-3)x+ 2a-4=a-1>0，且a-1≠1，则a>1且a≠2，
若是原方程的解，必有(a-3)x+ 2a-4=2a-3>0，且2a-3≠1，则且a≠2，
因此，要使方程有且仅有一个解，必有，
综上，方程的解集中有且仅有一个元素，有或a=3，
所以实数a的取值范围为.