山东省聊城市东阿县姜楼中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

这是一份山东省聊城市东阿县姜楼中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，D是▵ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使▵ACD∽▵ABC的是( )
A. ∠ACD=∠BB. ∠ADC=∠ACB
C. ADAC=CDBCD. ACAD=ABAC
2.如图，▵ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH//BC，则四边形EFGH的面积是▵ABC的面积的( )
A. 19B. 49C. 13D. 94
3.如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH=h，AB=c，若内接正方形DEFG的边长是x，则h、c、x的数量关系为( )
A. x2+h2=c2B. 12x+h=cC. h2=xcD. 1x=1h+1c
4.如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(-1,-1)，点A的坐标为(3,2)，则这两个正方形位似中心的坐标是 ( )
A. (1,0)B. (-5,-1)
C. (1,0)或(-5,-1)D. (1,0)或(-5,-2)
5.如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB= 32，AC=2 3，则AB的长是( )
A. 4 B. 3+ 3
C. 5 D. 2+2 3
6.如图是唐代亭皋发明了“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线AB为10，轮子的吃水深度CD为3，则该桨轮船的轮子半径为( )
A. 343B. 173C. 83D. 6
7.已知在⊙O中两条平行弦AB/​/CD，AB=12，CD=16，⊙O的半径是10，则AB与CD间的距离是 ( )
A. 6或12B. 2或14C. 6或14D. 2或12
8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=115°，则∠BOD的度数为( )
A. 110°B. 120°C. 130°D. 140°
9.如图，A，B两地隔河相望，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达B地，现在AB(与桥DC平行)上建了新桥EF，可沿AB从A地直达B地，已知BC=500m，桥CD=50m，∠A=45°，∠B=30°.则AB的长是( )
A. 250(1+ 3)mB. 250( 2+ 3)m
C. (300+250 3)mD. 500 m
10.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC.给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP⋅AD=CQ⋅CB.其中正确的是( )
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长，交DC于点F，则DF:FC= ．
12.如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A，D，E三点组成的三角形与△ABC相似，则AE= ．
13.在△ABC中，若|2csA-1|+( 3-tanB)2=0，则∠C= ．
14.如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是(1,0)、(0, 3)，且∠ABC=90°，∠A=30°，则顶点A的坐标是______．
15.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE=0.4m，EF=0.3m，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，则树高AB为 ．
16.圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：7，则∠D= °.
17.日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成(如图1)，它可以看作如图2所示的几何图形.已知AC=BD=5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD=16cm，⊙O的半径r=10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是______．
18.如图是梅华中学校门口的双翼闸机，当它的双翼完全打开时，双翼边缘点A与B之间的距离为12cm，AC=BD=56cm，∠PCA=∠BDQ=30∘.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 cm．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=1，AC= 2，sinB= 24，求BC的长．
20.(本小题8分)
如图，学校操场旁立着一个路灯(线段OP).小明拿着一根长2m的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点A竖起竹竿(线段AE)，这时他量了一下竹竿的影长AC正好是1m，他沿着影子的方向走了4m到达点B，又竖起竹竿(线段BF)，这时竹竿的影长BD正好是2m.请利用上述条件求出路灯的高度．
21.(本小题9分)
如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8，AD=6 3，AF=4 3，求AE的长．
22.(本小题9分)
如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
(1)求证：△AEH∽△ABC；
(2)求正方形EFGH的边长与面积．
23.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为A'，B'，C'，且都在格点上．
(1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P；
(2)写出点P的坐标为______，△ABC与△A'B'C'的面积比为______，S△ABC= ______；
(3)请在图中画出△A″B″C″，使之满足如下条件：
①△A″B″C″与△A'B'C'关于点P位似，且△A''B''C''与△A'B'C'的位似比为12；
②△A″B″C″与△A'B'C'位于点P的同侧．
24.(本小题10分)
图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB=1m，BC=0.6m，∠ABC=123∘，该车的高度AO=1.7m.如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD=27∘．

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离；
(2)若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．
(结果精确到0．01m，参考数据：sin27∘≈0.454，cs27∘≈0.891，tan27∘≈0.510， 3≈1.732)
25.(本小题12分)
【问题呈现】阿基米德折弦定理：
如图1，AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，点M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=DB+BA.下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG=AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是ABC的中点，
∴MA=MC①
又∵∠A=∠C②
∴△MAB≌△MCG③
∴MB=MG
又∵MD⊥BC
∴BD=DG
∴AB+BD=CG+DG
即CD=DB+BA
根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：
①______，
②______，
③______；
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB=4，BC=6，点M是ABC的中点，MD⊥BC于点D，则BD=______；
【变式探究】如图3，若点M是AC的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC=45°，若AB=6，⊙O的半径为5，求AD长．
参考答案
1. C 2. C 3. D 4. D 5. C 6. B 7. B
8. C 9. C 10. B
11. 1︰2
12. 16或9
13. 60°
14. (4, 3)
15. 16.5m
16. 120
17. 1cm
18. 68
19. 解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，
Rt△ABE中，
∵sinB=AEAB= 24，AB=1，
∴AE= 24，
Rt△ABE中，
由勾股定理得：EB= AB2-AE2= 144，
在Rt△ACE中，
∵AC= 2，
由勾股定理得：CE= AC2-AE2= 304，
∴BC=BE+CE= 14+ 304．
20. 在Rt△DFB中，∵BF=DB=2m，∴∠BDF=∠DFB=45∘，∴易得DP=OP.在△CEA与△COP中，∵AE⊥CP，OP⊥CP，∴AE//OP，∴△CEA∽△COP，∴CACP=AEOP．
设AP=xm，OP=hm，则11+x=2h． ①
又∵DP=OP=2+4+x=h， ②
∴联立 ① ②两式，解得x=4，h=10，
∴路灯的高度为10m．
21. (1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD/​/BC，∠B+∠C=180∘，
∴∠ADE=∠DEC．
又∵∠AFE=∠B，∠AFE+∠AFD= 180∘，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC．
(2)解：在▱ABCD中，CD=AB=8．
∵△ADF∽△DEC，
∴AFCD=ADDE，
即4 38=6 3DE，解得DE=12．
∵AE⊥BC，AD//BC，
∴AE⊥AD，即∠EAD=90∘．
在Rt△AED中，由勾股定理，
得AE= 122-(6 3)2=6．
22. 【小题1】
证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EH // BC，
∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽△ABC．
【小题2】
解：如答图，设AD与EH交于点M．
∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，
∴四边形EFDM是矩形，∴EF=DM.设正方形EFGH的边长为xcm．
∵△AEH∽△ABC，∴EHBC=AMAD，
∴x40=30-x30，解得x=1207．
∴正方形EFGH的边长为1207cm，面积为1440049cm2．
23. 解：(1)如图，点P即为所求．
(2)由图可得，P(4,5)．
∵APA'P=BPB'P=CPC'P=12，
∴△ABC与△A'B'C'的位似比为12，
∴△ABC与△A'B'C'的面积比为14．
S△ABC=12×(1+2)×2-12×1×1-12×1×2=3-12-1=32．
故答案为：(4,5)；14；32．
24. (1)如图，作B'E⊥AD，垂足为点E

在Rt▵AB'E中
∵∠B'AD=27∘，AB'=AB=1
∴sin27∘=B'EAB'
∴B'E=AB'sin27∘≈1×0.454=0.454
∵平行线间的距离处处相等
∴B'E+AO=0.454+1.7=2.154≈2.15
答：车后盖最高点B'到地面的距离为2.15m．
(2)没有危险，理由如下：
过C'作C'F⊥B'E，垂足为点F

∵∠B'AD=27∘，∠B'EA=90∘
∴∠AB'E=63∘
∵∠AB'C'=∠ABC=123∘
∴∠C'B'F=∠AB'C'-∠AB'E=60∘
在Rt▵B'FC'中，B'C'=BC=0.6
∴B'F=B'C'⋅cs60∘=0.3．
∵平行线间的距离处处相等
∴C'到地面的距离为2.15-0.3=1.85．
∵1.85>1.8
∴没有危险．
25. 【问题呈现】
①相等的弧所对的弦相等
②同弧所定义的圆周角相等
③有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等
故答案为：相等的弧所对的弦相等；同弧所定义的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；
【理解运用】CD=DB+BA，即CD=6-CD+AB，即CD=6-CD+4，解得：CD=5，
BD=BC-CD=6-5=1，
故答案为：1；
【变式探究】DB=CD+BA．
证明：在DB上截去BG=BA，连接MA、MB、MC、MG，
∵M是弧AC的中点，
∴AM=MC，∠MBA=∠MBG．
又MB=MB
∴△MAB≌△MGB(SAS)
∴MA=MG
∴MC=MG，
又DM⊥BC，
∴DC=DG，
AB+DC=BG+DG，
即DB=CD+BA；
【实践应用】
如图，BC是圆的直径，所以∠BAC=90°．
因为AB=6，圆的半径为5，所以AC=8．
已知∠D1AC=45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，
则CG1'+AB=AG1，
所以AG1=12(6+8)=7．
所以AD1=7 2．
如图∠D2AC=45°，同理易得AD2= 2．
所以AD的长为7 2或 2．