2024-2025学年山东省德州市高二（上）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年山东省德州市高二（上）期中数学试卷，共58页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知直线l1：，直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的2倍，则直线l2的斜率是（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）已知直线x+my﹣2＝0与直线y＝nx垂直，则m，n的关系为（ ）
A．mn﹣1＝0B．mn+1＝0C．m﹣n＝0D．m+n+1＝0
3．（5分）已知为双曲线上点．则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，PN＝ND，设，，，则向量用为基底表示为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）已知两圆x2+y2＝1和x2+（y﹣a）2＝16无公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣3，3）
B．（﹣∞，﹣5）∪（5，+∞）
C．（﹣5，﹣3）∪（3，5）
D．（﹣∞，﹣5）∪（﹣3，3）∪（5，+∞）
6．（5分）如图所示，在正方形中ABCD，，以AC为折痕把△ABC顺时针折起，折成一个大小θ为的二面角，若，则四面体A﹣BCD的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知椭圆C：，椭圆C的一顶点为A，两个焦点为F1，F2，△AF1F2的面积为，焦距为2，过F1，且垂直于AF2的直线与椭圆C交于D，E两点，则△ADE的周长是（ ）
A．B．8C．D．16
8．（5分）已知在三棱锥S﹣ABC中，BA⊥BC，BA＝BC＝2，，二面角B﹣AC﹣S的大小为，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的不得分）
（多选）9．（5分）已知曲线C的方程为（且m≠2），则（ ）
A．若曲线C表示圆，则
B．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为
C．若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为
D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围为
（多选）10．（5分）如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点．则（ ）
A．
B．AB⊥CD
C．侧棱与底面所成角的余弦值为
D．直线AM与CN所成角的余弦值为
（多选）11．（5分）双曲线具有如下光学性质：如图F1，F2是双曲线的左、右焦点，从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点F1．若双曲线C的方程为，则（ ）
A．双曲线的焦点F2到渐近线的距离为
B．若m⊥n，则|PF1||PF2|＝42
C．当n过点Q（3，6）时，光线由F2→P→Q所经过的路程为8
D．反射光线n所在直线的斜率为k，则
（多选）12．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，，则（ ）
A．无论λ取何值，三棱锥C﹣EFG的体积始终为1
B．若，则
C．点D1到平面EFG的距离为
D．若异面直线EF与AG所成的角的余弦值为，则
三、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）
13．（5分）在空间直角坐标系中，已知，，，点M为线段AB的中点，则＝ ．
14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16都相切的一条直线的方程 ．
15．（5分）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的蒙日圆方程为x2+y2＝7，则椭圆C的离心率为 ．
16．（5分）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为：1﹣，其中Qi＝（i＝1，2，⋯，k，k≥3）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，⋯，平面Qk﹣1PQk和平面QkPQ1遍历多面体M的所有以点P为公共点的面，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，AA1＝2，点S为底面A1B1C1D1的中心，记三棱锥A﹣A1BD在点A处的离散曲率为m，四棱锥S﹣ABCD在点S处的离散曲率为n，则m﹣n＝ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，推理证明或演算步骤）
17．（10分）已知圆C与x轴相切，圆心C在直线y＝2x上，且与y轴正半轴相交所得弦长为．
（1）求圆C的方程；
（2）过点P（0，2）的直线l交圆于C，于E，F两点，且，求直线l的方程．
18．（12分）如图，圆柱轴截面ABCD是正方形，AD＝2，点E在底面圆周上，AF⊥DE，F为垂足．
（1）求证：AF⊥DB；
（2）当直线DE与平面ABE所成角的正切值为时，求三棱锥B﹣CDE的体积．
19．（12分）已知圆M：x2+（y﹣1）2＝8，点N（0，﹣1），P是圆M一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q．
（1）求点Q的轨迹方程C；
（2）若点A是曲线C上的动点，求的最大值（其中O为坐标原点）．
20．（12分）已知双曲线C：经过点P（2，1），且双曲线C的右顶点到一条渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两点（A，B两点均与点P不重合），设直线AB：y＝kx+m（k≠0），试求k和m之间满足的关系式．
21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝4，AA1＝2，点D是棱BC的中点．
（1）求证：A1B∥平面AC1D；
（2）在棱上AC是否存在点M，其中，使得平面BA1D与平面A1DM所成角的大小为60°，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．
22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点Q为椭圆C上任意一点，且|QF|的最小值为﹣1．
（1）求椭圆的C标准方程；
（2）设椭圆C1：＝6，过点Q作椭圆C的切线交椭圆C1于M，N两点，求证：△MON（O为原点）的面积为定值，并求出此定值．
（注：在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上一点（m，n）的切线方程为＝1）
山东省德州市高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合要求的）
1．（5分）已知直线l1：，直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的2倍，则直线l2的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【考点】直线的斜率；直线的倾斜角．
【答案】C
【分析】由已知结合直线的倾斜角与斜率关系即可求解．
【解答】解：l1：的斜率，故其倾斜角为30°，
因为直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的2倍，
所以直线l2的倾斜角为2×30°＝60°，
所以l2的斜率为，
故选：C．
【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题．
2．（5分）已知直线x+my﹣2＝0与直线y＝nx垂直，则m，n的关系为（ ）
A．mn﹣1＝0B．mn+1＝0C．m﹣n＝0D．m+n+1＝0
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【答案】C
【分析】根据直线一般式中两直线垂直系数满足的关系即可求解．
【解答】解：直线x+my﹣2＝0与直线nx﹣y＝0垂直，则1×n+m×（﹣1）＝0⇒n﹣m＝0，
即m﹣n＝0．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直线垂直条件的应用，属于基础题．
3．（5分）已知为双曲线上点．则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【考点】求双曲线的离心率．
【答案】B
【分析】利用点在双曲线上及双曲线的离心率公式即可求解．
【解答】解：因为为双曲线上点，
所以，解得或（舍），
所以双曲线的方程为，所以，
所以，解得或（舍），
所以该双曲线的离心率为．
故选：B．
【点评】本题主要考查了双曲线的性质，属于基础题．
4．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，PN＝ND，设，，，则向量用为基底表示为（ ）
A．B．C．D．
【考点】空间向量基底表示空间向量．
【答案】D
【分析】由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法可得，代入整理并代换为基底向量即可．
【解答】解：根据题意，可得
＝，
即．
故选：D．
【点评】本题主要考查空间向量的基本定理，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（5分）已知两圆x2+y2＝1和x2+（y﹣a）2＝16无公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣3，3）
B．（﹣∞，﹣5）∪（5，+∞）
C．（﹣5，﹣3）∪（3，5）
D．（﹣∞，﹣5）∪（﹣3，3）∪（5，+∞）
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【答案】D
【分析】由两圆x2+y2＝1和x2+（y﹣a）2＝16无公共点，可得两圆外离或内含，从而可得答案．
【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心为（0，0），半径r1＝1，
圆x2+（y﹣a）2＝16的圆心为（0，a），半径r2＝4，
设圆心距为d，则d＝|a|，
因为两圆x2+y2＝1和x2+（y﹣a）2＝16无公共点，
所以两圆外离或内含，
则d＜r2﹣r1或d＞r2+r1，
即|a|＜3或|a|＞5，
解得﹣3＜a＜3或a＞5或a＜﹣5，
所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣5）∪（﹣3，3）∪（5，+∞）．
故选：D．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
6．（5分）如图所示，在正方形中ABCD，，以AC为折痕把△ABC顺时针折起，折成一个大小θ为的二面角，若，则四面体A﹣BCD的体积为（ ）
A．B．C．D．
【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角．
【答案】D
【分析】根据线面垂直可得锥体的高，由二面角可求三角形BOD的面积，进而根据体积公式即可求解．
【解答】解：由于四边形ABCD为正方形，所以OB⊥AC，OD⊥AC，OB∩OD＝O，OB，OD⊂平面BOD，
所以∠BOD＝θ，且AC⊥平面BOD，
故，又因为，故△BOD为等边三角形，
故＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了线面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式，属于中档题．
7．（5分）已知椭圆C：，椭圆C的一顶点为A，两个焦点为F1，F2，△AF1F2的面积为，焦距为2，过F1，且垂直于AF2的直线与椭圆C交于D，E两点，则△ADE的周长是（ ）
A．B．8C．D．16
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的几何特征．
【答案】B
【分析】先根据△AF1F2的面积为，焦距为2，求得椭圆方程为，然后根据已知条件及等边三角形的性质，再利用等腰三角形的三线合一定理及椭圆的定义，结合三角形的周长公式即可求解．
【解答】解：因为△AF1F2的面积为，焦距为2，
所以，
所以，
故椭圆方程为，
假设A为椭圆C的上顶点，因为两个焦点为F1，F2，
所以|AF1|＝|AF2|＝a＝2，|F1F2|＝2c＝2，故|AF1|＝|AF2|＝|F1F2|，
所以△AF1F2为等边三角形，
又因为过F1，且垂直于AF2的直线与椭圆C交于D，E两点，
所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，
由椭圆的定义可知：|DF2|+|DF1|＝2a＝2×2＝4，|EF2|+|EF1|＝2a＝2×2＝4，
所以△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|＝|DF2|+|EF2|+|DF1|+|EF1|＝4a＝4×2＝8，
故选：B．
【点评】本题主要考查椭圆的定义及其标准方程，考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
8．（5分）已知在三棱锥S﹣ABC中，BA⊥BC，BA＝BC＝2，，二面角B﹣AC﹣S的大小为，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角．
【答案】A
【分析】取AC的中点D，连接BD，SD，则可得∠SDB为二面角B﹣AC﹣S的平面角，得，过点D作与平面ABC垂直的直线，则球心O在该直线上，设球的半径为R，连接OB，OS，然后在△OSD中利用余弦定理可求出R，从而可求得球的表面积．
【解答】解：如图，取AC的中点D，连接BD，SD，
因为AB＝BC＝2，，
所以BD⊥AC，SD⊥AC，
所以∠SDB为二面角B﹣AC﹣S的平面角，
所以，
因为AB⊥BC，AB＝BC＝2，所以，，
因为，
所以，
过点D作与平面ABC垂直的直线，则球心O在该直线上，
设球的半径为R，连接OB，OS，可得，
在△OSD中，，
由余弦定理可得OS2＝OD2+SD2﹣2OD•SD•cs∠ODS，
即，解得，
所以其外接球的表面积为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二面角的定义，考查了三棱锥的外接球问题，同时考查了学生的空间想象能力，属于中档题．
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的不得分）
（多选）9．（5分）已知曲线C的方程为（且m≠2），则（ ）
A．若曲线C表示圆，则
B．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为
C．若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为
D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围为
【考点】双曲线的几何特征；椭圆的几何特征．
【答案】ACD
【分析】根据曲线表示的圆锥曲线的类型，列出相应的不等式组，求得参数范围，即可判断出答案．
【解答】解：由题意知曲线C的方程为，
若曲线C表示圆，则，解得，故A正确；
若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，B错误；
若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则，解得，C正确；
若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查双曲线、椭圆的性质，考查转化能力，属于中档题．
（多选）10．（5分）如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点．则（ ）
A．
B．AB⊥CD
C．侧棱与底面所成角的余弦值为
D．直线AM与CN所成角的余弦值为
【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．
【答案】BC
【分析】把分别用表示，再根据数量积的运算律计算分析，即可判断A、B、D，连接DM，在DM上取点O，使得OD＝2OM，连接OA，则OA⊥平面BCD，解△ADM即可判断C．
【解答】解：在正四面体ABCD中，，
对于A：，
则＝＝，
∴||＝，故A错误；
对于B：，
则，
∴AB⊥CD，故B正确；
对于D：，
则，
＝（+）•（﹣）＝，
设直线AM与CN所成角为θ，
则csθ＝|cs＜，＞|＝＝＝，
∴直线AM与CN所成角的余弦值为，故D错误；
对于C：连接DM，在DM上取点O，使得OD＝2OM，连接OA，如图所示：
则OA⊥平面BCD，
则∠ADM即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，
在△ADM中，AM＝DM＝，AD＝1，
由余弦定理得cs∠ADM＝＝，
又易知直线AB，AC，AD与平面BCD所成角的相等，
∴侧棱与底面所成角的余弦值为，故C正确．
故选：BC．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属中档题．
（多选）11．（5分）双曲线具有如下光学性质：如图F1，F2是双曲线的左、右焦点，从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点F1．若双曲线C的方程为，则（ ）
A．双曲线的焦点F2到渐近线的距离为
B．若m⊥n，则|PF1||PF2|＝42
C．当n过点Q（3，6）时，光线由F2→P→Q所经过的路程为8
D．反射光线n所在直线的斜率为k，则
【考点】双曲线的几何特征．
【答案】ABD
【分析】对于A，求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式即可判断；
对于B，判断出∠F1PF2＝90°，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；
对于C，利用双曲线的定义直接求得；
对于D，先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；
【解答】解：对于A，由双曲线C的方程为知双曲线的渐近线方程为：，
焦点F2（5，0）到直线的距离为：，故A正确；
对于B，若m⊥n，
则∠F1PF2＝90°，
因为P在双曲线右支上，
所以|F1P|﹣|F2P|＝4，由勾股定理得：，
二者联立解得：，故B正确；
对于C，光由F2→P→Q所经过的路程为，故C不正确；
对于D，双曲线的渐进线方程为，
设左、右顶点分别为A、B，如图所示：
当与同向共线时，的方向为，此时k＝0，最小，
因为P在双曲线右支上，
所以n所在直线的斜率为．即，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，，则（ ）
A．无论λ取何值，三棱锥C﹣EFG的体积始终为1
B．若，则
C．点D1到平面EFG的距离为
D．若异面直线EF与AG所成的角的余弦值为，则
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．
【答案】AB
【分析】根据棱柱的结构特征，建立空间直角坐标系，逐一分析选项，即可得出答案．
【解答】解：对于A：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，
∴，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，
由等体积法知V三棱锥C﹣EFG＝V三棱锥G﹣EFC＝，
∴无论λ取何值，三棱锥C﹣EFG的体积始终为1，故A正确；
对于B：由题意得以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示：
正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，B（2，2，0），B1（2，2，2），E（2，1，0），C1（0，2，2），D1（0，0，2），
∵，∴，设G（x，2，2），则，
∴，即，解得，
∴，
∴，
∴，故B正确；
对于C：由选项B得E（2，1，0），F（1，0，0），D1（0，0，2），
设G（x，2，2），则，，
∴（x﹣2，0，0）＝λ（﹣2，0，0），即x﹣2＝λ（﹣2），解得x＝2﹣2λ，则G（2﹣2λ，2，2），
∴，
设平面EFG的法向量为，
则，则可取，
∴点D1到平面EFG的距离为，
由于λ无法确定，则点D1到平面EFG的距离无法确定，故C错误；
对于D：由选项B得E（2，1，0），F（1，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），C1（0，2，2），
设G（x，2，2），则，，
∴（x﹣2，0，0）＝λ（﹣2，0，0），即x﹣2＝λ（﹣2），解得x＝2﹣2λ，
∴G（2﹣2λ，2，2），
∴，
∵异面直线EF与AG所成的角的余弦值为，
则，
即，
解得或（不合题意，舍取），故D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
三、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）
13．（5分）在空间直角坐标系中，已知，，，点M为线段AB的中点，则＝ ．
【考点】空间向量的共线与共面；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【答案】．
【分析】利用中点坐标公式及向量的线性运算的坐标表示，结合两点间的距离公式，即可得出答案；
【解答】解：∵，，点M为线段AB的中点，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查空间向量的应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16都相切的一条直线的方程 24x﹣7y+25＝0或4x+3y﹣5＝0或y＝﹣1 ．
【考点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系．
【答案】24x﹣7y+25＝0或4x+3y﹣5＝0或y＝﹣1．
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可．
【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心为（0，0），半径为1，
圆（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16的圆心为（4，3），半径为4，
可得两圆外切．
当切线的斜率为0时，可得切线的方程为y＝﹣1；
当直线的斜率不为0，不妨设直线方程为x+by+c＝0，
于是，＝4，
故c2＝1+b2①，|4+3b+c|＝|4c|，
于是4+3b+c＝4c或4+3b+c＝﹣4c，
再结合①解得或，
所以直线方程有三条，分别为24x﹣7y+25＝0或4x+3y﹣5＝0或y＝﹣1．
故答案为：24x﹣7y+25＝0或4x+3y﹣5＝0或y＝﹣1．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，属于基础题．
15．（5分）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的蒙日圆方程为x2+y2＝7，则椭圆C的离心率为 ．
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】．
【分析】取椭圆的右顶点和上顶点作椭圆的两条切线，求出交点坐标，又因为在x2+y2＝7上，代入可求出a，再由离心率的公式即可得出答案．
【解答】解：由椭圆C：知，椭圆的右顶点为，
上顶点为，过A，B作椭圆的切线，
则交点坐标为，
因为椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，
所以在x2+y2＝7上，
所以a+1+a＝7，解得：a＝3，
则椭圆C的离心率为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（5分）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为：1﹣，其中Qi＝（i＝1，2，⋯，k，k≥3）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，⋯，平面Qk﹣1PQk和平面QkPQ1遍历多面体M的所有以点P为公共点的面，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，AA1＝2，点S为底面A1B1C1D1的中心，记三棱锥A﹣A1BD在点A处的离散曲率为m，四棱锥S﹣ABCD在点S处的离散曲率为n，则m﹣n＝ ﹣ ．
【考点】棱柱的结构特征．
【答案】．
【分析】根据离散曲率的定义，结合结合体的结构特征，分别求出三棱锥A﹣A1BD在点A处的离散曲率m，四棱锥S﹣ABCD在点S处的离散曲率n，即可得出答案．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，
故三棱锥A﹣A1BD在点A处的离散曲率；
设AC，BD交于O，连接SO，AB＝BC＝4，，四边形ABCD为正方形，
则，，故SB＝4，
同理可得SA＝SD＝SC＝4，
四棱锥S﹣ABCD为正四棱锥，AB＝4，则四棱锥S﹣ABCD每个侧面都为正三角形，
∴，
故四棱锥S﹣ABCD在点S处的离散曲率，
故．
故答案为：．
【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，推理证明或演算步骤）
17．（10分）已知圆C与x轴相切，圆心C在直线y＝2x上，且与y轴正半轴相交所得弦长为．
（1）求圆C的方程；
（2）过点P（0，2）的直线l交圆于C，于E，F两点，且，求直线l的方程．
【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．
【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4；
（2）y＝x+2或y＝﹣x+2．
【分析】（1）根据几何法，利用勾股定理即可求解，
（2）根据直线与圆相交，弦长公式即可求解．
【解答】解：（1）设圆心C（m，2m），因为圆C与x轴的正半轴相切，
所以m＞0，圆C的半径为2m，因为圆C截y轴所得弦的弦长为，
所以，即3m2＝3，又m＞0，所以m＝1，
所以圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．
（2）当直线l无斜率时，此时直线l方程为x＝0，由题知：此时直线l与圆C截得的弦长为，不满足条件，
当直线l有斜率时，设直线方程为：y＝kx+2，
则圆心M（1，2）到直线l的距离为，
所以，解得k＝±1，
所以直线l的方程为：y＝x+2或y＝﹣x+2．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
18．（12分）如图，圆柱轴截面ABCD是正方形，AD＝2，点E在底面圆周上，AF⊥DE，F为垂足．
（1）求证：AF⊥DB；
（2）当直线DE与平面ABE所成角的正切值为时，求三棱锥B﹣CDE的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直．
【答案】（1）证明详见解析；
（2）．
【分析】（1）先证明BE⊥平面AED，证明AF⊥BE，进而证明AF⊥平面BED，根据线面垂直的性质定理可证明结论．
（2）建立空间直角坐标系，求出三角形CDE的面积，平面DCE的法向量，利用空间向量的距离公式求出点B到平面CDE的距离，再由三棱锥的面积公式即可求出答案．
【解答】证明：（1）由题意可知DA⊥底面ABE，BE⊂底面ABE，故BE⊥DA，
又BE⊥AE，AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面AED，
故BE⊥平面AED，
由AF⊂平面AED，得AF⊥BE，
又AF⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BED，故AF⊥平面BED，
由DB⊂平面BED，可得AF⊥DB．
（2）解：由题意，以A为原点，在底面圆内过点A作AB的垂线作为x轴，以AB，AD所在直线为y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
并设AD的长度为2，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（0，2，2），D（0，0，2），
因为DA⊥平面ABE，所以∠DEA就是直线DE与平面ABE所成的角，
所以，所以，所以E（1，1，0），，，
由上可得，，
设平面DCE的法向量为，则，即
取x＝2，得．
因为，
所以点B到平面CDE的距离．
所以三棱锥B﹣CDE的体积为：．
【点评】本题主要考查棱锥体积的求解，考查转化能力，属于中档题．
19．（12分）已知圆M：x2+（y﹣1）2＝8，点N（0，﹣1），P是圆M一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q．
（1）求点Q的轨迹方程C；
（2）若点A是曲线C上的动点，求的最大值（其中O为坐标原点）．
【考点】轨迹方程；平面向量数量积的性质及其运算．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据垂直平分线的性质以及椭圆的定义可判断Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，即可求解其方程，
（2）根据向量的坐标运算，计算数量积，进而根据椭圆的有界性和二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）∵圆M方程为：x2+（y﹣1）2＝8，
∴圆心M（0，1），半径为，
由题意可知|QN|＝|QP|，又点P是圆上的点，∴，
且|PM|＝|PQ|+|QM|，∴，
由椭圆的定义可知：点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，
其中，c＝1，b＝1，
∴点Q的轨迹方程；
（2）设A（x，y），则，
∴①，
又，∴，将其代入①，
得，又，
∴当y＝﹣1时，取最大值．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，向量数量积的坐标运算，函数思想，属中档题．
20．（12分）已知双曲线C：经过点P（2，1），且双曲线C的右顶点到一条渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两点（A，B两点均与点P不重合），设直线AB：y＝kx+m（k≠0），试求k和m之间满足的关系式．
【考点】双曲线的几何特征．
【答案】（1）；
（2）m2+12k2+8km+2m﹣3＝0．
【分析】（1）将点代入得，根据点到直线得距离公式可得，求得a2，b2，即可得解；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，利用韦达定理求得x1+x2，x1x2，再根据PA⊥PB，可得，计算从而可得出答案．
【解答】解：（1）∵双曲线C：经过点P（2，1），
∴①，
又右顶点为（a，0），不妨取渐近线为，即bx+ay＝0，
则根据题意得②，
由①②解得a2＝2，b2＝1，
∴双曲线C的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得（1﹣2k2）x2﹣4kmx﹣2m2﹣2＝0，
∴，
∴，
，
又，
∵PA⊥PB，∴，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0，
∴x1x2﹣2（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+5＝0，
∴，
整理得m2+12k2+8km+2m﹣3＝0，
∴m2+12k2+8km+2m﹣3＝0．
【点评】本题考查双曲线方程的求解，直线与双曲线的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，化归转化思想，方程思想，属中档题．
21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝4，AA1＝2，点D是棱BC的中点．
（1）求证：A1B∥平面AC1D；
（2）在棱上AC是否存在点M，其中，使得平面BA1D与平面A1DM所成角的大小为60°，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．
【答案】（1）见解析；
（2）存在，．
【分析】（1）根据三角形中位线得线线平行，即可证明线面平行，
（2）根据空间向量，利用法向量的夹角即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接A1C交AC1于点O，
由于四边形ACC1A1为矩形，所以O为A1C的中点，
又点D是棱BC的中点，故在△A1BC中，OD是△A1BC的中位线，因此OD∥A1B，
OD⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，所以A1B∥平面AC1D，
（2）解：由AA1⊥平面ABC，AB⊥AC可知，三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，且底面为直角三角形，
故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：
则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（4，0，0），C（0，4，0），D（2，2，0），
，
设平面BA1D的法向量为，则，即，
取z＝2，得平面BA1D的法向量，
由得M（0，4λ，0），
则，
设平面A1DM的法向量为，则，即，
取z1＝2λ，得平面A1DM的法向量，
故，
化简得8λ2+2λ﹣1＝0⇒（4λ﹣1）（2λ+1）＝0，
由于0＜λ＜1，所以，
故棱上AC存在点M，其中，即，使得平面BA1D与平面A1DM所成角的大小为60°．
【点评】本题主要考查直线与平面平行的证明，平面与平面所成角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点Q为椭圆C上任意一点，且|QF|的最小值为﹣1．
（1）求椭圆的C标准方程；
（2）设椭圆C1：＝6，过点Q作椭圆C的切线交椭圆C1于M，N两点，求证：△MON（O为原点）的面积为定值，并求出此定值．
（注：在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上一点（m，n）的切线方程为＝1）
【考点】椭圆的切线方程及性质．
【答案】（1）；
（2）证明见解析，定值为10．
【分析】（1）根据椭圆上的点到右焦点的最小值，即可根据两点距离求解最值，进而得a的值；
（2）根据椭圆切线方程，以及直线与椭圆相交，弦长公式即可求解．
【解答】解：（1）设Q（x，y），则|QF|2＝（x﹣1）2+b2（1﹣）＝
记 ，
∵f（x）的对称轴为 ，且﹣a≤x≤a，且a＞c＝1，
∴f（x）在[﹣a，a]单调递减，
∴当x＝a时，此时Q（a，0），f（x）取最小值为 （a﹣c）2，
|QF|的最小值为 ，
∴，b＝2，
∴椭圆的方程为 ；
（2）证明：设Q（m，n），则过Q的切线方程为：，
又C1 方程为：，
联立，可得（5n2+4m2）x2﹣40mx+100﹣150m2＝0，
∵Q（m，n） 在椭圆 上，
∴，
设M（x1，y1） N（x2，y2），当切线MN斜率不存在时，其方程为x＝±，
此时M（，），N（，）或M（﹣，），N（﹣，），
|MN|＝，
此时＝＝10；
当切线MN斜率存在时，设其斜率为k，则k＝，
∴，①，
∴|MN|＝，
又原点到切线的距离为d＝，
∴＝×
＝，将①当入，可得：
＝＝10，
综合可得：△MON（O为原点）的面积为定值10．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，属中档题．
考点卡片
1．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||csθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）csθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
2．棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱＝S×h．
3．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的认识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
4．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
5．直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
6．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
7．空间向量的共线与共面
【知识点的认识】
1．定义
（1）共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量．
（2）共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量．
2．定理
（1）共线向量定理
对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得．
（2）共面向量定理
如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得．
【解题方法点拨】
空间向量共线问题：
（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出，从而．
（2）表示与所在的直线平行或重合两种情况．
空间向量共面问题：
（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．
（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使．满足这个关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
证明三个向量共面的常用方法：
（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；
（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．
【命题方向】
1，考查空间向量共线问题
例：若＝（2x，1，3），＝（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（ ）
A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝﹣ C．x＝，y＝﹣ D．x＝﹣，y＝
分析：利用共线向量的条件，推出比例关系求出x，y的值．
解答：∵＝（2x，1，3）与＝（1，﹣2y，9）共线，
故有＝＝．
∴x＝，y＝﹣．
故选C．
点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．
2．考查空间向量共面问题
例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（ ）
A． B． C． D．
分析：根据共面向量定理，说明M、A、B、C共面，判断选项的正误．
解答：由共面向量定理，
说明M、A、B、C共面，
可以判断A、B、C都是错误的，
则D正确．
故选D．
点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．
8．空间向量基底表示空间向量
【知识点的认识】
1．空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使＝x+y+z．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．
2．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
【解题方法点拨】
基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
﹣基底表示：任何空间向量都可以表示为基底向量的线性组合：其中是基底向量，c1，c2，c3是系数．
﹣线性组合：通过解线性方程组找到系数c1，c2，c3．
【命题方向】
﹣基底表示：考查如何利用基底向量表示空间中的任意向量．
9．空间向量的数量积判断向量的共线与垂直
【知识点的认识】
一、空间向量及其有关概念
二、数量积及坐标运算
1．两个向量的数量积
（1）•＝||||cs＜，＞；
（2）⊥⇔•＝0（，为非零向量）；
（3）||2＝2，||＝．
2．向量的坐标运算
10．直线与平面所成的角
【知识点的认识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cs φ|＝．
11．二面角的平面角及求法
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，
此时csθ＝cs＜，＞＝．
（2）当＜＜，＞＜π时，θ＝π﹣＜，＞，
csθ＝﹣cs＜，＞＝﹣．
12．几何法求解二面角及两平面的夹角
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
【解题方法点拨】
求二面角的平面角：在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
【命题方向】
﹣夹角计算：考查如何使用几何方法计算两平面之间的夹角．
13．点、线、面间的距离计算
【知识点的认识】
14．直线的倾斜角
【知识点的认识】
1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
2．范围：[0，π） （特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°）
3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度．
4．斜率与倾斜角的区别和联系
（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．
②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．
（2）联系：①当a≠时，k＝tanα；当α＝时，斜率不存在；
②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0 且tanα随α的增大而增大．
【解题方法点拨】
直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．
【命题方向】
（1）直接根据直线斜率求倾斜角
例：直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．
解答：因为直线x+y﹣1＝0的斜率为：﹣，
直线的倾斜角为：α．
所以tanα＝﹣，
α＝120°
故选C．
点评：本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．
（2）通过条件转换求直线倾斜角
例：若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30° B.45° C．60° D．120°
分析：由直线经过A（0，1），B（3，4）两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角．
解答：∵直线经过A（0，1），B（3，4）两点，
∴直线AB的斜率k＝＝1，
∴直线AB的倾斜角α＝45°．
故选B．
点评：本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
15．直线的斜率
【知识点的认识】
1．定义：当直线倾斜角α≠时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tanα．
2．斜率的求法
（1）定义：k＝tanα（α≠）
（2）斜率公式：k＝．
3．斜率与倾斜角的区别和联系
（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．
②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．
（2）联系：
①当α≠时，k＝tanα；当α＝时，斜率不存在；
②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0且随α的增大而增大．
【解题方法点拨】
直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．
【命题方向】
（1）已知倾斜角范围求斜率的范围；
（2）已知斜率求倾斜角的问题．
（3）斜率在数形结合中的应用．
16．直线的一般式方程与直线的垂直关系
【知识点的认识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1∥l2⇔k1•k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．
17．圆的标准方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
【解题方法点拨】
已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：
（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；
（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；
（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．
另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．
【命题方向】
可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化．
例1：圆心为（3，﹣2），且经过点（1，﹣3）的圆的标准方程是 （x﹣3）2+（y+2）2＝5
分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．
解答：设圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，
由圆M经过点（1，﹣3）得R2＝5，从而所求方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝5，
故答案为（x﹣3）2+（y+2）2＝5
点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．
例2：若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1
B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1
D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1
分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．
解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝＝r＝1，
化简得：|4a﹣3b|＝5①，
又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），
把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣（舍去），
∴圆心坐标为（2，1），
则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
故选：A
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．
例3：圆x2+y2+2y＝1的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．
解答：圆x2+y2+2y＝1化为标准方程为 x2+（y+1）2＝2，
故半径等于，
故选B．
点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．
18．圆的切线方程
【知识点的认识】
圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．
圆的切线方程的类型：
（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程
（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．
【解题方法点拨】
例1：已知圆：（x﹣1）2+y2＝2，则过点（2，1）作该圆的切线方程为 ．
解：圆：（x﹣1）2+y2＝2，的圆心为C（1，0），半径r＝．
①当直线l经过点P（2，1）与x轴垂直时，方程为x＝2，
∵圆心到直线x＝2的距离等于1，∴直线l与圆不相切，即x＝2不符合题意；
②当直线l经过点P（2，1）与x轴不垂直时，设方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0．
∵直线l与圆：（x﹣1）2+y2＝2相切，
∴圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解之得k＝﹣1，
因此直线l的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），化简得x+y﹣3＝0．
综上所述，可得所求切线方程为x+y﹣3＝0．
这里讨论第一种情况是因为k不一定存在，所以单独讨论，用的解题思想就是我上面所说，大家可以对照着看就是．
例2：从点P（4，5）向圆（x﹣2）2+y2＝4引切线，则圆的切线方程为 ．
解：由圆（x﹣2）2+y2＝4，得到圆心坐标为（2，0），半径r＝2，
当过P的切线斜率不存在时，直线x＝4满足题意；
当过P的切线斜率存在时，设为k，
由P坐标为（4，5），可得切线方程为y﹣5＝k（x﹣4），即kx﹣y+5﹣4k＝0，
∴圆心到切线的距离d＝r，即＝2，
解得：k＝，
此时切线的方程为y﹣5＝（x﹣4），即21x﹣20y+16＝0，
综上，圆的切线方程为x＝4或21x﹣20y+16＝0．
这个例题用的方法也是前面所说，但告诉我们一个基本性质，即圆外的点是可以做两条切线的，所以以后解题只求出一条的时候就要想是不是少写了一种．
【命题方向】
本考点也是比较重要的一个知识点，但解题方法很死板，希望大家都能准确的掌握，确保不丢分．
19．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
直线与圆的位置关系
【解题方法点拨】
判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
20．圆与圆的位置关系及其判定
【知识点的认识】
圆与圆的位置关系
【解题方法点拨】
圆与圆的位置关系的判定
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|＝d
（1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断
①外离（4条公切线）：d＞r1+r2
②外切（3条公切线）：d＝r1+r2
③相交（2条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2
④内切（1条公切线）：d＝|r1﹣r2|
⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|
（2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值．
21．椭圆的几何特征
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
22．直线与椭圆的综合
【知识点的认识】
直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：
直线与椭圆相交⇔Δ＞0；
直线与椭圆相切⇔Δ＝0；
直线与椭圆相离⇔Δ＜0；
【解题方法点拨】
（1）直线与椭圆位置关系的判断方法
①联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断；
②借助直线和椭圆的几何性质来判断．
根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，也是解决此类问题的难点所在．
（2）弦长的求法
设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），
则|AB|＝＝（k为直线斜率）
注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
（3）中点弦、弦中点常见问题
①过定点被定点平分的弦所在直线的方程；
②平行弦中点的轨迹；
③过定点的弦的中点的轨迹．
解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”，这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点．
（4）椭圆切线问题
①直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点；
②过椭圆外一点可以作两条直线与椭圆相切；
③过椭圆上一点只能作一条切线．
（5）最值与范围问题的解决思路
①构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解；
②构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解．
在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等可利用条件．
【命题方向】
1．由已知条件求椭圆的方程或离心率；
2．由已知条件求直线的方程；
3．中点弦或弦的中点问题；
4．弦长问题；
5．与向量结合求参变量的取值．
23．椭圆的切线方程及性质
【知识点的认识】
椭圆的切线方程可以用点的坐标和椭圆的方程来表示．标准方程的切线方程为：
【解题方法点拨】
1．代入点坐标：用切点（x0，y0）代入切线方程公式．
2．验证性质：检查切线的性质，如与椭圆的切点唯一性．
【命题方向】
﹣给定椭圆和切点，求切线方程．
﹣分析切线的性质及其与椭圆的关系．
24．双曲线的几何特征
【知识点的认识】
双曲线的标准方程及几何性质
25．求双曲线的离心率
【知识点的认识】
双曲线的离心率e是，其中是焦距的一半．
【解题方法点拨】
1．计算离心率：利用公式计算离心率．
2．求解参数：从双曲线方程中提取参数．
【命题方向】
﹣给定双曲线的参数，求离心率．
﹣根据离心率计算双曲线的标准方程．
26．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
【解题方法点拨】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/2 16:34:20；用户：实事求是；邮箱：18347280726；学号：37790395

语言描述
共线向量（平行向量）
表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．
共面向量
平行于同一平面的向量．
共线向量定理
对空间任意两个向量，（≠0），∥⇔存在λ∈R，使＝λ．
共面向量定理
若两个向量，不共线，则向量与向量，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使＝x+y．
空间向量基本定理
（1）定理：如果三个向量、、c不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x+y+z．
（2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x+y+z 且x+y+z＝1．

＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3）
向量和
+＝（a1+b1，a2+b2，a3+b3）
向量差
﹣＝（a1﹣b1，a2﹣b2，a3﹣b3）
数量积
•＝a1b1+a2b2+a3b3
共线
∥⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）
垂直
⊥⇔a1b1+a2b2+a3b3＝0
夹角
公式
cs＜，＞＝
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝0
±＝0