考点5 数列、不等式——五年（2020—2024）高考数学真题专项分类汇编(含答案)

这是一份考点5 数列、不等式——五年（2020—2024）高考数学真题专项分类汇编(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．记为等比数列的前n项和，若，，则( )
A.120B.85C.-85D.-120
2．记为数列的前n项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．图1是中国古代建筑中的举架结构，，，，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中，，，是举，，，，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，.已知，，成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则( )
B.0.8D.0.9
二、多项选择题
4．若x，y满足，则( )
A.B.C.D.
5．已知,且,则( )
A.B. C. D.
6．设正整数，其中，记，则( )
A.B.
C.D.
三、填空题
7．记为等差数列的前n项和.若，，则__________.
四、双空题
8．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为__________；如果对折n次，那么__________.
五、解答题
9．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且.
（1）证明：；
（2）求集合中元素的个数.
10．已知公比大于1的等比数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）求.
11．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值.
12．已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
13．记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）证明：.
14．已知为等差数列，.记，分别为数列，的前n项和，若，.
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，.
15．设等差数列的公差为d，且，令，记，分别为数列，的前n项和.
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求d.
16．设m为正整数，数列，，…，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，，…，是可分数列.
（1）写出所有的，，使得数列，，…，是可分数列；
（2）当时，证明：数列，，…，是可分数列；
（3）从1，2，…，中一次任取两个数i和，记数列，，…，是可分数列的概率为，证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：解法一：设等比数列的公比为，由题意易知，则，化简整理得.所以.故选C.
解法二：易知，，，，……为等比数列，所以，解得或.当时，由，解得；当时，结合得，化简可得，不成立，舍去.所以，故选C.
2．答案：C
解析：若为等差数列，设其公差为d，则，所以，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙；若为等差数列，设其公差为t，则，
所以，所以当时，，当时，也满足上式，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙，所以甲是乙的充要条件，故选C.
3．答案：D
解析：如图，连接OA，延长与x轴交于点，则.因为，，成公差为0.1的等差数列，所以，，所以，，，即，，.又，所以，所以.所以，解得，故选D.
4．答案：BC
解析：由基本不等式可得，，从而.结合题设条件，可得，以及，即，所以选项B和C正确.取，则，且，因此选项A不正确.取，，则，且，因此选项D不正确.故正确选项为B和C.
5．答案：ABD
解析：A项,,故A项正确；
B项,,因为,所以,所以,所以,故B项正确；
C项,,故C项错误；
D项,因为,当且仅当时取等号,所以,所以,故D项正确.
故本题正确答案为ABD.
6．答案：ACD
解析：本题考查对新定义的理解. ，假设，，…，，中有m个1（），则.又，则， ，…，，中也有m个1，则，故A项正确；当时，，，所以，又，所以，故B项错误；，，由A知，，所以，所以，故C项正确；因为，所以，，…，，中有n个1，所以，故D项正确.
7．答案：95
解析：法一：设的公差为d，由，，解得，，则.
法二：设的公差为d，由，，得，，故，，则.
8．答案：5；
解析：记对折n次可以得到不同规格图形的种数为数列，依题意有，，对折3次，可以得到，，，四种规格的图形，即；对折4次，可以得到，，，，五种规格的图形，即.
于是数列的通项公式为.记对折n次可以得到不同规格图形的面积之和为，依题意有，，，，于是数列的通项公式为.
则，所以，
两式作差得，
.
所以.
9．答案：（1）证明见解析
（2）9
解析：（1）证明：设等差数列的公差为d.
由，知，所以.
由，知，
所以，即.
故.
（2）由（1）知.
由知，
即，即.
因为，所以，解得.
故集合中元素的个数为9.
10．答案：（1）
（2）
解析：（1）设的公比为q.由题设得，.
解得（舍去），.由题设得.
所以的通项公式为.
（2）由（1）可知，
则，
记，
则
.
11．答案：（1）设等差数列的公差为，
则解得
所以.
（2）结合（1）可知，，
则等价于，
解得或，又，所以，
故使成立的n的最小值为7.
解析：
12．答案：（1）因为2n为偶数，
所以，，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
所以，，.
（2）当n为奇数时，，
所以的前20项和为
.
由（1）可知，，
所以的前20项和为.
解析：
13．答案：（1），
（2）证明见解析
解析：（1）法一：因为，所以，
又是公差为的等差数列，
所以.
因为当时，，
所以，所以，
整理得，
所以，
所以，
又也满足上式，
所以，
则，
所以，
又也满足上式，
所以.
法二：因为，所以，
又是公差为的等差数列，
所以，
所以.
因为当时，，
所以，
所以，
所以，
所以，
又也满足上式，所以.
（2）因为，所以，
所以
.
14．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设等差数列的公差为d.
因为，
所以，，.
因为，，
所以，
整理得，解得，
所以的通项公式为.
（2）由（1）知，
所以.
当n为奇数时，
.
当时，，
所以.
当n为偶数时，
.
当时，，
所以.
综上可知，当时，.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
所以，
所以，所以，
所以.
因为，所以，
所以，
.
因为，
所以，解得或，
因为，所以.
所以的通项公式为.
（2）因为，且为等差数列，
所以，即，
所以，所以，
解得或.
①当时，，
所以，
，
.
因为，
所以，
即，
解得或（舍去）.
②当时，，
所以，
，
.
因为，
所以，
即，
解得（舍去）或（舍去）.
综上，.
16．答案：（1），，
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（2）证明：当时，删去，，其余项可分为以下3组：，，，为第1组，，，，为第2组，，，，为第3组，
当时，删去，，其余项可分为以下m组：，，，为第1组，，，，为第2组，，，，为第3组，，，，为第4组，，，，为第5组，……，，，，为第m组，可知每组的4个数都能构成等差数列，故数列，，…，是可分数列.
（3）证明：易知，，…，是可分数列是可分数列，其中.
当时，删去，，
其余项从小到大，每4项分为1组，可知每组的4个数都能构成等差数列，
故数列1，2，…，是可分数列，可分为，…，，…，，…，.p，q的可能取值方法数为.
易知，，…，是可分数列是可分数列，其中.
当时，删去，，
将与从小到大，每4项分为1组，可知每组的4个数成等差数列.
考虑，，，…，，是否可分，等同于考虑1，3，4，…，，是否可分，其中，可分为，，，…，，，每组4个数都能构成等差数列.
故数列1，2，…，是可分数列，p，q且的可能取值方法数为.
从而.