吉林省长春市绿园区长春市第八十九中学2024--2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份吉林省长春市绿园区长春市第八十九中学2024--2025学年九年级上学期期中考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．不确定
2．（3分）已知3x＝4y，则下面结论成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
3．（3分）不透明的袋子里共装有3个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，摸到白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）当函数y＝（a﹣2）x2+bx+c是二次函数时，则a的取值范围为（ ）
A．a＝2B．a≠2C．a＝﹣2D．a≠﹣2
6．（3分）二次函数y＝（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（﹣3，﹣1）D．（3，1）
7．（3分）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2
8．（3分）如图是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，则图中△BOC的面积为（ ）
A．5B．6C．D．
二、填空题（共6题，每小题3分，共18分）
9．（3分）计算：﹣＝ ．
10．（3分）二次函数y＝x2﹣mx+1与y轴的交点坐标为 ．
11．（3分）某人从地面沿着坡度为i＝1：的山坡走了100米，这时他离地面的高度是 米．
12．（3分）把抛物线y＝（x﹣1）2+2沿x轴向左平移4个单位，再沿y轴向上平移3个单位后，所得新抛物线相应的函数表达式是
13．（3分）二次函数y＝5x2+6x+7，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值都相等，当x取x1+x2时，函数值为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+5上的任意一点，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，若AB＝4 ．
三、解答题（共78分）
15．（6分）解方程：2x2+x﹣6＝0．
16．（8分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会的吉祥物是“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”．将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上（图案为吉祥物是“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”的三张卡片分别记为A、B、C）．
（1）若从中任意抽取一张，抽到卡片上的图案恰好为“莲莲”是 ．
A．不可能事件B．随机事件C．必然事件D．确定事件
（2）若先从中随机抽取一张卡片记下图案后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，请用画树状图（或列表），求抽到的两张卡片图案不同的概率．
17．（7分）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B、C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）在图1中，在边AC上取一点D，作出△ABC的中线BD；
（2）在图2中，在边AC上取一点E，使得AE＝；
（3）在图3中，在线段AC上取一点M，在线段AB上取一点N△AMN＝．
18．（7分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元．已知两次降价的百分比相同，求每次降价的百分率是多少．
19．（7分）抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．
20．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+2a（a为常数），经过点（2，6）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若y随x的增大而减小，则x的取值范围为 ．
（3）若该函数图象上的点M（﹣3，y1），N（x2，y2），当y2＞y1时，直接写出x2的取值范围为 ．
21．（8分）用配方法把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
22．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边DC上，∠ABD＝∠FBE，∠FEB＝∠C．
（1）求证：△EFB∽△ADB．
（2）若DE＝5，EC＝3，BD＝6 ．
23．（8分）如图，抛物线与x轴交于点A，直线AB的解析式为y2＝mx+n．
（1）顶点的坐标为 ．
（2）方程a（x﹣h）2+k＝0的两个解分别为 ．
（3）当y1＞y2时，x的取值范围是 ．
（4）当﹣2＜x＜2时，y1的取值范围是 ．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8cm，点D是线段AC的中点，沿A﹣D﹣B﹣C向终点C运动，速度为5cm/s，B重合时，作PE⊥AB交线段AB于点E（s），△APE的面积为S（cm2）．
（1）求AB的长；
（2）当点P在线段BD上时，求PE的长（用含t的式子表示）；
（3）当P沿A﹣D﹣B运动时，求S与t之间的函数关系式；
（4）点E关于直线AP的对称点为E′，当点E′落在△ABC的内部时，直接写出t的取值范围．
2024-2025学年吉林省长春八十九中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8题，每小题3分，共24分）
1．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．不确定
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝5＞0，进而即可得出原方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵Δ＝（﹣1）2﹣3×1×（﹣1）＝2＞0，
∴方程x2﹣x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
2．（3分）已知3x＝4y，则下面结论成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项进行计算，然后利用排除法求解．
【解答】解：A、由＝得7x＝4y；
B、由＝得xy＝12；
C、由＝得5x＝3y；
D、由＝得4x＝3y；
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．
3．（3分）不透明的袋子里共装有3个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，摸到白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用概率公式解答即可．
【解答】解：∵共9个球，其中6个白球，
∴从布袋中随机摸出一个球是白球的概率是．
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据正切的定义解答即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴tanA＝．
故选：C．
【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
5．（3分）当函数y＝（a﹣2）x2+bx+c是二次函数时，则a的取值范围为（ ）
A．a＝2B．a≠2C．a＝﹣2D．a≠﹣2
【分析】根据二次函数的定义解答即可；
【解答】解：由题意得：a﹣2≠0，即a≠5，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常数）的函数叫做二次函数．
6．（3分）二次函数y＝（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（﹣3，﹣1）D．（3，1）
【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）直接写出即可．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，1）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
7．（3分）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2
【分析】利用配方法将已知抛物线方程转化为顶点式，根据抛物线的对称性质和增减性比较大小．
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+c＝2（x﹣1）8+c﹣2．
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．
∴当x＜8时，y随x的增大而减小，
∵抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y1），（﹣8，y2），（，y3），﹣4＜﹣3＜，
∴y4＞y2＞y3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
8．（3分）如图是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，则图中△BOC的面积为（ ）
A．5B．6C．D．
【分析】根据相似三角形的判定与性质求出S△AOD＝S△BOC，再根据三角形面积公式求出S△AOD+S△BOD＝4，S△BOC+S△BOD＝8，两式相减求解即可．
【解答】解：根据题意得，AD∥BC，
∴△AOD∽△BOC，
∴＝＝＝，
∴S△AOD＝S△BOC，
∵S△AOD+S△BOD＝S△ABD＝AD•BD＝，S△BOC+S△BOD＝S△BCD＝BC•BD＝，
∴S△BOC﹣S△AOD＝4，
∴S△BOC＝4，
∴S△BOC＝，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（共6题，每小题3分，共18分）
9．（3分）计算：﹣＝ ．
【分析】根据二次根式的减法法则进行计算即可．
【解答】解：﹣
＝×﹣
＝8﹣
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的运算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
10．（3分）二次函数y＝x2﹣mx+1与y轴的交点坐标为 （0，1） ．
【分析】求出当x＝0时y的值即可得．
【解答】解：令x＝0，则y＝1，5），
故答案为：（0，1）．
【点评】本题主要考二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的坐标特点．
11．（3分）某人从地面沿着坡度为i＝1：的山坡走了100米，这时他离地面的高度是 50 米．
【分析】垂直高度、水平距离和坡面距离构成一个直角三角形．利用坡度比找到垂直高度和水平距离之间的关系后，借助于勾股定理进行解答．
【解答】解：∵坡度为i＝1：，
∴设离地面的高度为x，那么水平距离为x．
∵x2+（x）8＝1002
解得x＝50．
即这时他离地面的高度是50米．
【点评】本题考查了坡度＝垂直距离：水平距离．它们与斜边构成直角三角形．
12．（3分）把抛物线y＝（x﹣1）2+2沿x轴向左平移4个单位，再沿y轴向上平移3个单位后，所得新抛物线相应的函数表达式是 y＝（x+3）2+5
【分析】根据函数图象平移的法则即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+6，
∴沿x轴向左平移4个单位，再沿y轴向上平移3个单位后5+2+3，即y＝（x+4）2+5．
故答案为：y＝（x+3）2+5．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
13．（3分）二次函数y＝5x2+6x+7，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值都相等，当x取x1+x2时，函数值为 7 ．
【分析】根据二次函数的对称性求出x1+x2，然后代入函数解析式计算即可得解．
【解答】解：∵x取x1，x2（x6≠x2）时，函数值都相等，
∴x1+x2＝2×（﹣）＝﹣，
∴x取x1+x2时，函数值y＝5×（﹣）2+6×（﹣）+7＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，难点在于利用二次函数的对称性求出x1+x2的值．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+5上的任意一点，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，若AB＝4 1 ．
【分析】根据二次函数的对称性解答即可．
【解答】解：∵AB∥x轴，y＝﹣（x﹣h）2+5，
∴A、B关于对称轴x＝h对称，
∴yA＝yB，
∵AB＝4，
∴，
∴
＝﹣4+5
＝7，
∴yB＝yA＝1，
∴B到x轴的距离为1，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答．
三、解答题（共78分）
15．（6分）解方程：2x2+x﹣6＝0．
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：分解因式得：（2x﹣3）（x+8）＝0，
可得2x﹣7＝0或x+2＝5，
解得：x1＝1.5，x2＝﹣2．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．（8分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会的吉祥物是“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”．将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上（图案为吉祥物是“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”的三张卡片分别记为A、B、C）．
（1）若从中任意抽取一张，抽到卡片上的图案恰好为“莲莲”是 B ．
A．不可能事件B．随机事件C．必然事件D．确定事件
（2）若先从中随机抽取一张卡片记下图案后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，请用画树状图（或列表），求抽到的两张卡片图案不同的概率．
【分析】（1）直接由事件分类求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案不相同的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是，
故选：B；
（2）把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、B、C，
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案不相同的结果有6种，
∴两次抽取的卡片图案不相同的概率为．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，随机事件，概率公式，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（7分）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B、C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）在图1中，在边AC上取一点D，作出△ABC的中线BD；
（2）在图2中，在边AC上取一点E，使得AE＝；
（3）在图3中，在线段AC上取一点M，在线段AB上取一点N△AMN＝．
【分析】（1）根据网格线的特征中线的定义作图；
（2）根据网格线的特征作图；
（3）根据网格线的特征和相似三角形的性质作图．
【解答】解：（1）如图，BD即为中线；
（2）如图，，点E；
（3）如图3和3，在线段AC上取一点M，连结MN使得；
如图2，可得△AMN∽△ACB，
∴；
如图4，可得△AMN∽△ABC，
∴．
    
【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征、勾股定理，中线的定义及相似三角形的性质是解题的关键．
18．（7分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元．已知两次降价的百分比相同，求每次降价的百分率是多少．
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是56（1﹣x），第二次后的价格是56（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：根据题意得：56（1﹣x）2＝31.7，
解得：x1＝0.25，x2＝1.75，
经检验x2＝2.75不符合题意，
则x＝0.25＝25%．
答：每次降价百分率为25%．
【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．
19．（7分）抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．
【分析】把（0，﹣3）和（2，1）代入抛物线，得出方程组，求出方程组的解，即可得出抛物线的解析式，把y＝0代入解析式，求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣4）和（2，
∴，
解得 ，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+7x﹣3，
令y＝0，得﹣x4+4x﹣3＝3，即 x2﹣4x+8＝0，
∴x1＝6，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），0）．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点问题，解二元一次方程组和解一元二次方程等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目较好，难度适中．
20．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+2a（a为常数），经过点（2，6）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若y随x的增大而减小，则x的取值范围为 x＜﹣1 ．
（3）若该函数图象上的点M（﹣3，y1），N（x2，y2），当y2＞y1时，直接写出x2的取值范围为 x2＜﹣3或x2＞1 ．
【分析】（1）将点（2，6）代入抛物线y＝x2﹣2ax+2a（a为常数）之中，求出a的值即可得出抛物线的解析式；
（2）由y＝x2+2x﹣2＝（x+1）2﹣3得该抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，开口向上即可得出答案；
（3）先求出点M的坐标为（﹣3，1），再求出点M关于直线x＝1的对称点P的坐标为（1，1），由此即可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2ax+6a（a为常数），经过点（2，
∴23﹣2a×2+2a＝6，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝x8+2x﹣2；
（2）∵y＝x2+2x﹣2＝（x+6）2﹣3，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣3），如图所示：
 
又∵该抛物线的开口向上，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；
故答案为：x＜﹣2；
（3）对于y＝x2+2x﹣8，当x＝﹣3时，
∴点M的坐标为（﹣3，4）1＝1，
∴点M关于直线x＝6的对称点P的坐标为（1，1），
∴当y3＞y1时，x2＜﹣4或x2＞1．
故答案为：x4＜﹣3或x2＞7．
【点评】此题主要考查了二次函数及其性质，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，理解二次函数的性质是解决问题的关键．
21．（8分）用配方法把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．
【解答】解：y＝x7﹣4x+5
＝（x﹣4）2﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝4，﹣6）．
【点评】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键．
22．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边DC上，∠ABD＝∠FBE，∠FEB＝∠C．
（1）求证：△EFB∽△ADB．
（2）若DE＝5，EC＝3，BD＝6 ．
【分析】（1）利用平行四边形的对角相等可得∠A＝∠C，再根据已知条件易得∠FEB＝∠A，然后结合∠FBE＝∠DBA，根据两个角对应相等的两个三角形相似即可证得结论；
（2）根据平行四边形的对边平行且相等易得AB∥CD，AB＝CD，再由两直线平行，内错角相等并结合已知条件可得∠BDE＝∠FBE，然后根据等角对等边可求得BE的长度，再结合已知条件利用线段的和差求得AB的长度，根据相似三角形的对应边成比例可求得BF的长度，最后利用线段的和差即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠FEB＝∠C，
∴∠FEB＝∠A，
∵∠FBE＝∠DBA，
∴△EFB∽△ADB；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BDE＝∠ABD，
∵∠ABD＝∠FBE，
∴∠BDE＝∠FBE，
∴BE＝DE，
∵DE＝5，
∴BE＝5，
∵EC＝4，
∴AB＝CD＝EC+DE＝3+5＝7，
∵△EFB∽△ADB，
∴，
∵BD＝6，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】该题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
23．（8分）如图，抛物线与x轴交于点A，直线AB的解析式为y2＝mx+n．
（1）顶点的坐标为 （1，4） ．
（2）方程a（x﹣h）2+k＝0的两个解分别为 x1＝﹣1，x2＝3 ．
（3）当y1＞y2时，x的取值范围是 0≤x＜3 ．
（4）当﹣2＜x＜2时，y1的取值范围是 ﹣5＜y1＜4 ．
【分析】（1）由图可知抛物线的顶点坐标为（1，4），即h＝1，k＝4，然后将抛物线上的点A（3，0）代入即可求出a的值，进而根据顶点式求得顶点坐标，即可求解；
（2）对于抛物线的解析式，令y1＝0，求出x的值，即可求解；
（3）观察图形，由数形结合即可得出答案；
（4）根据﹣2＜x＜2，观察抛物线求出y1的最大值与当x＝﹣2时的函数值，即可得出答案．
【解答】解：（1）观察抛物线图象可知：抛物线的顶点为（1，4）即h＝5，
∴，
又抛物线与x轴交于点A（3，6），
∴0＝a（3﹣5）2+4，
∴a＝﹣8，
故抛物线的解析式为：；
所以顶点坐标为（1，3），
故答案为：（1，4）．
（2）当y3＝0时，﹣（x﹣1）6+4＝0，
解得：x4＝﹣1，x2＝3，
故答案为：x1＝﹣1，x4＝3．
（3）由 y1＞y5可知，抛物线的图象在直线的图象的上方，
∴0≤x＜3；
故答案为：2≤x＜3；
（4）∵，﹣7＜x＜2，
∴当x＝1时，y2的最大值为4；
当x＝﹣2时，，
∴y4的取值的范围为：﹣5＜y1≤2；
故答案为：﹣5＜y1≤4．
【点评】此题考查了二次函数与不等式组、解一元二次方程、抛物线与x轴的交点，关键是二次函数性质的应用．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8cm，点D是线段AC的中点，沿A﹣D﹣B﹣C向终点C运动，速度为5cm/s，B重合时，作PE⊥AB交线段AB于点E（s），△APE的面积为S（cm2）．
（1）求AB的长；
（2）当点P在线段BD上时，求PE的长（用含t的式子表示）；
（3）当P沿A﹣D﹣B运动时，求S与t之间的函数关系式；
（4）点E关于直线AP的对称点为E′，当点E′落在△ABC的内部时，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理即可解决问题．
（2）只要证明△PBE∽△CAB，可得＝，由此即可解决问题．
（3）分两种情形讨论①当0＜t≤1时．②当1＜t＜2时，根据三角形的面积公式求出AE、PE即可解决问题．
（4）求出两个特殊点的时间①如图1中，当点E关于AP的对称点E′在线段AC上时．如图2中，当点P在BC上，点E关于AP的对称点E′在线段AC上时．即可解决问题．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8cm，
∴AB＝＝＝6，
即AB的长为6；
（2）∵PE⊥AB，BC⊥AB，
∴PE∥BC，∠ABC＝∠BEP＝90°，
∴∠EPB＝∠PBC，
∵点D为AC中点，
∴BD＝CD＝AC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴∠EPB＝∠DCB，
∴△PBE∽△CAB，
∴＝，
∴＝，
∵BP＝10﹣3t，
∴PE＝8﹣4t．
（3）当5＜t≤1时
AE＝5t×＝3t＝4t，
S＝•PE•AE＝2，
∴S＝6t2．
当1＜t＜2时，
AE＝8﹣（10﹣5t）＝3t＝8﹣4t，
S＝•PE•AE＝2+12t．
∴S＝﹣6t3+12t，
综上所述，S＝．
（4）如图5中，当点E关于AP的对称点E′在线段AC上时，则PE＝PE′
∵＝＝，
∴＝，
∴＝，
∴PD＝，
∴点P运动的时间＝（5+）÷4＝s，
观察图象可知当＜t＜2时．
如图2中，当点P在BC上．
同理可得＝，
∴＝，
∴PB＝3，
∴点P运动的时间＝（3+5+3）÷4＝s
观察图象可知当2＜t＜时，当点E′落在△ABC的内部．
综上所述，当＜t＜2或2＜t＜时．
【点评】本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．