河南省信阳市2024-2025学年人教版九年级上学期数学期中测试卷

这是一份河南省信阳市2024-2025学年人教版九年级上学期数学期中测试卷，共11页。试卷主要包含了1～24等内容，欢迎下载使用。

▶上册21.1～24.1◀
注意事项：共三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）请把正确答案的代号填在括号中．
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，把绕点逆时针旋转得到．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ）
A．B．0C．1D．2
6．请同学们观察下列图形，从对称性的角度考虑，在“？”处可以填入的图形是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，是的直径，，是上位于两侧的点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．若，是方程的两根，则的值为（ ）
A．2024B．2025C．2026D．2027
9．如图，点，，，，在上，且，则所对的圆心角的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点逆时针旋转，得到，点对应点，点对应点；再将绕点逆时针旋转，得到，点对应点，点对应点；再将绕点逆时针旋转，得到；再将绕点逆时针旋转，得到……按此规律进行下去，若点的坐标为，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知点与点关于原点对称．则的值是______．
12．如图，石拱桥的桥拱为弧形，已知拱顶到水面的距离为8m，桥拱半径为5m，则水面宽为______m．
13．抛物线如图所示，则关于的方程的解是______．
14．如图，绕点顺时针旋转得到，若，，则图中阴影部分的面积等于______．
15．如图，在中，，，，为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，连接，则的最小值是______，最大值是______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）用适当的方法解下列方程：
（1）．
（2）．
17．（9分）如图，池塘边有一块长为20米、宽为10米的矩形土地，现在将其余三面留出相等宽度的小路，中间余下的矩形部分作菜地，若菜地的面积为72平方米，则路宽是多少？
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．
（1）画出绕点逆时针旋转后的图形．
（2）将（1）中所得先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，画出．
（3）若可以看作是由绕点旋转得来的，直接写出旋转中心点的坐标．
19．（9分）已知和，．
（1）求证：，，，四点在同一个圆上．
（2）请用无刻度的直尺和圆规画出上述圆，并标出圆心．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）如果，是上述圆上任意一点，请直接写出的度数．
20．（9分）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若抛物线上存在一点（不与点重合），使得，请求出点的坐标．
21．（9分）如图，是的直径，是的中点，于点，是上一点，连接交于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的半径及的长．
22．（10分）图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点6米时达到最大高度12米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为9米，与地面的竖直距离为6米，是高度为5米的防御墙．若以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式．
（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙．
（3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面的最大距离．
23．（10分）综合与实践
问题情境
如图1，在等腰中，，，是边上一点，作交于点，连接，是的中点，连接，，则．
问题初探
（1）如图2，若图1中的点在直线上移动（不与点，重合），则与的数量关系是______．
深入探究
（2）如图3，将图1中的绕点逆时针旋转，（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
拓展应用
（3）若，，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长．
河南省2025届九年级期中综合评估
数学参考答案
1．D 2．A 3．B 4．D 5．D 6．A 7．B 8．C 9．C
10．A 提示：如图，经旋转后发现与完全重合，
点的坐标与点的坐标相同，，
点和点重合．
作轴于点，
，，．
，
点，，共线，即轴，，
，．
故选A．
11． 12．8 13．， 14．
15．； 提示：由题意可得点在以点为圆心，1为半径的圆上，
作直线，交于点，，则最短，最长．
是的中点，，
，
，，
即的最小值是，最大值是．
16．解：（1），
或，
解得，．
（2）整理，得，
，
，
，．
17．解：设其余三面留出宽为米的小路，由图可以看出，菜地的长为米，宽为米，
由题意得，
解得，，
不符合题意，舍去，故．
答：路宽为4米．
18．解：（1）如图，为所作．
（2）如图，为所作．
（3）．
19．解：（1）证明：设的中点为，连接，（图略）．
，
，，
，
，，，四点在同一个圆上．
（2）如图所示，为所求．
（3）或．
20．解：（1）抛物线的解析式为．
（2）令，则，
．
，
点的纵坐标为3或．
令，得，，
令，得（舍去），，
∴点的坐标为或或．
21．解：（1）证明：是的直径，，
．
，
，
．
又是的中点，
，，
，．
（2），，
，
的半径为5．
，
．
22．解：（1）由题意设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）当时，，，
石块不能飞越防御墙．
（3）由题意可知点的坐标为，
直线的解析式为．
如图，作直线轴，交抛物线于点，交直线于点，
设点，则点的坐标为，
，
当时，有最大值，最大值为，
在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米．
23．解：（1）．
提示：如题图2，在和中，是的中点，
，，
．
（2）仍然成立．
证明：如图1，设，分别是，的中点，连接，，，，
，，，．
是的中点，
，是的中位线，
，，，，
，，，，
，
，
即，
，．
（3）或2．
提示：当点在右侧时，如图2，设是的中点，连接，，作交的延长线于点，
易得，，．
，，，
，
；
当点在左侧时，如图3，设是的中点，连接，，作，垂足为，
易得，，，
，，
，．
综上所述，线段的长为或2．