+上海第四中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份+上海第四中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）在Rt△ABC中，各边的长度都扩大4倍．那么锐角B的正切值（ ）
A．扩大4倍B．扩大2倍C．保持不变D．缩小4倍
2．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE＝3：1，BF＝10，那么DF等于（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝β，CD⊥AB，垂足为点D，那么下列线段的比值不一定等于sinβ的是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）下列命题中，说法正确的是（ ）
A．所有菱形都相似
B．两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似
C．三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍
D．斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似
5．（4分）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果＝＝3，且量得CD＝4cm，则零件的厚度x为（ ）
A．2cmB．1.5cmC．0.5cmD．1cm
6．（4分）如图，点E是线段BC的中点，∠B＝∠C＝∠AED，下列结论中，说法错误的是（ ）
A．△ABE与△ECD相似B．△ABE与△AED相似
C．D．∠BAE＝∠ADE
二、填空题（本大题共12题，满分48分）
7．（4分）如果x：y＝5：2，那么的值为 ．
8．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点，且较长的线段AP的长等于10厘米，那么较短的线段BP的长为 厘米．
9．（4分）在比例尺为1：10000的地图上，相距5厘米的两地实际距离为 千米．
10．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，则AB＝ ．
11．（4分）两个相似三角形的面积之比是9：25，其中较大的三角形一边上的高是5厘米，那么另一个三角形对应边上的高为 厘米．
12．（4分）点G是△ABC的重心，过点G作BC边的平行线与AB边交于点E，与AC边交于点F，则＝ ．
13．（4分）如图，小明沿着坡度i＝1：2.4的坡面由B到A直行走了13米时，他上升的高度AC＝ 米．
14．（4分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，D是AB边上一点，将△ACD沿CD翻折，点A恰好落在边BC上的点E处，那么AD＝ ．
15．（4分）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步有木．问邑方几何？”示意图如图，正方形ABCD中，F、G分别是AD和AB的中点，若EF⊥AD，EF＝30，GH⊥AB，GH＝750，且EH过点A，那么正方形ABCD的边长为 ．
16．（4分）如图，一艘船从A处向北偏西30°的方向行驶5海里到B处，再从B处向正东方向行驶8海里到C处，此时这艘船与出发点A处相距 海里．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（a，3）（a＞4），射线OA与反比例函数y＝的图象交于点P，过点A作x轴的垂线交双曲线于点B，过点A作y轴的垂线交双曲线于点C，联结BP、CP，那么的值是 ．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AC边上一点，将△ACB沿着过点P的一条直线翻折，使得点A落在边AB上的点Q处，联结PQ，如果∠CQB＝∠APQ，那么AQ的长为 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：ct30°﹣．
20．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，联结BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G．
（1）求证：GE•BC＝GB•AE；
（2）若GE＝4，BF＝6，求线段EF的长．
21．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠EAF＝90°，AB•AF＝AC•AE．
（1）求证：△AGC∽△DGB；
（2）若点F为CG的中点，AB＝3，AC＝4，tan∠DBG＝，求DF的长．
22．（10分）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是 m．
任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．
（参考数据：sin25.7°≈0.43，cs25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60）
任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
23．（12分）如图，线段BD是△ABC的角平分线，点E、点F分别在线段BD、AC的延长线上，联结AE、BF，且AB•BD＝BC•BE．
（1）求证：AD＝AE；
（2）如果BF＝DF，求证：AF•CD＝AE•DF．
24．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD于点E．
（1）求证：△DAC∽△OBC；
（2）若BE⊥CD，求的值．
25．（14分）已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且OC＝OE，射线OE交射线BA于点D．
（1）如图，如果OC＝2，求的值；
（2）联结AO，如果△AEO是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；
（3）当点E在边AC上时，联结BE、CD，∠DBE＝∠CDO，求线段OC的长．
2024-2025学年上海四中九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，满分24分）
1．（4分）在Rt△ABC中，各边的长度都扩大4倍．那么锐角B的正切值（ ）
A．扩大4倍B．扩大2倍C．保持不变D．缩小4倍
【分析】根据锐角三角函数的定义得出tanB＝，求出＝，再得出选项即可．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则tanB＝，
∵＝，
∴在Rt△ABC中，各边的长度都扩大4倍．那么锐角B的正切值保持不变，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，能根据锐角三角函数的定义得出tanB＝是解此题的关键．
2．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE＝3：1，BF＝10，那么DF等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】由AB∥CD∥EF，可得出＝，代入AC＝3CE，BF＝10，即可求出DF的长．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
即＝，
∴DF＝．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
3．（4分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝β，CD⊥AB，垂足为点D，那么下列线段的比值不一定等于sinβ的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由锐角的正弦定义，即可判断．
【解答】解：A、不一定等于sinβ，故A符合题意；
B、△ABC是直角三角形，sinβ＝，正确，故B不符合题意；
C、CD⊥AB，∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∠ACD＝∠B，sinβ＝，正确，故C不符合题意；
D、△BCD是直角三角形，sinβ＝，正确，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的正弦定义．
4．（4分）下列命题中，说法正确的是（ ）
A．所有菱形都相似
B．两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似
C．三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍
D．斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似
【分析】利用菱形的性质、相似三角形的判定方法、三角形的重心的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、所有的菱形不相似，故错误，不符合题意；
B、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故错误，不符合题意；
C、三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍，故错误，不符合题意；
D、斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形是相似的，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的性质、相似三角形的判定方法、三角形的重心的性质等知识，难度不大．
5．（4分）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果＝＝3，且量得CD＝4cm，则零件的厚度x为（ ）
A．2cmB．1.5cmC．0.5cmD．1cm
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的值．
【解答】解：∵＝＝3，∠COD＝∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴AB：CD＝2，
∵CD＝4cm．
∴AB＝8cm．
∵某零件的外径为10cm，
∴零件的厚度x为：（10﹣8）÷2＝1（cm），
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．
6．（4分）如图，点E是线段BC的中点，∠B＝∠C＝∠AED，下列结论中，说法错误的是（ ）
A．△ABE与△ECD相似B．△ABE与△AED相似
C．D．∠BAE＝∠ADE
【分析】证明△BAE∽△CED，△ABE∽△AED，可得结论．
【解答】解：∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠B＝∠AED，
∴∠DEC＝∠BAE，
∵∠B＝∠C，
∴△BAE∽△CED，
∴＝，
∵BE＝CE，
∴＝，
∴＝，
∵∠B＝∠AED，
∴△ABE∽△AED，
∴＝，
故选项A，B，C正确，
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
二、填空题（本大题共12题，满分48分）
7．（4分）如果x：y＝5：2，那么的值为 ．
【分析】由x：y＝5：2，得到y＝x，代入，即可得到答案．
【解答】解：∵x：y＝5：2，
∴y＝x，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查比例的性质，关键是由x：y＝5：2，得到y＝x．
8．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点，且较长的线段AP的长等于10厘米，那么较短的线段BP的长为 5﹣5 厘米．
【分析】根据黄金比值是计算，得到答案．
【解答】解：设线段AB的长为x，
∵点P是线段AB的黄金分割点，较长的线段AP的长等于10厘米，
∴x＝10，
解得，x＝5+5，
∴较短的线段BP的长＝5+5﹣10＝5﹣5（厘米），
故答案为：5﹣5．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念和黄金比值，掌握黄金比值是是解题的关键．
9．（4分）在比例尺为1：10000的地图上，相距5厘米的两地实际距离为 0.5 千米．
【分析】比例尺＝图上距离：实际距离，根据题意列出等式即可得出实际的距离．
【解答】解：根据：比例尺＝图上距离：实际距离，
设两地实际距离为x厘米，得：1：10000＝5：x，
∴相距5厘米的两地的实际距离是5×10000＝50000（厘米）＝0.5（千米），
故答案为：0.5．
【点评】本题考查了比例线段．能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
10．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，则AB＝ 6 ．
【分析】根据角的正弦值与三角形边的关系可求AB的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，
∴sinA＝，
∴AB＝＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
11．（4分）两个相似三角形的面积之比是9：25，其中较大的三角形一边上的高是5厘米，那么另一个三角形对应边上的高为 3 厘米．
【分析】设另一个三角形对应边上的高为x厘米，根据相似三角形的性质得出＝，再求出x即可．
【解答】解：设另一个三角形对应边上的高为x厘米，
∵两个相似三角形的面积之比是9：25，其中较大的三角形一边上的高是5厘米，
∴＝，
解得：x＝3，
∴另一个三角形对应边上的高为3厘米，
故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键，注意：①相似三角形的面积之比等于相似比的平方，②相似三角形的对应高之比等于相似比．
12．（4分）点G是△ABC的重心，过点G作BC边的平行线与AB边交于点E，与AC边交于点F，则＝ ．
【分析】连接AG交BC于点D，由EF∥BC，可得＝，又由G是△ABC的重心，可得＝，再由D是BC的中点，可得＝．
【解答】解：连接AG交BC于点D，
∵EF∥BC，
∴＝，
∵G是△ABC的重心，
∴＝，
∵D是中点，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查三角形重心定理，熟练掌握三角形重心定理，灵活应用平行线的性质是解题的关键．
13．（4分）如图，小明沿着坡度i＝1：2.4的坡面由B到A直行走了13米时，他上升的高度AC＝ 5 米．
【分析】由坡度易得AC与BC的比为1：2.4，设出相应未知数，利用勾股定理可得AC的长度．
【解答】解：∵坡度i＝1：2.4，
∴AC与BC的比为1：2.4，
设AC＝x米，则BC＝2.4x米，
由勾股定理，得x2+（2.4x）2＝132．
解得x＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了解直角三角形及勾股定理；理解坡度的意义是解决本题的关键．
14．（4分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，D是AB边上一点，将△ACD沿CD翻折，点A恰好落在边BC上的点E处，那么AD＝ ﹣1 ．
【分析】先利用互余计算出∠A＝60°，再根据折叠的性质得∠CED＝∠A＝60°，根据三角形外角性质可计算出∠BDE＝30°，然后根据含30度角的直角三角形即可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵△ACD沿CD翻折，A点恰好落在BC边上的E点处，
∴∠CED＝∠A＝60°，AD＝ED，CE＝AC＝1，
∵∠CED＝∠BDE+∠B，
∴∠BDE＝60°﹣30°＝30°，
∴EB＝ED，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵∠B＝30°，AC＝1，
∴BC＝，
∴EB＝CB﹣CE＝﹣1，
∴AD＝ED＝EB＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
15．（4分）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步有木．问邑方几何？”示意图如图，正方形ABCD中，F、G分别是AD和AB的中点，若EF⊥AD，EF＝30，GH⊥AB，GH＝750，且EH过点A，那么正方形ABCD的边长为 300 ．
【分析】根据题意，可知△AEF∽△HAG，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．
【解答】解：∵F、G分别是AD和AB的中点，AD＝AB，
∴AF＝AD，AG＝AB，
∴AF＝AG，
由题意可得，△AEF∽△HAG，
∴＝，
即AF2＝30×750＝22500，
解得：AF＝150，
∴AD＝2AF＝300．
故答案为：300．
【点评】本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．
16．（4分）如图，一艘船从A处向北偏西30°的方向行驶5海里到B处，再从B处向正东方向行驶8海里到C处，此时这艘船与出发点A处相距 7 海里．
【分析】根据直角三角形的三角函数得出AE，BE，进而得出CE，利用勾股定理得出AC即可．
【解答】解：如图：
∵BC⊥AE，
∴∠AEB＝90°，
∵∠EAB＝30°，AB＝5海里，
∴BE＝海里，AE＝海里，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣＝（海里），
∴AC＝＝＝7（海里），
故答案为：7．
【点评】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出AE，BE解答．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（a，3）（a＞4），射线OA与反比例函数y＝的图象交于点P，过点A作x轴的垂线交双曲线于点B，过点A作y轴的垂线交双曲线于点C，联结BP、CP，那么的值是 1 ．
【分析】求出AO的直线解析式y＝x，联立，求出P（2，），过P点作PM⊥AB交于点B，PN⊥AC交于点N，则B（a，），C（4，3），分别求出AC、PN、AB、PM的长，即可求S△ACP＝（a﹣4）（3﹣），S△ABP＝（a﹣2）（3﹣），再求即可．
【解答】解：设AO的解析式为y＝kx，
∴3＝ak，
∴k＝，
∴y＝x，
联立，
解得，
∴P（2，），
过P点作PM⊥AB交于点B，PN⊥AC交于点N，
∴B（a，），C（4，3），
∴AC＝a﹣4，PN＝a﹣2，AB＝3﹣，PM＝3﹣，
∴S△ACP＝（a﹣4）（3﹣），
S△ABP＝（a﹣2）（3﹣），
∴＝＝1；
方法二：过点A作x轴的垂线，垂足为K，过点A作y轴的垂线，垂足为H，过点C作CM⊥AO，过点B作BN⊥AO，
∵点B、C在反比例函数图象上，
∴S△COH＝S△BOK，
∵∠AHO＝∠AKO＝∠HOK＝90°，
∴S△AOH＝S△AOK，
∴S△AOC＝S△AOB，
∵S△AOC＝AO•CM，S△AOB＝AO•BN，
∴CM＝BN，
∵S△APC＝AP•CM，S△APB＝AP•BN，
∴S△APC＝S△APB，
∴＝1；
故答案为：1．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AC边上一点，将△ACB沿着过点P的一条直线翻折，使得点A落在边AB上的点Q处，联结PQ，如果∠CQB＝∠APQ，那么AQ的长为 ．
【分析】利用三角形内角和180°，以及平角180度，推导出PQ平分∠AQC，设CP＝x，则AP＝PQ＝8﹣x，利用三角形等面积法和相似三角形性质求出AQ的长，再利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
【解答】解：根据题意如图所示：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
根据折叠的性质可知∠A＝∠PQA，
∵∠AQP+∠A+∠APQ＝180°，∠AQP+∠PQC+∠CQB＝180°，
∵∠CQB＝∠APQ，
∴∠A＝∠AQP＝∠PQC，
∴PQ平分∠AQC，
设CP＝x，则AP＝PQ＝8﹣x，
如图，过点C作CD⊥AB于点D，PE⊥AB于点E，
∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，
∴10CD＝6×8，
∴CD＝，
∵CD⊥AB，PE⊥AB，
∴PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴＝，
∴＝，
∴PE＝（8﹣x），
∴AE＝＝＝（8﹣x），
∴AQ＝2AE＝（8﹣x），
∵∠PCQ＝∠QCA，∠PQC＝∠A，
∴△PCQ∽△QCA，
∴＝＝，
∴CQ＝＝2，
∴＝，
∴x＝，
∴AQ＝（8﹣x）＝．
故答案为：．
【点评】本题属于几何综合题，是中考填空题的压轴题，主要考查了翻折的性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理，三角形等面积法，综合性较强，熟练解直角三角形中线段问题是解题的捷径．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：ct30°﹣．
【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：ct30°﹣
＝﹣
＝﹣（）
＝1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，联结BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G．
（1）求证：GE•BC＝GB•AE；
（2）若GE＝4，BF＝6，求线段EF的长．
【分析】（1）由于AD∥BC，易证得△GED∽△GBC；得GE：GB＝DE：BC；已知AE＝DE，代换相等线段后即可得出本题要证的结论．
（2）按照（1）的方法，可由AE∥BC，得出AE：BC＝EF：FB，再联立（1）得出的比例关系式，可列出关于EF的方程，即可求得EF的长．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴△GED∽△GBC，
∴，
∵点E是边AD的中点，
∴AE＝DE，
∴，
∴GE•BC＝GB•AE；
（2）解：∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
由（1）知，，
∴＝，
设EF＝x，
∵GE＝4，BF＝6，
∴＝，
解得x1＝2，x2＝﹣12（不合题意，舍去），
∴EF＝2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
21．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠EAF＝90°，AB•AF＝AC•AE．
（1）求证：△AGC∽△DGB；
（2）若点F为CG的中点，AB＝3，AC＝4，tan∠DBG＝，求DF的长．
【分析】（1）利用两边的比值相等并且它们的夹角相等的两个三角形相似即可先证明：△EAB∽△CAF，由此得到∠DBG＝∠ACF，进而可证明△AGC∽△DGB；
（2）由（1）可证明：△AGC∽△DGB，所以∠CAG＝∠GDB＝90°，所以△BDG是直角三角形，并且tan∠DBG＝tan∠ACG＝，由此DG可求，再根据已知条件求出GF的长即可得到DF的长．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，∠EAF＝90°，
∴∠EAF+∠GAF＝∠CAF+GAF＝90°，
∴∠EAB＝∠CAF，
∵AB•AF＝AC•AE，
∴，
∴∠DBG＝∠ACF，
∵∠DGB＝∠AGC，
∴△AGC∽△DGB；
（2）∵△AGC∽△DGB；
∴∠DBG＝∠ACG，△DGB是直角三角形，
∵tan∠DBG＝，
∴tan∠ACG＝，
∵AC＝4，
∴AG＝2，
∴CG＝＝2，
∵AB＝3，
∴BG＝AB﹣AG＝1，
∵tan∠DBG＝，
∴DG＝，
∴DF＝DG+GF＝+＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理的运用、解直角三角形的知识，题目的综合性很强，难度不小，对学生的解题能力要求很高，是一道不错的中考题．
22．（10分）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是 5.5 m．
任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．
（参考数据：sin25.7°≈0.43，cs25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60）
任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
【分析】任务一：根据两次测量结果直接求平均值就可以得到答案；
任务二：设EC＝xm，解直角三角形即可得到结论；
任务三：根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到相等（答案不唯一）．
【解答】解：任务一：（5.4+5.6）＝5.5，
故答案为：5.5；
任务二：设EG＝xm，
在Rt△DEG中，∠DEG＝90°，∠GDE＝31°，
∵tan31°＝，
∴DE＝，
在Rt△CEG中，∠CEG＝90°，∠GCE＝25.7°，
∵tan25.7°＝，CE＝，
∵CD＝CE﹣DE，
∴﹣＝5.5，
∴x＝13.2，
∴GH＝EG+EH＝13.2+1.5＝14.7（米），
答：旗杆GH的高度为14.7米；
任务三：没有太阳光或旗杆底部不可能到达．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．（12分）如图，线段BD是△ABC的角平分线，点E、点F分别在线段BD、AC的延长线上，联结AE、BF，且AB•BD＝BC•BE．
（1）求证：AD＝AE；
（2）如果BF＝DF，求证：AF•CD＝AE•DF．
【分析】（1）利用两边成比例且夹角相等证明△ABE∽△CBD，得∠BDC＝∠AEB，从而证明∠ADE＝∠E，则AD＝AE；
（2）利用三角形外角的性质证明∠BAF＝∠FBC，证明△BCF∽△ABF，得，则（AF﹣AD）•DF＝AF•CF，进行化简即可．
【解答】证明：（1）∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBD，
∵AB•BD＝BC•BE，
∴，
∴△ABE∽△CBD，
∴∠BDC＝∠AEB，
∵∠BDC＝∠ADE，
∴∠AEB＝∠ADE，
∴AD＝AE；
（2）∵BF＝DF，
∴∠BDF＝∠FBD，
∵∠BDF＝∠BAF+∠ABD，∠FBD＝∠DBC+∠CBF，
∴∠BAF+∠ABD＝∠DBC+∠CBF，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠BAF＝∠FBC，
∵∠BFC＝∠AFB，
∴△BCF∽△ABF，
∴，
∴BF2＝AF•CF，
∵DF＝BF，
∴DF2＝AF•CF，
∵DF＝AF﹣AD，
∴（AF﹣AD）•DF＝AF•CF，
∴AF•DF﹣AD•DF＝AF•CF，
∴AF•DF﹣AF•CF＝AD•DF，
∴AF•（DF﹣CF）＝AD•DF，
∵DF﹣CF＝CD，AD＝AE，
∴AF•CD＝AE•DF．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练进行相似三角形的证明是解题的关键．
24．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD于点E．
（1）求证：△DAC∽△OBC；
（2）若BE⊥CD，求的值．
【分析】（1）由AD＝CD，AD∥BC，以及BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，可得∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，即可得出结论；
（2）由（1）知，∠OCE＝∠OCB＝∠EBC，由BE⊥CD可得∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°，过点D作DH⊥BC于点H，设AD＝CD＝2a，则BH＝AD＝2a，根据30度角所对的边是斜边的一半得CH＝a，从而得出BC的长，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵O是AC的中点，∠ABC＝90°，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，
∴△DAC∽△OBC；
（2）解：∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∵∠OCE＝∠OCB＝∠EBC，
∴∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°，
过点D作DH⊥BC于点H，
设AD＝CD＝2a，则BH＝AD＝2a，
在Rt△DCH中，DC＝2a，CH＝a，BC＝BH+CH＝3a，
∴＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25．（14分）已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且OC＝OE，射线OE交射线BA于点D．
（1）如图，如果OC＝2，求的值；
（2）联结AO，如果△AEO是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；
（3）当点E在边AC上时，联结BE、CD，∠DBE＝∠CDO，求线段OC的长．
【分析】（1）通过证明△ABC∽△OEC，可求EC的长，AE的长，通过证明△ADE∽△ODB，可求解；
（2）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解；
（3）通过证明△CDA∽△BEO，可得，通过证明△ABE∽△ODC，可得，列出等式可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC＝5，OE＝OC＝2，
∴∠B＝∠C，∠C＝∠OEC，
∴∠B＝∠OEC＝∠AED，
又∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△OEC，
∴，
∴＝，
∴EC＝，
∴AE＝，
∵∠ADE＝∠ADE，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ODB，
∴＝（）2＝（）2＝；
（2）如图1，当点E在AC上时，
∵∠AEO＞90°，△AEO是等腰三角形，
∴AE＝EO，
由（1）可知：△ABC∽△OEC，
∴，
∴，
∴EC＝OC，
∵AC＝AE+EC＝OC+OC＝5，
∴OC＝；
当点E在线段CA的延长线上时，如图2，
∵△AEO是等腰三角形，
∴AE＝AO，
∴∠E＝∠AOE，
∵∠B＝∠C＝∠OEC，
∴∠B＝∠AOE，
∴△ABC∽△AOE，
∴，
∴，
∴AE＝OC，
由（1）可知：△ABC∽△OEC，
∴，
∴，
∴EC＝OC，
∵AC＝EC﹣AE＝5，
∴OC﹣OC＝5，
∴OC＝，
综上所述：线段OC的长为或；
（3）如图3，当点E在线段AC上时，
∵∠ABE＝∠CDO，∠ABC＝∠OEC，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠OEC﹣∠ODC，
∴∠EBO＝∠DCA，
∵∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ACB，∠BOE＝∠ACB+∠OEC＝2∠ACB，
∴∠DAC＝∠BOE，
∴△CDA∽△BEO，
∴，
∵∠ABE＝∠ODC，∠BAC＝∠DOC，
∴△ABE∽△ODC，
∴，
∴，
∴，
∴OC＝8﹣或OC＝8+（不合题意舍去），
∴OC＝8﹣．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
课题
测量旗杆的高度
成员
组长：xxx 组员：xxx，xxx，xxx
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量示意图

说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度AC＝BD＝1.5m，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在GH 上．
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
∠GCE的度数
25.6°
25.8°
25.7°
∠GDE的度数
31.2°
30.8°
31°
A，B之间的距离
5.4m
5.6m
…
…
课题
测量旗杆的高度
成员
组长：xxx 组员：xxx，xxx，xxx
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量示意图

说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度AC＝BD＝1.5m，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在GH 上．
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
∠GCE的度数
25.6°
25.8°
25.7°
∠GDE的度数
31.2°
30.8°
31°
A，B之间的距离
5.4m
5.6m
…
…