甘肃省庆阳市宁县第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份甘肃省庆阳市宁县第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（ ）
A．22B．30C．37D．46
2．在等差数列an中，已知，，则数列an的通项公式可以为（ ）
A．B． C．D．
3．已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（ ）
A．550B．520C．450D．425
4．过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．直线：，：，若，则实数的值为（ ）
A．0B．1C．0或1D．或1
6．已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（ ）
A．5B．1C．D．
8．已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知是的前项和，，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．是以为周期的周期数列
10．已知等比数列中，，，则（ ）
A．公比为B．
C．当时，D．的前10项积为1
11．若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（ ）
A．0B．C．1D．2
三、填空题
12．设等差数列与的前n项和分别为，，且，则 ．
13．设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离的最大值为 ．
14．已知，，，第三个顶点C在曲线上移动，则的重心的轨迹方程是 ．
四、解答题
15．等差数列an的前项和为，已知，.
(1)求数列an的通项公式；
(2)求数列的前项和.
16．已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
17．已知点，直线.
(1)求点P到直线l的距离；
(2)求点P关于直线l的对称点Q的坐标.
18．已知的圆心在x轴上，经过点和．
(1)求的方程；
(2)过点的直线l与交于A、B两点．
（ⅰ）若，求直线l的方程；
（ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程．
19．把满足任意总有的函数称为和弦型函数.
(1)已知为和弦型函数且，求的值；
(2)在（1）的条件下，定义数列：，求的值；
(3)若为和弦型函数且对任意非零实数，总有．设有理数满足，判断与的大小关系，并给出证明．
参考答案：
1．B
【知识点】根据规律填写数列中的某项、观察法求数列通项
【分析】先根据题中规律找到拐角数的通项公式，进而可得.
【详解】由题意得第1个“拐角数”为，第2个“拐角数”为，
第3个“拐角数”为，第4个“拐角数”为，
则第个“拐角数”为．
对于A：第6个“拐角数”是，故A不合题意；
对于B、C：第7个“拐角数”是，第8个“拐角数”是，
则30不是“拐角数”，故B适合题意，C不合题意；
对于D：第9个“拐角数”是，故D不合题意．
故选：B.
2．C
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算
【分析】方法一，设出首项，公差为d，代入已知条件即可求解；方法二，根据等差数列性质可求出，代入到已知可求出公差为d，即可求解；方法三，根据韦达定理可求出，是方程的两根，再根据等差数列可求出通项公式.
【详解】方法一（基本量法）设an的首项为，公差为d，
则由，得，∴．
代入，整理得，解得．
当时，，；
当时，，．
方法二（等差数列的性质）∵，∴．
，
∴，∴．
当时，；
当时，．
方法三（方程思想）∵，∴，
∴，（由和与积，联想到根与系数的关系）
∴，是方程的两根，∴或
由，，得，∴．
同理，由，，得．
故选：
3．D
【知识点】等比数列片段和性质及应用
【分析】由等比数列前n项和的性质可得答案.
【详解】由等比数列前n项和的性质可得，，，，成等比数列，
则，设，则，∵等比数列中，，
∴解得，，故，∴，
故选：D．
4．B
【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围、斜率与倾斜角的变化关系
【分析】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.
【详解】
设直线的倾斜角为，，
当直线的斜率不存在时，，符合，
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，
因为点， ，，则，，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以，
因为，又，所以，
所以直线的倾斜角范围为.
故选：B.
5．C
【知识点】已知直线垂直求参数
【分析】根据两直线垂直的公式求解即可.
【详解】因为：，：垂直，
所以，
解得或，
将，代入方程，均满足题意，
所以当或时，.
故选：.
6．A
【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离
【分析】根据两条直线平行，求出值，再应用平行线间的距离公式求值即可.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解之得.
于是直线，即，
所以与之间的距离为.
故选：A
7．C
【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数
【分析】根据点在圆外及方程表示圆求出的范围得解.
【详解】因为点在圆C：的外部，
所以，解得，
又方程表示圆，则，即，
所以，结合选项可知，m的取值可以为.
故选：C
8．B
【知识点】轨迹问题——圆
【分析】设出动点和动点的坐标，找到动点和动点坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.
【详解】设，，由中点坐标公式得，
所以，故，
因为A在圆上运动，
所以，
化简得，故B正确.
故选：B
9．BD
【知识点】数列周期性的应用、由递推数列研究数列的有关性质
【分析】由已知数列递推式，可得an是以3为周期的周期数列，判断；结合数列的周期性逐一分析选项
【详解】，，
，，，，
则数列an是以为周期的周期数列，故正确；
则，故错误；
，故正确；
可得，故错误．
故选：
10．ABD
【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】由等比数列an中，，，可求得公比，根据等比数列的性质结合等比数列通项公式即可判断各个选项.
【详解】对于A项，设等比数列an的公比为，
由，得，解得，故A正确；
对于B项，，则，故B正确；
对于C项，，当时，，则，故C错误；
对于D项，由，可得an的前10项积为，故D正确．
故选：ABD.
11．AD
【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系
【分析】先将方程合理转化，后结合二元二次方程表示圆的条件求解即可.
【详解】方程，即，
若方程表示圆，则，解得或，
结合选项可知AD正确，BC错误.
故选：AD
12．
【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、利用等差数列的性质计算
【分析】由等差数列的性质，推导出，代入题干所给公式得到结果.
【详解】，
故答案为：．
13．
【知识点】求直线交点坐标、求平面两点间的距离、直线过定点问题
【分析】先求出的坐标，再求出直线所过的定点，则所求距离的最大值就是的长度.
【详解】由可以得到，故，
直线的方程可整理为：，故直线过定点，
因为到直线的距离，当且仅当时等号成立，
故，
故答案为：.
14．
【知识点】求平面轨迹方程
【分析】设，由题可得重心坐标为：，后由横纵坐标间关系可得答案.
【详解】设，因，则.
因，，则重心坐标为.
设，则，则.
故重心轨迹方程为：.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算
【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解；
（2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解.
【详解】（1）设数列an的公差为，
∵，∴，∵，∴ ，∴公差为，∴，
∴ ；
（2）由已知，
时，；
时，；
综上.
16．(1)
(2)
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、写出等比数列的通项公式
【分析】（1）设公比为，根据等差中项可得，根据等比数列通项公式列式求解即可；
（2）由（1）可知：，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式运算求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，且，
因为，，成等差数列，则，
即，解得或（舍去），
所以的通项公式为.
（2）由（1）可知：，
则
，
所以.
17．(1)
(2)
【知识点】求点到直线的距离、求点关于直线的对称点
【分析】（1）由点到直线距离公式即可得解；
（2）设对称点坐标为，利用两直线垂直的性质与中点坐标公式列方程组即可得解.
【详解】（1）因为点，直线，
所以点P到直线l的距离为；
（2）设点关于直线对称的点的坐标为，
则中点的坐标为，又直线的斜率为，
所以，解得，即.
18．(1)
(2)①或；②.
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弦长与中点弦、直线的点斜式方程及辨析、已知圆的弦长求方程或参数
【分析】（1）设圆心为，根据题中条件求出的值，可求出圆的半径，即可得出圆的标准方程；
（2）①求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直线写出直线的方程，直接验证即可；
在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出结果；
②分析可知，当时，AB取最小值，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】（1）设圆心为，由题意可得，解得，
所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.
（2）①当时，圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，此时，直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
②当时，圆心到直线的距离最大，此时，AB取最小值，
因为，则，
此时，直线的方程为，即.
19．(1)；
(2)
(3)，证明见解析
【知识点】写出等比数列的通项公式、函数新定义、求函数值、函数奇偶性的定义与判断
【分析】（1）利用所给定义，使用赋值法分别令、代入计算即可得解；
（2）令代入计算可得，即可得其通项公式，结合对数运算与等差数列求和公式计算即可得解；
（3）令，数列满足，从而只需证明数列为递增数列即可得证.
【详解】（1）令，则，可得，
令，则，则；
（2）令，则，
，
即，又，所以数列为以为公比，为首项的等比数列，
即，则
；
（3）由题意得：函数定义域为，定义域关于原点对称，令为任意实数，
则，即是偶函数，
因为，
又因为当时，，
所以当时，有，所以，
为有理数，不妨设，令为，分母的最小公倍数，
且均为自然数，且，
设，则，
令，则，
即，，
故数列单调递增，则，
又是偶函数，所以有.
【点睛】关键点点睛：根据递推关系的特点，灵活应用特殊值法求函数值及函数关系，最后一问需根据有理数的性质：令，将问题转化为判断的增减性.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
B
C
A
C
B
BD
ABD
题号
11









答案
AD