2024年上海市中考数学试题含答案

这是一份2024年上海市中考数学试题含答案，共29页。
2．作答前，请在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号．井将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．
3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．
4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．
一、选择题（每题4分，共24分）
1. 如果，那么下列正确的是（ ）
A B. C. D.
2. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
3. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的．
A. 甲种类B. 乙种类C. 丙种类D. 丁种类
5. 四边形为矩形，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（ ）
A. 菱形B. 矩形C. 直角梯形D. 等腰梯形
6. 在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（ ）
A. 内含B. 相交C. 外切D. 相离
二、填空题（每题4分，共48分）
7 计算：___________．
8 计算______．
9. 已知，则___________．
10. 科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为25，则蓝光唱片的容量是普通唱片的___________倍．（用科学记数法表示）
11. 若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而___________．（选填“增大”或“减小”）
12. 在菱形中，，则___________．
13. 某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为___________万元．
14. 一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有___________个绿球．
15. 如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则___________（结果用含，的式子表示）．
16. 博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷张，其中人没有讲解需求，剩余人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共万人的参观中，需要增强讲解的人数约有__________人．

17. 在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则__________．
18. 对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________．
三、简答题（共78分，其中第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分）
19. 计算：．
20. 解方程组：．
21. 在平面直角坐标系中，反比例函数（k常数且）上有一点，且与直线交于另一点．

（1）求k与m的值；
（2）过点A作直线轴与直线交于点C，求值．
22. 同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为．
（1）求：
两个直角三角形的直角边（结果用表示）；
小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）；
（2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：
不与给定的图形状相同；
画出三角形的边．
23. 如图所示，在矩形中，为边上一点，且．
（1）求证：；
（2）为线段延长线上一点，且满足，求证：．
24. 在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和．
（1）求平移后新抛物线的表达式；
（2）直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q．
①如果小于3，求m的取值范围；
②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标．
25. 在梯形中，，点E在边上，且．
（1）如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：；
（2）已知；
①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共24分）
1. 【答案】C
【解析】解：A．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；
B．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；
C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意；
D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意；
故选：C．
2. 【答案】D
【解析】解：函数的定义域是，解得，
故选：D．
3. 【答案】D
【解析】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；
B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；
C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；
D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意；
故选：D．
4. 【答案】B
【解析】解：∵由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类，
四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定，
∴乙种类开花时间最短的并且最平稳的，
故选：B．
5. 【答案】A
【解析】解：如图所示：
四边形为矩形，
，，
过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，
，
如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形，
故选：A．
6. 【答案】B
【解析】解：圆半径为1，圆半径为3，圆与圆内切，
圆含在圆内，即，
在以为圆心、为半径的圆与边相交形成的弧上运动，如图所示：
当到位置时，圆与圆圆心距离最大，为，
，
圆与圆相交，
故选：B．
二、填空题（每题4分，共48分）
7. 【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
8. 【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
9. 【答案】1
【解析】解：根据题意可知：，
∴，
解得：，
故答案为：1．
10. 【答案】
【解析】解：蓝光唱片的容量是普通唱片的倍，
故答案为：．
11. 【答案】减小
【解析】解：正比例函数的图象经过点，
，
解得：，
又，
的值随的增大而减小．
故答案为：减小．
12. 【答案】##57度
【解析】解：∵四边形菱形，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 【答案】4500
【解析】解：设，
把，代入，得，
解得，
∴，
当时，，
即投入80万元时，销售量为4500万元，
故答案为：4500．
14. 【答案】3
【解析】解：设袋子中绿球有个，
∵摸到绿球的概率是，
∴球的总数为个，
∴白球的数量为个，
∵每种球的个数为正整数，
∴，且x为正整数，
∴，且x为正整数，
∴x的最小值为1，
∴绿球的个数的最小值为3，
∴袋子中至少有3个绿球，
故答案为：3．
15. 【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，．
是上一点，，
，
，
，
故答案为：．
16. 【答案】
【解析】解：∵共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人有需求讲解，
∴需求讲解的人数占有效问卷的百分比为，
由条形统计图可知：需要增强讲解的人数为人，
∴需要增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比为，
∴在总共万人的参观中，需要增强讲解的人数约有（人），
故答案为：
17. 【答案】或##或
【解析】解：当在之间时，作下图，
根据，不妨设，
由翻折性质知：，
沿直线翻折至所在直线，
，
。
，
过作的垂线交于，
，
，
当在的延长线上时，作下图，
根据，不妨设，
同理知：，
过作的垂线交于，
，
，
故答案为：或．
18. 【答案】4
【解析】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则，
，
中存在一点，有，解得，则，
抛物线“开口大小”为，
故答案为：．
三、简答题（共78分，其中第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分）
19. 【答案】
【解析】解：
．
20. 【答案】，或者，．
【解析】解：，
由得：代入中得：
，
，
，
，
解得：或，
当时，，
当时，，
∴方程组的解为或者．
21. 【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【小问1详解】
解：把代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
∴，
把代入，
得；
【小问2详解】
解：由（1）知：
设l与y轴相交于D，

∵轴，轴轴，
∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，，
把代入，得，
解得，
∴，
∴，，
∴，
∴．
22. 【答案】（1）等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和；底为，高为，面积为；
（2）画图见解析．
【解析】
【小问1详解】
解：①如图，为等腰直角三角板，，
则；
如图，为含的直角三角形板，，，，
则，；
综上，等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和；
由题意可知，
∴四边形是矩形，
由图可得，，，
∴，
故小平行四边形的底为，高为，面积为；
【小问2详解】
解：如图，即为所作图形．
23. 【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【小问1详解】
证明：在矩形中，，，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
【小问2详解】
证明：连接交于点，如图所示：
在矩形中，，则，
，
，
，
，
，
在矩形中，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
．
24. 【答案】（1）或；
（2）①；②．
【解析】
【小问1详解】
解：设平移抛物线后得到的新抛物线为，
把和代入可得：
，
解得：，
∴新抛物线为；
【小问2详解】
解：①如图，设，则，
∴，
∵小于3，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，
由题意可得：在的右边，当时，
∴轴，
∴，
∴，
由平移的性质可得：，即；
如图，当时，则，
过作于，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，
∴，
解得：（不符合题意舍去）；
综上：；
25. 【答案】（1）见详解 （2）①；②
【解析】
【小问1详解】
证明：延长交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
①解：记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，
∵点O为外接圆圆心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴外接圆半径为；
②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，
∵，
∴，
∴，
由①知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由，
得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∴，
∴，
而，
∴在中，由勾股定理得，，
∵，
∴．
种类
甲种类
乙种类
丙种类
丁种类
平均数
2.3
2.3
2.8
3.1
方差
1.05
0.78
1.05
0.78