2024年湖南省长沙市中考数学试题含答案

这是一份2024年湖南省长沙市中考数学试题含答案，共24页。

1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（ ）
A. B. C. D.
3. “玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列计算正确是（ ）
A. B. C. D.
5. 为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（ ）
A. 9.2B. 9.4C. 9.5D. 9.6
6. 在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A. 它的图象与y轴交于点B. y随x的增大而减小
C. 当时，D. 它的图象经过第一、二、三象限
8. 如图，在中，，，．则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（ ）
A. 4B. C. 5D.
10. 如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点P．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知____种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）．
12. 某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方案如下：不透明箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会，小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为______．
13. 要使分式有意义，则x需满足的条件是______．
14. 半径为4，圆心角为的扇形的面积为______（结果保留）．
15. 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接．若，则的长为______．
16. 为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是______．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接
（1）求的长；
（2）求的周长．
20. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______；
（2）请补全条形统计图；
（3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；
（4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？
21. 如图，点C在线段上，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
22. 刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元．
（1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？
（2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？
23. 如图，在中，对角线，相交于点O，．
（1）求证：；
（2）点E在边上，满足．若，，求的长及的值．
24. 对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），
可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；
只有内接圆，而无外接圆四边形称为“内切型单圆”四边形；
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该约定，解答下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”，
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； （ ）
②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形； （ ）
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有．（ ）
（2）如图1，已知四边形内接于，四条边长满足：．
①该四边形是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
②若平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径．
（3）已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H．
①如图2．连接交于点P．求证：．
②如图3，连接，若，，，求内切圆的半径r及的长．
25. 已知四个不同的点，，，都在关于x的函数（a，b，c是常数，）的图象上．
（1）当A，B两点的坐标分别为，时，求代数式的值；
（2）当A，B两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由；
（3）当时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：，．请问是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：表示一条长度等于的m倍的线段）．
类型
人数
百分比
纯电
m
混动
n
氢燃料
3
油车
5
参考答案
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 【答案】B
【解析】解：A中图形轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B中图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意，
故选：B．
2. 【答案】C
【解析】解：用科学记数法将数据1290000000表示为，
故选：C．
3. 【答案】D
【解析】解：能够耐受的温差是，
故答案为：D．
4. 【答案】A
【解析】解：A、 ，计算正确；
B、不能合并，原计算错误；
C、，原计算错误；
D、，原计算错误；
故选A．
5. 【答案】B
【解析】解：甲班演唱后七位评委给出的分数为：8.8，9.2，9.4，9.4，9.5，9.5，9.6，
∴中位数为：9.4，
故选B．
6. 【答案】D
【解析】解：在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为，即，
故选：D．
7. 【答案】A
【解析】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确；
B.一次函数图象y随x增大而增大，原说法错误；
C.当时，，原说法错误；
D.一次函数图象经过第一、三、四象限，原说法错误；
故选A．
8. 【答案】C
【解析】解：∵在中，，，
∴,
∵，
∴．
故选：C．
9. 【答案】B
【解析】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离，
∴，，
在中，，
故选：B．
10. 【答案】C
【解析】解：如图，过D作，交延长线于H，则，
∵在菱形中，，，
∴，，，
∴，，
在中，，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 【答案】甲
【解析】解：∵，
∴甲种秧苗长势更整齐，
故答案为：甲．
12. 【答案】##
【解析】解：小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为，
故答案为：．
13. 【答案】
【解析】解：∵分式有意义，
∴，解得，
故答案为：．
14. 【答案】
【解析】解：由题意，半径为4，圆心角为的扇形的面积为，
故答案为：．
15. 【答案】24
【解析】解：∵D，E分别是，的中点，
∴是的中点，
∴，
故答案为：．
16. 【答案】2009
【解析】解：设这位参与者的出生年份是x，从九个数字中任取一个数字为a，
根据题意，得，
整理，得
∴，
∵a是从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，
∴x的值可能为1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009，
∵是为庆祝中国改革开放46周年，且参与者均为在校中学生，
∴x只能是2009，
故答案为：2009．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 【答案】
【解析】解：原式
．
18. 【答案】；
【解析】解：
．
当时，原式．
19. 【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：由作图可知，是线段的垂直平分线，
∴在中，点D是斜边的中点．
∴．
【小问2详解】
解：在中，．
∵是线段的垂直平分线，
∴．
∴的周长．
20. 【答案】（1）50；30，6
（2）见解析 （3）
（4）人
【解析】
【小问1详解】
解：本次调查活动随机抽取人数为（人），
，则，
，则，
故答案为：50；30，6；
【小问2详解】
解：∵，
∴补全条形统计图如图所示：
【小问3详解】
解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为；
【小问4详解】
解：（人）．
答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人．
21. 【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【小问1详解】
证明：在与中，
，
所以；
【小问2详解】
解：因为，，
所以，，
所以是等边三角形．
所以．
22. 【答案】（1）A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元
（2）最多能购买100件A种湘绣作品
【解析】
【小问1详解】
设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元．
根据题意，得
，
解得
答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元．
【小问2详解】
设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件．
根据题意，得，
解得．
答：最多能购买100件A种湘绣作品．
23. 【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【小问1详解】
证明：因为四边形是平行四边形，且，
所以四边形是矩形．
所以；
【小问2详解】
解：在中，，，
所以，
因为四边形是矩形，
所以，．
因为，所以．
过点O作于点F，则，
所以，
在中，，
所以．
24. 【答案】（1）①×；②√；③√
（2）①外接型单圆；②见解析
（3），，
【解析】
【小问1详解】
解：由题干条件可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，所以
①当平行四边形对角不互补，对边之和也不相等时，该平行四边形无外接圆，也无内切圆，
∴该平行四边形是 “平凡型无圆”四边形，故①错误；
②∵内角不等于的菱形的对角不互补，
∴该菱形无外接圆，
∵菱形的四条边都相等，
∴该菱形的对边之和相等，
∴该菱形有内切圆，
∴内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形，故②正确；
③由题意，外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，如图，
则，，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，即；
故③正确，
故答案为：①×；②√；③√；
【小问2详解】
解：①∵四边形中，，
∴四边形无内切圆，又该四边形有外接圆，
∴该四边形是“外接型单圆”四边形，
故答案为：外接型单圆；
②∵的平分线交于点E，的平分线交于点F，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即和均为半圆，
∴是的直径．
【小问3详解】
①证明：如图，连接、、、、，
∵是四边形的内切圆，
∴，，，，
∴，
在四边形中，，
同理可证，，
∵四边形是“完美型双圆”四边形，
∴该四边形有外接圆，则，
∴，则，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接、、、，
∵四边形 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H，
∴∴，，，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∵，，
∴，则，
在中，由得，
解得；
在中，，
∴，
同理可证，
∴，
∴，
∴．
25. 【答案】（1）
（2）此函数图象与x轴的公共点个数为两个，理由见解析
（3）存在两个m的值符合题意；当时，此时该函数的最小值为；当时，此时该函数的最小值为
【解析】
【小问1详解】
将，代入得
，
②-①得，即．
所以．
【小问2详解】
此函数图象与x轴的公共点个数为两个．
方法1：由，得．
可得或．
当时，，此抛物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方，此时该函数图象与x轴有两个公共点；
当时，，此抛物线开口下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方，此时该函数图象与x轴也有两个公共点．
综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点．
方法2：由，得．
可得或．
所以抛物线上存在纵坐标为的点，即一元二次方程有解．
所以该方程根的判别式，即．
因为，所以．
所以原函数图象与x轴必有两个公共点．
方法3：由，可得或．
当时，有，即，
所以．
此时该函数图象与x轴有两个公共点．
当时，同理可得，此时该函数图象与x轴也有两个公共点．
综上所述，该函数图象与x轴必有两个公共点．
【小问3详解】
因为，所以该函数图象开口向上．
由，得，可得．
由，得，可得．
所以直线均与x轴平行．
由（2）可知该函数图象与x轴必有两个公共点，设，．
由图象可知，即．
所以的两根为，，可得．
同理的两根为，，可得．
同理的两根为，，可得．
由于，结合图象与计算可得，．
若存在实数，使得，这三条线段组成一个三角形，
且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为30°，60°的直角三角形，所以线段不可能是该直角三角形的斜边．
①当以线段为斜边，且两锐角分别为30°，60°时，因为，
所以必须同时满足：，．
将上述各式代入化简可得，且，
联立解之得，，解得符合要求．
所以，此时该函数最小值为．
②当以线段为斜边时，必有，同理代入化简可得
，解得．
因为以线段为斜边，且有一个内角为60°，而，
所以，即，
化简得符合要求．
所以，此时该函数的最小值为．
综上所述，存在两个m的值符合题意；
当时，此时该函数的最小值为；
当时，此时该函数的最小值为．