包头市2024年中考真题数学试卷

这是一份包头市2024年中考真题数学试卷，共14页。试卷主要包含了本试卷共6页，满分120分，答题时，将答案写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟．
2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置．请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置．
3．答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
1. 计算所得结果是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
2. 若互为倒数，且满足，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
3. 如图，正方形边长为2，以所在直线为轴，将正方形旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（ ）
A. 8B. 4C. D.
【答案】A
4. 如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
5. 为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
6. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
7. 若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
8. 如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（ ）
A. 14B. 11C. 10D. 9
【答案】D
10. 如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上．
11. 计算：______．
【答案】3
12. 已知一个n边形的内角和是，则________．
【答案】7
13. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式______．
【答案】（答案不唯一）
14. 如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为______．
【答案】
15. 若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则______．
【答案】
16. 如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为______．
【答案】
三、解答题：本大题共有7小题，共72分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置．
17. （1）先化简，再求值：，其中．
（2）解方程：．
解：（1），
当时，原式；
（2）
去分母，得，
解得，
把代入，
∴是原方程的解．
18. 《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀（），良好（），及格（），不及格（），其中表示测试成绩（单位：）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况，精准找出差距，进行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下：
a．本校测试成绩频数（人数）分布表：
b．本校测试成绩统计表：
c．本校所在区县测试成绩统计表：
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）求出的值；
（2）本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是，请你计算出乙同学的测试成绩是多少？
（3）请你结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个，对该校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议．
解：（1）本次测试的总人数为：（人），
成绩为优秀的人数为：40人，
则优秀率为：；
（2）第100名、第101名成绩的平均值为该校本次测试成绩的中位数，中位数为228，
则，
答：乙同学的测试成绩是；
（3）本校测试成绩的平均数为222.5，本校所在区县测试成绩平均数为218.7，
本校测试成绩的优秀率为，本校所在区县测试成绩优秀率为，
，
从平均数角度看，该校九年级全体男生立定跳远的平均成绩高于区县水平，整体水平较好；
从优秀率角度看，该校九年级全体男生立定跳远成绩中等水平偏上的学生比例低于区县水平，该校测试成绩的优秀率低于区县水平；
建议：该校在保持学校整体水平的同时，多关注接近优秀的学生，提高优秀成绩的人数．
19. 如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．
（1）请你设计测量教学楼的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用等表示，测出的角用等表示），并对设计进行说明；
（2）根据你测量的数据，计算教学楼的高度（用字母表示）．
解：（1）如图，将测角仪放在D处，用皮尺测量出D到的距离为m，用测角仪测出A的仰角为，测出B的俯角为；
（2）如图，过C作于E，
则四边形是矩形，，，
∴，，
在中，，
在中，，
∴，
答：教学楼的高度为．
20. 图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的与之间的对应数据：
（1）依据小亮测量的数据，写出与之间的函数表达式，并说明理由；
（2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？
解：（1）由表格可知，每增加一只碗，高度增加，
∴，
检验∶当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴；
（2）根据题意，得，
解得，
∴碗的数量最多为10个．
21. 如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且．
（1）如图1，若，，求的半径；
（2）如图2，若，求证：．（请用两种证法解答）
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得，
即的半径为3；
（2）证明：法一：过O作于F，
∴，
∵
∴，
又，，
∴，
∴，
∴；
法二：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
22. 如图，在中，为锐角，点在边上，连接，且．

（1）如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与相交于点．
①求证：是的中点；
②求；
（2）如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论．
解：（1）①，
为的中点，
，
是边的中点，
，
，
在中，
∴，
又∵，
，
，
是的中点；
②，
四边形为平行四边形，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
；
（2）线段与线段之间的数量关系为：，理由如下：
连接交于点，如下图：

由题意，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点，
，
又，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
为的中点，
，
，
为的中点，
为的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：；
（3）如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由．
（1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为，
，
，
将代入解析式，则，
，
抛物线的解析式表达式为；
（2）证明：如图1，延长交x轴于点D，
由（1）知抛物线的解析式表达式为，则，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得：
直线的解析式为，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）过点作轴，交x轴于点G，
令，即，
解得：，
根据题意得：，
，
轴，轴，
，
，
，
，即，
，
，
点的横坐标为，
由折叠的性质得到，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
，，，
，
，
，，．等级
优秀
良好
及格
不及格
频数（人数）
40
70
60
30
平均数
中位数
优秀率
及格率
222.5
228
平均数
中位数
优秀率
及格率
218.7
223
个
1
2
3
4
6
8.4
10.8
13.2