福建省南平市浦城县2022-2023学年高一下学期期末冲刺卷(三)数学试卷(解析版)

这是一份福建省南平市浦城县2022-2023学年高一下学期期末冲刺卷(三)数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）
1. 设，，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】，
在复平面内对应的点为，
所以在复平面内对应的点位于第三象限.
故选：C.
2. 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量，，，，，，，，，，中，与共线的向量有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】在向量，，，，，，，，，，
中与共线的向量有：向量，，．
故选：C．
3. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】D
【解析】因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法，
平面，到平面的距离等于到平面的距离，
由题计算得，
在中，，
边上的高，所以，
所以，利用等体积法，
得：，解得：.
故选：D.
4. 在中，已知，，的外接圆半径为1，则（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】C
【解析】已知A=，得sinA=，
∵b=1，R=1，根据正弦定理，得，sinB=，
∵，易知B为锐角，∴B=，∴C=，
根据三角形的面积公式，S△ABC=.
故选：C.
5. 已知数据的平均数为，方差为，则，，…，的平均数和方差分别为（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】B
【解析】因为数据的平均数为，方差为，
所以，，…，的平均数和方差分别为和.
故选：B.
6. 如图所示的四组数据，标准差最小的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对A，，
；
对B，，
；
对C，，
；
对D，，
；
所以标准差最小的是A.
故选：A.
7. 已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意侧棱长为，
所以表面积为：．
故选：A.
8. 海伦公式是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积S的公式，表达式为：；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（ ）
A. B.
C. D. 12
【答案】C
【解析】在中，因为，
由正弦定理可得：，
设，，，且，
∴，解得，
即，，，且，
∴
.
故选：C.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（ ）
A. 抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜
B. 同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜
C. 从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜
D. 小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜
【答案】ACD
【解析】对于A，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平
对于B，恰有一枚正面向上包括正，反反，正两种情况，
而两枚都正面向上仅有正，正一种情况，所以游戏不公平
对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，
所以游戏公平
对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，一共四种情况：（6，6），（6，8），（8，6），
（8，8）；两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平．
故选：ACD．
10. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】，由正弦定理可得，
整理可得，
所以，
为三角形内角，，
∴，∵，，故A正确，B错误；
∵，，
，解得，
由余弦定理，得，
解得或（舍去），故D正确，C错误.
故选：AD.
11. 如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A. ，，三点共线B. ，，，四点共面
C. ，，，四点共面D. ，，，四点共面
【答案】ABC
【解析】在正方体中，为的中点，直线交平面于点，
在选项中，直线交平面于点，
平面，直线，又平面，平面，
为的中点，平面，底面为正方形，所以为的中点，
平面，且平面，
又平面，且平面，，，三点共线，故选项正确；
在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确；
在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确；
在选项中，直线，，
，，，四点不共面，故错误．
故选：ABC．
12. 对于三角形ABC，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A. 若sin2A＋sin2B＜sin2C，则三角形ABC是钝角三角形
B. 若A＞B，则sin A＞sin B
C. 若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的三角形ABC有两个
D. 若三角形ABC为斜三角形，则
【答案】ABD
【解析】对于A，因为sin2A＋sin2B＜sin2C，所以由正弦定理得，
所以，所以为钝角，所以三角形ABC是钝角三角形，
所以A正确；
对于B，因为A＞B，所以，所以由正弦定理得sin A＞sin B，所以B正确；
对于C，由余弦定理得，，
所以，所以符合条件的三角形ABC有一个，所以C错误；
对于D，因为，
所以
因为，
所以，
所以，所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知向量，，.若与共线，则在方向上的投影为________.
【答案】
【解析】因为，，
所以；
因为与共线，，
所以，解得；
所以在方向上的投影为.
故答案为：.
14. 已知复数满足条件，那么的最大值为______．
【答案】4
【解析】因为，所以复数对应的点在单位圆上，
表示复数对应的点与复数对应的点之间的距离，
而，
所以的最大值为.
故答案为：4.
15. 在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得点的俯角，已知铁塔部分高米，山高_______．
【答案】米
【解析】由，易得，，
设，则，
，
，．
故答案为：米.
16. 如图，点E是正方体的棱的中点，点在线段上运动，则下列结论正确的有__________．
①直线与直线始终是异面直线；
②存在点，使得；
③四面体的体积为定值；
④当时，平面平面.
【答案】②③④.
【解析】对于①：连接交于点，当点在点时直线与直线相交，
故①不正确，
以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为，则，
，，，，，，
对于②：，假设存在点，使得，
，，
所以，解得，所以当时，
故②正确；
对于③：连接、交于点，因为点E是棱的中点，此时，
故线段到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值，故③正确；
对于④：当时，，，，
设平面的法向量为，由，令，
可得，，可得，设平面的法向量为，
，由解得：，
令可得，所以，因为，，
所以平面平面，故④正确.
故答案为：②③④.
四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分.）
17. 实数取什么值时，复数.
（1）与复数相等；
（2）与复数互为共轭复数；
（3）对应的点在轴上方.
解：（1）根据复数相等的充要条件得，解得m＝－1.
（2）根据共轭复数的定义得，解得m＝1.
（3）根据复数z的对应点在x轴的上方可得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.
18. 已知向量.
（1）若，求证：；
（2）若向量共线，求.
解：（1）当时，，
又，.
（2）因为向量共线，，即，
当，则与矛盾，故舍去；
当时，由得：，
又
.
另解：由，得，所以.
19. 为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准(吨)，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，1)，[1，2)，…，[8，9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中.
（1）求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代表)；
（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨)，估计的值，并说明理由.
解：（1）由频率分布直方图可得，
又，则，，
该市居民用水的平均数估计为：
.
（2）由频率分布直方图可得，
月均用水量不超过2吨的频率为：，
则月均用水量不低于2吨的频率为：，
所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：（万）.
（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，
月均用水量不超过5吨的频率为0.73，
则85%的居民每月的用水量不超过的标准（吨），，
，解得，
即标准为5.8吨.
20. 如图，在三棱锥中，平面ABC，底面ABC是直角三角形，，O是棱的中点，G是的重心，D是PA的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
解：（1）证明：平面ABC，且平面ABC，，
底面ABC是直角三角形且，，
又平面PAB，平面PAB，，
平面.
（2）证明：连结并延长交于点，连结，，
是的重心，为边上的中线，为边上的中点，
又有为边上的中点，，
平面PBC，平面PBC，
同理可得平面PBC，
又平面DOE，平面DOE，，
平面DOE平面PBC，
又有平面DOE，平面.
21. 如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
（1）求B；
（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积
解：（1）由正弦定理得，
得，
因为，所以，即.
（2）在中AB=2，BC=3，，，
解得，
在中，，A，B，C，D在圆上，
因为，所以，
所以，
解得或（舍去），
所以四边形ABCD的面积.
22. 如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上，且，，.
（1）求证：；
（2）若二面角的平面角的余弦值为，求侧棱的长.
解：（1）在棱柱中，面，面，
面面，由线面平行的性质定理有，
又，故.
（2）证明：在底面中，，，，
， ，，
又因侧棱底面，则底面，
面，，
又，面，
过点作于，连接，则是二面角的平面角，
，，
则，故，
，，
设，则，
，，
故，故．