广东省汕头市2024届普通高考第二次模拟考试数学试卷(解析版)

这是一份广东省汕头市2024届普通高考第二次模拟考试数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于抛物线，的准线方程是.
故选：B.
2. 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】C
【解析】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得.
故选：C
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因，
所以
由为真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件
故选：B.
4. 若实数，满足，且.则下列四个数中最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题知：，且，所以，，故排除D.
因为，故排除A.
因为，故排除C.
故选：B
5. 袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
341 332 341 144 221 132 243 331 112
342 241 244 342 142 431 233 214 344
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】18组随机数中，满足条件的有221，132，112，241，142，这5组数据满足条件，
所以估计恰好抽取三次就停止的概率.
故选：D
6. 已知两个等差数列2，6，10，，202及2，8，14，，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ）
A. 1678B. 1666C. 1472D. 1460
【答案】B
【解析】第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，
故新数列的公差是4和6的最小公倍数12，
则新数列的公差为12，首项为2，
其通项公式为，
令，得，
故，
则，
故选：B.
7. 已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，且，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，
且，，
把三棱锥补成一个长方体，如图所示：
所以长方体的外接球即是三棱锥的外接球，
因为，，可得长方体的外接球的半径为，
所以球的表面积为，故选：D．
8. 已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，
因为函数在区间上单调递减，
所以在区间上恒成立，即，
令，则，
又，所以，所以在为减函数，
所以，
所以，即实数a的最大值是.
故选：C
二.选择题
9. 某校高三年级选考生物科的学生共1000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分的分数转换区间为，若等级分，则（ ）
参考数据：；；.
A. 这次考试等级分的标准差为25
B. 这次考试等级分超过80分的约有450人
C. 这次考试等级分在内的人数约为997
D.
【答案】CD
【解析】对于A，由题设，均值，方差，所以标准差为5，故A错误；
对于B，，所以人，故B错误；
对于C，，
则人，故C正确；
对于D，
故D正确．故选：CD.
10. 如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点、、，且的面积为，则（ ）
A. 点的纵坐标为1
B. 在上单调递增
C. 点是图象的一个对称中心
D. 的图象可由的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位得到
【答案】ABC
【解析】对于A，由周期可知，，所以，
则，即点的纵坐标为1，故A正确；
即，且，
所以，即，
对于B，当时，，
所以在上单调递增，故B正确；
对于C，，所以点是图象的一个对称中心，故C正确；
对于D，将的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），
得，再将图象向左平移个单位得，故D错误.
故选：ABC
11. 用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，也即圆锥曲线.探究发现：当圆锥轴截面的顶角为时，若截面与轴所成的角为，则截口曲线的离心率.例如，当时，，由此知截口曲线是抛物线.如图，圆锥中，、分别为、的中点，、为底面的两条直径，且、，.现用平面（不过圆锥顶点）截该圆锥，则（ ）

A. 若，则截口曲线为圆
B. 若与所成的角为，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分
C. 若，则截口曲线为抛物线的一部分
D. 若截口曲线是离心率为的双曲线的一部分，则
【答案】BCD
【解析】对于A，由题意知过MN的平面与底面不平行，则截口曲线不为圆，故A错误；
对于B，与所成的角为，所以，
因为，所以，即，
所以，所以平面截该圆锥得的截口曲线为椭圆或椭圆的一部分，
故B正确；
对于C，因为平面，平面，所以，
因为，，SOD，
所以平面SOD，又因为平面SOD，所以
又为、的中点，所以，
平面MAB，
所以平面MAB，所以与SO所成的角为，
所以，，
故C正确；
对于D， 截口曲线是离心率为的双曲线的一部分，
则，
所以平面，故平面不经过原点O，故D正确．
故选：BCD.

第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题
12. 写出一个满足，且的复数，________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】设，，因为，
所以，，
由，解得或，
则（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
13. 已知直线x+y=a与圆交于A､B两点，且，其中O为坐标原点，则实数a的值为________.
【答案】
【解析】因，由向量加法和减法的几何意义知，以线段OA，OB为一组邻边的平行四边形两条对角线长相等，
从而这个平行四边形是矩形，即，又，则是等腰直角三角形，于是点O到直线AB距离为，
所以，即.
故答案为：
14. 已知数列：0，2，0，2，0，现按规则：每个0都变为“2，0，2”，每个2都变为“0，2，0”对该数列进行变换，得到一个新数列，记数列，，则数列的项数为________，设的所有项的和为，则________.
【答案】
【解析】因为共5项，在f作用下，每个项都变为3个项，
所以的项数是首项为5，公比为3的等比数列，所以的项数为
根据变换规则，若数列的各项中，与0的个数相同，
则与之相邻的下一个数列中与0的个数也相同；
若比0多个，则与之相邻的下一个数列中比0的个数少个；
若比0少个，则与之相邻的下一个数列中比0的个数多个；
因为中有项，其中个，个0，比0少个，
所以的项中，比0的个数多个；
以此类推，若为奇数，则数列的各项中比0少个，
若为偶数，则数列的各项中比0多个；
所以数列中2比0多1个，所以
故答案为：；.
四、解答题
15. 中，内角、、的对边分别为、、.
（1）若，，求的值；
（2）求证：
（1）解：因为，
所以，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
所以，
整理可得，所以.
（2）证明：，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
所以.
16. 设是由满足下列条件的函数构成的集合：①方程有实根；②在定义域区间上可导，且满足.
（1）判断，是否是集合中的元素，并说明理由；
（2）设函数为集合中的任意一个元素，证明：对其定义域区间中的任意、，都有.
解：（1）
当时，，满足条件②；
令，
则，在上存在零点，
即方程有实数根，满足条件①，综上可知，
（2）不妨设在D上单调递增，
，即①
令则，在D上单调递减，
，即，②
由①②得：
17. 2023年，我国新能源汽车产销量占全球比重超过60%，中国成为世界第一大汽车出口国.某汽车城统计新能源汽车从某天开始连续的营业天数与销售总量（单位：辆），采集了一组共20对数据，并计算得到回归方程，且这组数据中，连续的营业天数的方差，销售总量的方差.
（1）求样本相关系数，并刻画与的相关程度；
（2）在这组数据中，若连续的营业天数满足，试推算销售总量的平均数.
附：经验回归方程，其中，.
样本相关系数，.
解：（1）因为，
，
可以推断连续的营业天数与销售总量这两个变量正线性相关，且相关程度很强．
（2）
，
（负值已舍去），
而，从而.
18. 如图，矩形中，，.、、、分别是矩形四条边的中点，设，.
（1）证明：直线与的交点在椭圆：上；
（2）已知为过椭圆的右焦点的弦，直线与椭圆的另一交点为，若，试判断、、是否成等比数列，请说明理由.
（1）证明：设，依题意，，，，，
则直线的方程为，①
直线的方程为，②
①×②得：即
故直线与的交点M在椭圆上；
（2）解：依题意，直线的斜率均不为零，故设直线PO的方程为，
直线MO的方程为
由得：

由得


即成等比数列.
19. 日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，比如月饼盒.烘焙店在售卖月饼时，为美观起见，通常会用彩绳对月饼盒做一个捆扎，常见的捆扎方式有两种，如图（A）、（B）所示，并配上花结.

图（A）中，正四棱柱的底面是正方形，且，.
（1）若，记点关于平面的对称点为，点关于直线的对称点为.
（ⅰ）求线段的长；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
（2）据烘焙店的店员说，图（A）这样的捆扎不仅漂亮，而且比图（B）的十字捆扎更节省彩绳.你同意这种说法吗？请给出你的理由.（注意，此时、、、、、、、这8条线段可能长短不一）
解：（1）（ⅰ）如图，以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面的法向量为
则有，
取得
点H到平面的距离
，线段的长为
（ⅱ）设为的中点，则且
，

由（ⅰ）知，

又为平面ABCD的法向量，

直线与平面ABCD所成角正弦值为.

（2）如图所示，
对于图(A)，沿彩绳展开正四棱柱，则彩绳长度的最小值，如下图，
最小值为，
对于图(B)，彩绳长度的最小值为，
因为，所以店员的说法是正确的．
（也可以不计算，由三角形两边之和大于第三边直观给出答案）