河南省焦作市2024年九年级中考二模数学试卷(解析版)

这是一份河南省焦作市2024年九年级中考二模数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各数中最大的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
最大的数是，
故选：A．
2. 2024年一季度我国国民经济实现良好开局，一季度国内生产总值296299亿元，按不变价格计算，同比增长5.3%，比上年四季度环比增长1.6%．其中296299亿用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】亿有14个位数，根据科学记数法要求表示为，
故选：B．
3. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，打陀螺是一项深受各民族群众喜爱的体育运动．如图是一个水平放置的木陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体）玩具，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】从从正面看到的图形是一个等腰三角形，和一个矩形，并且矩形在等腰三角形的正中间，即看到的图形如下：
故选：A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、，故A错误，不符合题意；
B、，故B正确，符合题意；
C、，故C错误，不符合题意；
D、，故D错误，不符合题意；
故选：B．
5. 如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】如图：
，，
，
，，
，
．
故选：A．
6. 为庆祝神舟十八号载人飞船的成功发射，某学校“鲲鹏”航天社团开展航天知识竞赛活动，经过筛选，决定从甲乙丙丁四名同学中选择一名同学代表，该社团参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示：
如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】丙、丁两名同学的平均数高于甲、乙两名同学的平均数，
丙的方差小于丁的方差，
∴丙同学的成绩好且状态稳定，
故选：C．
7. 已知为常数，且点在第二象限，则关于的一元二次方程 的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断
【答案】B
【解析】在第二象限，
，
，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
8. 二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像可能是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵二次函数图像开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0，b>0，
∴y=ax+b的图像经过一、二、四象限，与y轴交于正半轴，
∴选项C符合题意，
故选：C．
9. 如图1，正方形的边长为2，点E为边的中点，动点P从点A出发沿匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，当点在边上时，值先减小后增大，
当点在边上时，的值逐渐减小，
∴点的横坐标为的长度，纵坐标为的长度，
，
，
，
故选：C．
10. 如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，R 为光敏电阻，R的阻值随光照强度的变化而变化（如图2），射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法错误的是（ ）
A. 该图象不是反比例函数图象
B. R 随E的增大而减小
C. 当烟雾浓度增大时，电压表①示数变小
D. 当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大
【答案】C
【解析】A、该图象与纵轴相交，所以不是反比例函数图象，故本选项说法正确，不符合题意；
B、根据图象可知，R随E增大而减小，故本选项说法正确，不符合题意；
C、当烟雾浓度增大时，光照强度减小，电流减小，电阻变大，所以定值电阻两端的电压变小，而电源电压保持不变，电压表测光敏电阻R的电压，根据可知，电压表示数变大，故本选项说法错误，符合题意；
D、当光照强度增大时，电流变大，电阻变小，而电源电压保持不变，根据电路总功率可知，电路中消耗的总功率增大，故本选项说法正确，不符合题意．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 如果分式有意义，那么x的取值范围是________.
【答案】x≠-1
【解析】依题意得x+1≠0，解得x≠-1，
故填：x≠-1.
12. 不等式组 的最大整数解是________．
【答案】2
【解析】由，得：；
由，得：，
不等式组的解集为：；
最大整数解是2；
故答案为：2
13. 2024年3月31日，郑开马拉松赛在郑开大道郑东新区举行．本赛事某岗位还需要2名志愿者参与服务工作，共有4人参加了这一岗位的遴选，其中大学生2名，快递员1名，老师1名，2名大学生恰好被录取的概率是_________．
【答案】
【解析】用表示两名大学生，B表示快递员，C表示老师，
则列表如下：
由列表可知有12种等可能的结果数，其中2名大学生恰好被录取的有2种结果，
∴2名大学生恰好被录取的概率为：，
故答案为：．
14. 如图，把沿着直线向右平移至处，连接，若 ，则点 到的距离是________．
【答案】
【解析】，，
根据平移可得，，
∴，，
，
作 于点P， 作 于点Q，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15. 如图，四边形是边长为2的正方形，点E是的中点，连接，点 F是射线上的一个动点（不与点C重合），连接交于点M，若是以为腰的等腰三角形，则________．

【答案】或
【解析】情形一：当时，如图，

∴∵∴
∵∴
设与的交点为点P，则
又E为的中点，∴
设则
∴
在中，,
∴，解得，，∴
∵∴∴，
设则∴，
解得，∴；
情形二：当时，延长交的延长线于点N，作于点H，如图，

∵
∴
∴
∴
又
∴
又
∴
∴
∴
又
∴即
∵
∴
∴
∴
又
∴
∴
综上，的值为或2，
故答案为：或2
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：.
解：（1）原式；
（2）原式
．
17. 为庆祝中华人民共和国成立周年，某校举行了“中国近现代史”知识竞赛（百分制），为了解七、八年级学生的答题情况，从中各随机抽取了名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．七年级学生竞赛成绩的频数分布表
b．八年级学生竞赛成绩的扇形统计图：
c．八年级学生竞赛成绩在这一组数据是：，，，，，，，，，，，，，
d．七，八年级学生竞赛成绩的中位数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值， ， ；
（2）此次竞赛中，若抽取的一名学生的成绩为分，在他所在的年级，他的成绩超过了一半以上被抽取的学生的成绩，他是哪个年级的学生？请说明理由；
（3）该校八年级有名学生，估计八年级竞赛成绩分及分以上的学生共有多少人？
解：（1），
∵八年级调查人数为人，
∴八年级学生竞赛成绩的中位数是从小到大排序后的第人成绩和第人成绩的平均数，∵八年级的人数为：（人），
的人数为：（人），
∴八年级的人数为（人），
∴八年级从小到大排序后的第人成绩和第人成绩为中的第人和第人成绩，即和，
∴八年级学生竞赛成绩的中位数；
（2）他是七年级的学生，理由如下：
∵七年级学生竞赛成绩的中位数为，八年级学生竞赛成绩的中位数为，
∴七年级有一半的学生成绩不高于，八年级有一半的学生成绩不高于，
∴七年级超过有一半的学生成绩低于，而八年级不确定超过有一半的学生成绩低于，∴他七年级；
（3）（人），
即估计八年级竞赛成绩分及分以上的学生大约共有人．
18. 如图，直线和相交，交点分别为．

（1）请用无刻度的直尺和圆规过点作直线l的垂线（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）点是外一点，分别连接交于点，连接．（1）中所作垂线和交于点，若，且，求的度数．
解：（1）如图，直线即为所求，

（2）如图，连接，由（1）知，

，
，
对应的是，
，
，
，
．
19. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于两点，为常数．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式 的解集为 ；
（3）点为轴上一点，若的面积为1，请直接写出点的坐标．
解：（1）将点代入之中得，
反比例函数的解析式为；
将代入反比例函数之中得，
点的坐标为，
将点，代入之中得，解得，
一次函数的解析式为；
（2）由（1）知一次函数的图象与反比例函数 的图象交于两点，
过作轴的垂线，如图所示：
观察函数的图象可知当或时，一次函数的图象均在反比例函数的上方，
的解集为或；
（3）过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，如图所示：
，
，，，，
，
轴，轴，
四边形为直角梯形，
，
设点的坐标为，的面积为1，
①点在线段上，即，如图所示：
，
，，
，
，
，解得，
此时点的坐标为；
②当在延长线上时，即，如图所示：
，，则，
，
，则，
解得，
此时点的坐标为；
③当在延长线上时，即，如图所示：
，，则，
，
，则，解得，
由于，与当在延长线上时，即矛盾，此种情况不存在；
综上所述：点的坐标为或．
20. 实际应用
材料：太阳高度：太阳高度指太阳光线与地平面的夹角，记作H，当地地方时 12时的太阳高度称为正午太阳高度．一天中正午时太阳高度最大，日出和日落时太阳高度为．
H的计算公式：纬差（纬差是指某地的地理纬度与当日太阳直射点所在纬度的差值，特别地，南纬北纬地区的纬差为其数值之和）
例如，如图所示，C地的纬度为N，求C地夏至日（太阳直射北回归线N）的正午太阳高度？
解：夏至日太阳直射的纬度为，与C地的纬度差，那么
应用：
（1）深圳纬度约为N，一年中会有两次太阳直射，一般在每年的6月 18日和6月 26日两天，则当天正午太阳高度 （填角度）；冬至太阳直射南回归线 ，则当天正午深圳的太阳高度 （填角度）
（2）如图，小明家住在河南焦作（），一年中正午太阳光线与地平面夹角最小在冬至，约为，即，夹角最大在夏至，约为，即，测得他家窗高约为2.3m，即．如图所示的直角遮阳篷，在冬至能最大限度地使阳光射入室内，在夏至又能最大限度地遮挡炎热的阳光，请求出此遮阳篷两直角边的长度．（精确到0.1m，参考数据： ，
解：（1）正午太阳高度自直射点向南北两侧递减，题意可知，正午太阳高度纬差，
∴在每年的6月 18日和6月 26日两天，当太阳直射时，正午深圳当天正午太阳高度，
冬至太阳直射南回归线S，则当天正午深圳的太阳高度，
故答案为： ，.
（2）由题意可得，，，
在中， ，
①
在中， ，②
将②代入到①得：
∴
∴遮阳篷直角边约为， 约为．
21. 为了有效落实河南省教育厅颁布的《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》，某中学进行研学活动．在此次活动中，若每位老师带30名学生，则还剩7名学生没有老师带，若每位老师带31名学生，就会有一位老师少带1名学生．
（1）参加此次研学活动的老师和同学各有多少名？
（2）现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表所示．学校要求每位老师负责一辆车的组织工作，因此需按老师人数租车．甲、乙两种型号的客车各租几辆，学校租车总费用最少？并求出最少的费用．
解：（1）设参加此次研学活动的老师有x位，则参加此次研学活动的学生有y名，
根据题得： ，解得，
答：参加此次研学活动的老师有8名，学生有247名；
（2）设租用m辆甲型客车，则租用辆乙型客车，设租车的总费用为 W元
根据题意得：，
∴，
∵，
∴W随m增大而增大，
∴当时， ，
∴租甲型车3辆，乙型车5辆费用最少，最少是2800元．
22. 已知抛物线的顶点为D．
（1）若抛物线经过原点，求a的值及顶点D的坐标；
（2）在（1）的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为．
①图象的解析式 （写出自变量的取值范围）；
②若直线与图象M有3个交点，请直接写出m的取值范围．
解：（1）∵抛物线经过原点，
当时，，代入抛物线得：，，
∴抛物线的方程为：．
∴抛物线的对称轴方程为：，
把代入，得，
∴点坐标为．
（2）在（1）中抛物线的方程为：，
①当时函数的图象记为，
∴对应的函数解析式为：，且图象经过和原点，
将图象绕原点旋转，得到新图象，新图象与原图象成中心对称，
∴新图象对应函数的自变量的范围为：，且新图象经过点和原点，
∴图象的解析式为：．
②直线与图象有3个交点，分两种情况，
当直线与有2个交点且与有1个交点时，，
，
令，得，结合图象可得：，
同理，当直线与有1个交点且与有2个交点时，，
，
令，得，
结合图象可得：．∴．
23. 综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）如图1，将矩形纸片沿过点A 的直线折叠，使点 B落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为 ．
（2）如图2，矩形纸片的边长，用图1中的方法折叠纸片，折痕为，接着沿过点 D 的直线折叠纸片，使点 C落在上的点 处，折痕为．则 ， ．
（3）如图3，矩形纸片的长为，宽为，用图1的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点 F（不与点重合），沿折叠，点 C的对应点为延长交直线于点 G．
①判断与的数量关系，并证明；
②当射线经过的直角边的中点时，请直接写出的长．
解：（1）∵四边形是矩形，
，，
由折叠性质可得：，，
四边形是正方形，
故答案为正方形．
（2）由（1）知四边形为正方形，，
∵，，，
∵四边形是矩形，∴，
∵，∴，∴，
∵折叠，点C落在点处，
∴，，∴，
∵正方形，∴，
∴在中，，即，
∴,∴,
∵矩形，∴，∴,
∵，，∴，
故答案为；
（3）①，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴；
②∵四边形是矩形，
∴，
由（1）知四边形，均为正方形，
∴，
由折叠得，，,
若过中点，即G为中点，
∴，
∴,
在中，,
∴；
若过中点M，连接，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
设，
∴，
在中，，
即，
解得，
即，
综上，的长为或．
甲
乙
丙
丁
平均数
96
96
98
98
方差
1.0
0.4
0.2
0.6
B
C
B
C
成绩
频数
频率
合计
中位数
七年级
八年级

甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320