河南省南阳市方城县2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)

这是一份河南省南阳市方城县2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列式子是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.是整式，不是分式，不符合题意；
.整式，不是分式，不符合题意；
.是整式，不是分式，不符合题意；
.是分式，符合题意；
故选：．
2. 纳米是表示微小距离的单位，1纳米毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管——直径纳米．纳米相当于毫米，数据用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
故选：D．
3. 在平面直角坐标系中，点落在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】∵点，，
∴点落在第三象限．故选：C．
4. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
故选：A．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 平行四边形是轴对称图形B. 平行四边形的邻边相等
C. 平行四边形的对角线互相垂直D. 平行四边形的对角线互相平分
【答案】D
【解析】A. 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误，
B. 平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误，
C. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误，
D. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确．
故选D．
6. 已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（ ）

A. ， B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】由图可知该一次函数图象经过第一、三、四象限，
则，．
故选：B．
7. 某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设慢车的速度是，则快车的速度为，
依题意得，
故选：B．
8. 如图，O是坐标原点，平行四边形的顶点A的坐标为，顶点C在轴的负半轴上，反比例函数的图像经过顶点B，则平行四边形的面积为（ ）
A. 27B. 18C. 15D. 12
【答案】C
【解析】如图，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，

∵四边形是平行四边形，
∴轴，
∴直线轴，
∴B、A、D三点共线，
∵，
∴四边形是矩形，
∵函数的图象经过顶点B，
∴，
∵平行四边形的顶点A的坐标为，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故选C．
9. 如图，四边形和均为平行四边形，边，相交于点P，边，在同一直线上，当点P从点C出发向点D运动时（点P不与点C，D重合），则的面积与的面积差的变化情况是（ ）

A. 先变小后变大B. 先变大后变小C. 一直变小D. 一直不变
【答案】D
【解析】连接，

∵四边形和均为平行四边形，
∴，，
∵边，相交于点P，边，在同一直线上，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴当点P从点出发向点运动时，的面积与的面积差一直不变．
故答案为：D．
10. 小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系．已知小明购物用时，从商场返回家的速度是从家去商场速度的倍，则的值为（ ）

A. 46B. 48C. 50D. 52
【答案】D
【解析】
设小明从家去商场的速度为，则他从商场返回家的速度为，
根据题意得：，
解得：，
故选：D．
二、填空题
11. 在函数中，自变量x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】分式中分母不能为，
，
，
故答案为：．
12. 如图，的顶点、分别在直线，上,,若，，则________．
【答案】
【解析】过点作，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13. 如图是某种杆秤．在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，点为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点，秤杆处于平衡．秤盘放入克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提扭的距离为毫米时秤杆处于平衡．测得与的几组对应数据如下表：
由表中数据规律可知，当克时，________毫米．

【答案】50
【解析】由表格可得，物品每增加2克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加4毫米，则物品每增加1克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加2毫米，
当不挂重物时，秤砣所挂位置与提扭的距离为10毫米，
∴y与x的函数关系式为，
当时，，
故答案为：50．
14. 已知关于的分式方程 的解是非正数，则 的取值范围是_____．
【答案】且
【解析】去分母，得，解得：，
∵，∴，∴，
∵，即，∴，∴且，
故答案为：且．
15. 如图，在中，，，是所在平面内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的长为_________．
【答案】2或
【解析】①如图，若为边，是对角线，
四边形是平行四边形，且，，
，
②若，为边，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
③若，为边，
是平行四边形，
，
故答案为2或.
三、解答题
16. （1）计算：
（2）化简：
解：（1）
（2）
17. 因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.

（1）求与x之间的函数解析式；
（2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
解：（1）当时，设，
将代入，得，
∴，
∴；
当时，设，将点，代入，得
，解得，
∴
（2）当时，，解得；
当时，，解得，
∵，
∴选甲家商店能购买该水果更多一些．
18. 如图，在中，AB>AD．
（1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结论．
解：（1）如图所示：E，F即为所求；
（2）△CDP是直角三角形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC．
∴∠CDE=∠AED，∠ADC+∠BCD=180°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED．
∴∠CED=∠ADE=∠ADC．
∵CP平分∠BCD，
∴∠DCP=∠BCD，
∴∠CDE+∠DCP=90°．
∴∠CPD=90°．
∴△CDP是直角三角形．
19. 一次函数的图象与轴交于点A，且经过点．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）直接在如图所示的平面直角坐标系中画出一次函数的图象；
（3）点P在x轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标．
解：（1）把代入，得 解得，
∴点A的坐标为
把代入，得
，解得，∴点B的坐标为
（2）过点A，B画出一次函数的图象如图所示．

（3）分别以点A和点B为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的正半轴于点P，可求
，
，
若以A为顶点，则，
若以B为顶点，则，
过点B作，为等腰三角形，
，
，
P的坐标为：，
20. 如图，在平行四边形中，对角线和交于O点，点E，F在对角线上，，平分．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，求的长．
解：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
21. 随着“双减”政策的落实，中学生有了更多的课余时间进行户外运动，为此某校决定购买一批体育器材，已知足球的单价比排球的单价多30元，且用500元购得排球，排球的数量与用800元购得足球的数量相同．
（1）排球，足球的单价各是多少元．
（2）若该校准备购买排球和足球共11个，且足球不少于2个．设购买排球和足球所需费用为y元，排球有x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种费用最少的购买方案，写出最少费用．
（1）解：设排球的单价为a元，则足球的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验是分式方程的解且符合题意，
∴，
答：排球的单价为50元，足球的单价为80元．
（2）解：根据题意，得，
∵，解得，
在中，，
∴y随的增大而减小，
∴当时，取得最小值，，
此时，
即费用最少的购买方案为：购买排球9个，足球2个，最少费用为610元．
22. 如图1，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为，点B的坐标为．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连结，，求的面积；
（3）如图2，点是x轴上的一个动点，过点T作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当在的上方时，请直接写出的取值范围．
（1）解：把代入一次函数得，
，
解得：，
一次函数的解析式为：，
把代入反比例函数得，
，
解得：，
反比例函数的解析式为：；
（2）解：如图，分别过点A、B作轴于点D，轴于点E，

把代入得
；
，，
设直线与轴交于点，
当时，，解得：，
，，
∴
；
（3）解：如图，

由图象可得：当在的上方时，的取值范围为：或．
23. 中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接．
（1）若，
①如图①，当点E在线段上时，易证，结合图形，请直接写出线段，，的数量关系是 ；（不需说明理由）
②如图②，当点E在线段的延长线上时，请写出线段，，的数量关系，并证明；
（2）如图③，若，当点E在线段延长线上时，猜想并直接写出线段，，的数量关系是 ．（不需说明理由）
（3）在（1）、（2）的情况下，若，，则_______．（不需说明理由）
解：（1）①，证明如下：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即；
②线段，，的数量关系是：，
证明：∵
∴，
∵，
∴，
∴
∴
由旋转可知：，，
∴，
∴
在和中
，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
∵，
∴．
（2），证明如下：
∵
∴，
∵，
∴，，
∴
∴
由旋转可知：，，
∴，
∴
在和中
，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
∵，
∴．
（3）如图①，∵四边形是平行四边形，
∴，∴
∵
∴
中，，，
由，得；
如图②，，则，
中，，
∴，与矛盾，故图②中，不存在，的情况；
如图③，
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵
∴
中，，
∴
由知，．
综上，或7．
/克
0
2
4
6
10
/毫米
10
14
18
22
30