河南省郑州市2024年九年级中考模拟预测(四)数学试卷(解析版)

这是一份河南省郑州市2024年九年级中考模拟预测(四)数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A. ，故A选项不符合题意；
B. ，故B选项不符合题意；
C. ，故C选项不符合题意；
D. 是最简二次根式，符合题意，
故选D.
2. 一次抽奖活动特等奖的中奖率为,把用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】0.00002=2×10﹣5．故选D．
3. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，，
又∵，，
∴，
故选：C．
4. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
5. 如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交干点，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设与交点为，如下图：

由题意可得：，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
由勾股定理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
所以，
故选：B．
6. 二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意．
故选A．
7. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵绕点顺时针旋转得到，
∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，
∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=，
∴选项A、C不一定正确，
∴∠A =∠EBC，
∴选项D正确．
∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于，
∴选项B不一定正确；
故选D．
8. 如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题意：，，
∴，
∴四边形OACB是菱形，
∴，
连接OC，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
同理：等边三角形，
故，
由三线合一，在中：，
，
，
，
，
，
故选：B.
9. 如图，在正方形ABCD中，，M是AD边上的一点，．将沿BM对折至，连接DN，则DN的长是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】如图，延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作，
∵，M是AD边上的一点，，
∴，，
∵将沿BM对折至，四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴(HL)，
∴，
∴，
在中，设，则，
根据勾股定理可得，解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
10. 如图，长方形的各边分别平行于轴或轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第次相遇地点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵ 矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，
∴物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知：
①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8，在BC边相遇；
②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇；
③第三次相遇物体甲与物体乙行路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×=12，物体乙行的路程为12×3×=24，在A点相遇；
…
此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
∵2012÷3=670…2，
故两个物体运动后的第2012次相遇地点的是：第二次相遇地点，即物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇，
此时相遇点的坐标为：（-1，-1），
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 已知反比例函数，当时，y的取值范围为____.
【答案】
【解析】∵当时，.
∴反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴y的取值范围是.
12. 若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是____．
【答案】m＜6且m≠2.
【解析】，
方程两边同乘（x-2）得，x+m-2m=3x-6，
解得，x=，
由题意得，＞0，
解得，m＜6，
∵≠2，∴m≠2，∴m＜6且m≠2
13. 盒子里有4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字2，3，4，5，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的概率是________．
【答案】
【解析】根据题意，画树状图如下：
由树状图得：共有12种等可能结果，两次抽到卡片上的数字之和为偶数的结果有4种，
∴两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率为．
14. 如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 _____．
【答案】
【解析】根据题意，选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，
则选取点B为坐标原点时的抛物线相当于把原抛物线向左平移12个单位．
∵原抛物线的顶点为（6，4），
∴根据平移的性质，平移后的抛物线的顶点为（，4），
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是．
故答案为：.
15. 如图，等边三角形的边长为2，以为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为________.

【答案】
【解析】过作于，于，
等边三角形的边长为2，，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积
.
三、解答题（8小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）计算：．
（3）先化简，再求值：，其中．
解：（1）
；
（2） ；
（3），
当时，原式．
17. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，．
（1）求证：四边形AOBE是菱形；
（2）若，，求菱形AOBE的面积．
（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AOBE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA=OB，
∴四边形AOBE是菱形；
（2）解：作BF⊥OA于点F，
∵四边形ABCD是矩形，AC=4，
∴AC=BD=4，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA=OB=2，
∵∠AOB=60°，
∴BF=OB•sin∠AOB=，
∴菱形AOBE的面积是：OA•BF==．
18. 如图，直线与反比例函数的图象相交于点，，已知点的纵坐标为6.
（1）求的值；
（2）若点是轴上一点，且的面积为3，求点的坐标．
解：（1）∵直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点A的纵坐标为6，∴，x=2，
∴A(2,6)，
∴，b=9；
（2），即，∴x=2(舍去)，或x=4，∴，
∴B(4,3)，
设C(x,0)，直线与x轴交点为D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
则AE=6，BF=3，
时，x=6，
∴D(6,0)，
∴，
∴
，
∵，
∴，，
∴x=4，或x=8，
∴C(4,0)，或C(8,0)．
19. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．
如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．

某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为．
（1）求的长；
（2）设塔的高度为h（单位：m）．
①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）；
②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）．
解：（1）在中，，
∴．
即的长为．
（2）①在中，，
∴．
在中，由，，，
则.
∴．
即的长为．
②如图，过点作，垂足为．
根据题意，，∴四边形是矩形．
∴，．可得．
在中，，，
∴．即．
∴．
答：塔的高度约为．
20. 如图，在中，AB为的直径，直线DE与相切于点D，割线于点E且交于点F，连接DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：．
（1）证明：连接OD，如图所示，
∵直线DE与⊙O相切于点D，AC⊥DE，
∴∠ODE=∠DEA=90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠DAC=∠OAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）证明：连接OF，BD，如图所示，
∵AC⊥DE，垂足为E，AB是⊙O的直径，
∴∠DEF=∠ADB=90°，
∵∠EFD+∠AFD=180°，∠AFD+∠DBA=180°，
∴∠EFD=∠DBA，
∴△EFD∽△DBA，
∴，
∴DB•DF=EF•AB，
由（1）知，AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠DAB，
∴DF=DB，
∴DF2=EF•AB．
21. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元．
则，
解得：，经检验是方程的解．
∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
（2）由题意得，当时，每天可售100盒．
当猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒．每盒的利润为()
∴
，
配方得：，
当时，y取最大值为1750元．
∴，最大利润为1750元．
答：y关于x的函数解析式为，且最大利润为1750元．
22. 如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)．
（1）求的值和抛物线顶点的坐标；
（2）求直线的解析式．
解 （1）∵抛物线过点A(2，0)，
，解得，
,
∴顶点M的坐标是(1，-2)；
（2）设直线AM的解析式为，
∵图象过A(2，0)，M (1，-2)，
，解得，
∴直线AM的解析式为．
23. 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，写出图1中一个的角：______．
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接．
①如图2，当点在上时，______°，______°；
②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．
解：（1），
，
，，
，
，
，
，
故答案为：（或）．
（2）四边形是正方形，
，，
由折叠性质得：，，
，
①，
∴，
，
，
，
故答案为：，．
②，理由如下：
四边形是正方形，
，，
由折叠可得，，
，，
，
，
；
（3）当点在点的下方时，如图，
，
，，
由（2）可知，，
设
，
即，
解得：，
∴；
当点在点的上方时，如图，
，
，，
由（2）可知，，
设，
，
即，
解得：，
∴．
综上所述，或．