2025届高中数学一轮复习专题练 导数及其应用

这是一份2025届高中数学一轮复习专题练 导数及其应用，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知函数在处取极值10，则( )
A.4或B.4或C.4D.
2．已知函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
3．若，则“”成立是“”成立的( )条件
A.充分不必要B.必要不充分
C.充要D.既不充分也不必要
4．下列导数运算正确的是( )
A.B.
C.D.
5．已知，，，则( )
A.B.C.D.
6．已知0为函数的极小值点，则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．设是可导函数，且，则( )
A.2B.C.D.
8．已知函数,则的极小值为( )
A.2B.C.D.
二、多项选择题
9．若函数既有极大值也有极小值，则( )
A.B.C.D.
10．下列函数中,是增函数的是( )
A.B.
C.D.
11．关于x的不等式在上恒成立,则( )
A.B.C. D.
三、填空题
12．已知函数在区间上不单调,则m的取值范围是________.
13．已知，函数恒成立，则a的最大值为________.
14．函数在处的切线方程为________.
四、解答题
15．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.
（1）若，，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？
16．已知函数.
（1）若,求曲线在点处的切线方程;
（2）讨论的单调性.
17．已知函数．
(1)讨论函数的单调性;
(2)已知函数有两个零点,求实数a的取值范围．
18．已知函数.
（1）当时,求曲线在点处的切线方程;
（2）讨论的单调区间.
19．设函数.
（I）求曲线.在点处的切线方程；
（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围
参考答案
1．答案：C
解析：函数在处取极值10，
，
且，
解得，或，，；
，时：，
根据极值的定义知道，此时函数无极值；
，时，，
令得或，符合条件；
.
故选：C.
2．答案：C
解析：由题意知，问题等价于在区间上有解，
即有解，而，
由二次函数的性质知，即.
故选：C.
3．答案：D
解析：设函数，可得恒成立，
所以在R上为增函数，由，所以，可得.
又“”无法推得“”，“”也无法推得“”，
所以“”成立是“”成立的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4．答案：C
解析：因为,,,.
故选：C.
5．答案：B
解析：由题意，，，
下面先证明，设函数，则，
当时，，在内单调递增，
当时，，在内单调递减，
所以，所以当时，，
设，，令，则，
所以，
所以①，
所以，即.
再设，，
又由①知，所以在内单调递减，所以，
所以，
所以，即，所以.
综上，.
故选：B.
6．答案：A
解析：，令的导函数为.
若，，在R上单调递增，且，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，符合题意.
若，当时，，在上单调递增，
因为，，所以当时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意.
若，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，不符合题意.
若，当时，，，
可得时，，时，，
所以在递增，在上单调递减，不符合题意.
综上，a的取值范围是.
故选：A
7．答案：B
解析：，
故选：B
8．答案：D
解析：函数的定义域为,
因为
所以,
令,则,解得或(舍),
由此表可知,当时,的取得极小值为.
故选:D.
9．答案：BCD
解析：因为函数，所以函数的定义域为，.因为函数既有极大值也有极小值，所以关于x的方程有两个不等的正实根，，则即所以故选BCD.
10．答案：ACD
解析：对于A,易知的定义域为R,是由函数和组成,
易知为单调递增函数,为单调递增函数,因此A正确;
对于B,函数定义域为,
根据反比例函数性质可得在和上分别单调递增,但不是增函数,即B错误;
对于C,易知的定义域为R,由幂函数性质可得其在定义域内单调递增,即C正确;
对于D,函数的定义域为R,则恒成立,
所以函数在定义域内单调递增,即D正确.
故选：ACD.
11．答案：BC
解析：由,可得.
记,,
令,,则,
令,则恒成立,
所以在上单调递增且,所以当时,,所以,
当且仅当时,等号成立.又,,且,从而为与在处的公切线时,才能使原不等式恒成立,此时,.
12．答案：
解析：由题意知,
因为在区间上不单调,即在区间有变号零点,又,所以,,,
所以在区间内,
所以,解得,即m的取值范围是.
故答案为:.
13．答案：7
解析：当a为正偶数时，
当时，，不符合题意，所以a为正奇数，
则当时，恒成立，
只需研究时，恒成立即可，
当时，成立，
则当时，,因为此时小于0，所以恒成立，
当时，恒成立，
设,，则，
令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，又因为a为正奇数，
所以a的最大值为7.
故答案为：7
14．答案：
解析：由得，
，，
即函数在处切线的斜率为2，
函数在处切线的方程为，即.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由知.因为，
所以正四棱锥的体积；
正四棱柱的体积.
所以仓库的容积.
（2）设，，则，.
如图，连接.
因为在中，，
所以，即.
仓库的容积，
其中，从而.
令，得或（舍），
当时，，当时，，
故当时，V取得极大值，也是最大值.
所以当时，仓库的容积最大.
16．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）若,则,所以,
所以,又,
所以曲线在点处的切线方程为,
即.
（2）,
当时,令,解得,
令,解得,
所以在上单调递减,在上单调递增;
当时,令,解得或,
令,解得,
所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
当时,由在上恒成立,
所以在上单调递增,
当时,令,解得或,
令,解得,
所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
综上,当时,在上单调递减,在上单调递增;
当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
当时,在上单调递增;
当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
17．答案：(1)答案见解析
(2)
解析：(1)函数的定义域为R,.
当时,由可得,由可得,
此时函数的减区间为,增区间为;
当时,由可得,由可得,
此时,函数的增区间为,减区间为.
综上所述,当时,函数的减区间为,增区间为;
当时,函数的增区间为,减区间为.
(2)函数的定义域为,
因为函数在上有两个零点,即有两个不同的正实数根,
即有两个不同的正实数解,
即有两个不同的正实数解,
令,则,可得,
令,其中,则,
所以,函数在上单调递增,作出函数的图象如下图所示：
由图可知,函数的值域为R,所以,,
令,其中,则,
当时,,此时函数单调递增,
当时,,此时函数单调递减,
且当时,;当时,,
因为函数有两个不同的零点,则直线与函数的图象有两个交点,如下图所示：
由图可知,当时,即当时,直线与函数的图象有两个交点,
因此,实数a的取值范围是.
18．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）当时,则,,
可得,,
即切点坐标为,切线斜率为,
所以切线方程为,即.
（2）由题意可知:的定义域为R,且,
（i）若,则,
令,解得;令,解得;
可知在内单调递减,在内单调递增;
（ⅱ）若,令,解得或,
①当,即时,
令,解得或;令,解得;
可知在内单调递减,在内单调递增;
②当,即时,则,可知在R内单调递增;
③当,即时,
令,解得或;令,解得;
可知在内单调递减,在内单调递增;
综上所述:若,的单调递减区间为,单调递增区间为;
若,的单调递减区间为,单调递增区间为,;
若,的单调递增区间为R,无单调递减区间;
若,的单调递减区间为,单调递增区间为,.
19．答案：（1）；
（2）
解析：（I）由，得.
因为，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（II）当时，，
所以.
令，得，解得或.
与在区间上的情况如下：
所以，当且时，存在，，
，使得.
由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点.
x
2
－
0
＋
单调递减
极小值
单调递增
x
+
0
-
0
+
c