2025届高中数学一轮复习专题练 排列、组合与二项式定理

这是一份2025届高中数学一轮复习专题练 排列、组合与二项式定理，共9页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．二项式的展开式中的常数项为( )
A.480B.240C.120D.15
2．一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当,时称为“凹数”（如213,312等）,若,且a,b,c互不相同,则这个三位数为“凹数”的概率为( )
A.B.C.D.
3．在的展开式中,含的项的系数为( )
A.15B.-15C.270D.
4．在的展开式中，的系数为( )
A.B.C.40D.80
5．在的展开式中,含的项的系数是7,则( )
A.1B.2C.3D.4
6．展开式中项的系数为( )
A.42B.35C.7D.1
7．在高考的任一考场中，都安排6行5列共30名考生，考号机选，考场使用A卷和B卷两种答卷以防作弊，且每名考生拿到A卷和B卷都是均等的，且相邻考生答卷不相同，甲乙两名同学在同一考场，已知甲乙同列的情况下，则他们都拿到卷的概率( )
A.B.C.D.
8．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答解题思路，5名同学可能的名次排列情况种数为( )
A.44B.46C.48D.54
二、多项选择题
9．某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人,女生3人,则下列说法正确的是( )
A.从中选2人,1人做正组长,1人做副组长,共有100种不同的选法
B.从中选2人参加数学竞赛,其中男、女生各1人,共有21种不同的选法
C.从中选1人参加数学竞赛,共有10种不同的选法
D.若报名参加学校的足球队、羽毛球队,每人限报其中的1个队,共有100种不同的报名方法
10．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则( )
A.三次骰子后所走的步数可以是12
B.三次骰子的点数之和只可能有两种结果
C.三次骰子的点数之和超过10的走法有6种
D.回到点A处的所有不同走法共有27种
11．若，则x的值可能为( )
A.3B.4C.5D.6
三、填空题
12．的展开式中的常数项为_____.
13．二项式的展开式中的常数项为________.
14．在展开式中的系数为,则a的值为________.
四、解答题
15．已知6件不同的产品中有2件次品，4件正品，现对这6件产品一一进行测试，直至确定出所有次品则测试终止.（以下请用数字表示结果）
（1）若恰在第2次测试时，找到第一件次品，且第4次测试时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试情况？
（2）若至多测试4次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？
16．有多少个正约数？有多少个正奇约数？
17．现有9件产品,其中4件一等品,3件二等品,2件三等品,从中抽取3件产品.
(1)试问共有多少种不同的抽法?
(2)抽出的3件产品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少种?
(3)抽出的3件产品中至少有1件二等品的抽法共有多少种?
18．某次介绍会需要安排6个产品的介绍顺序,其中3个产品来自A公司,2个产品来自B公司,1个产品来自C公司.
(1)求B公司的2个产品的介绍顺序相邻的方案数;
(2)求同一个公司产品的介绍顺序不相邻,C公司的产品既不是第一个介绍,也不是最后一个介绍的方案数.
19．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，
（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记，取一个白球记，从中任取5个球，使总分不少于的取法有多少种？
参考答案
1．答案：B
解析：因为.故选B.
2．答案：C
解析：试题解题思路：由于,且a,b,c互不相同,故可得个三位数.若,则“凹数”有：213,214,312,314,412,413共6个;若,则“凹数”有：324,423共2个.所以这个三位数为“凹数”的概率为有.
3．答案：A
解析：设二项展开式的第项为：,
由.
所以含的项的系数为：.
故选：A.
4．答案：A
解析：由二项式的通项为可得，
当，即时，展开式中含有项，
此时，
因此的系数为.
故选：A.
5．答案：D
解析：由题意可知展开式中含的项:
,
故选:D.
6．答案：A
解析：的展开式通项为，
因为，
在中，令，可得项的系数为；
在中，令，得，可得项的系数为.
所以，展开式中项的系数为.
故选：A.
7．答案：A
解析：由于甲乙同列，则甲乙的座位选择有种，若甲乙拿到A卷时，甲乙的座位选择有种，故概率为,
故选：A
8．答案：B
解析：解法一：多重限制的排列问题：
甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是最后一名，即甲的限制最多，故以甲为优先元素分类计数，
甲的排位有可能是第二、三、四3种情况：
①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有种排法，则有；
②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有种排法，则有；
③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2种排法，丙不排第二位，有2种排法，余下2人有种排法，则有；
综上，该5名同学可能的名次排情况种数为..种.
解法二：间接法：
甲不排首尾，有三种情况，再排乙，也有3种情况，包含丙的余下3人有种排法，共有种不同的情况；
但如果丙是第二名，则甲有可能是第三、四名2种情况；再排乙，也有2种情况；余下2人有种排法，故共有种不同的情况；
从而该5名同学可能的名次排情况种数为种.
故选：B.
9．答案：BC
解析：对于A,选1人做正组长,1人做副组长需要分两步,
先选正组长有10种选法,再选副组长有9种选法,则共有种不同的选法,故A错误;
对于B,从中选2人参加数学竞赛,其中男、女生各1人,则共有种不同的选法,故B正确;
对于C,选1人参加数学竞赛,既可以选男生,也可以选女生,则共有种不同的选法,故C正确;
对于D,每人报名都有2种选择,共有10人,则共有种不同的报名方法,故D错误.
故选：BC.
10．答案：BCD
解析：A、B：由题意知正方形（边长为2个单位）的周长是8，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的表示三次骰子的点数之和是8，16，故A错误，B正确；
C、D：列举出在点数中三个数字能够使得和为8，16的125，134，116，224，233，466，556，
共有7种组合，前2种组合125，134，每种情况可以排列出种结果，共有种结果；，116，224，233，466，556各有3种结果，共有种结果，其中点数之和超过10的走法为466，556，共有种，故C正确；根据分类计数原理知共有种结果，故D正确；
故选：BCD.
11．答案：BD
解析：由，知或，所以或，
故选：BD.
12．答案：
解析：的展开式的通项公式，
当即时，
故的展开式中的常数项为252.
故答案为：252
13．答案：280
解析：二项式的展开式中的常数项为.
故答案为：280.
14．答案：
解析：因为展开式的通项为,,1,2,3,4,5,
令,解得,
因为的系数为,解得.
故答案为:.
15．答案：（1）24
（2）114
解析：（1）需测试4次，按顺序可看作为4个位置，
两件次品置于第二，四位，有放法数；
其余二个位置放二个正品，有放法数
由乘法原理方法数为：种不同的测试情况；
（2）至多4次可分为恰好2次，恰好3次，恰好4次找到所有次品，
恰好2次，即前2次测试都是次品，方法数为；
恰好3次，即第3次是次品，前2次中有1次是次品，方法数为；
恰好4次，即第4次是次品，前3次中有1次是次品，方法数为；
也可以是前四次全是正品，方法数为，
故共有种不同的测试情况.
16．答案：有120个正约数，24个正奇约数.
解析：因为，
所以的每个约数都可以写成的形式，其中，，，，且i，j，k，，
所以的正约数的个数为个；
的正奇约数的个数为个.
17．答案：(1)84
(2)24
(3)64
解析：(1)从9件产品中抽取3件产品共有种;
(2)从9件产品中抽取3件产品,其中一等品、二等品、三等品各1件有种;
(3)“抽出的3件产品中至少有1件二等品”的对立事件是“抽取的3件产品没有一件二等品”,
因此抽出的3件产品中至少有1件二等品共有种.
18．答案：(1)240
(2)96
解析：(1)将B公司的2个产品的介绍顺序捆绑在一起,
与其他4个产品进行全排列,共有种,
故B公司的2个产品的介绍顺序相邻的方案数有240种;
(2)先排A公司的3个产品有种排法,
由于同一个公司产品的介绍顺序不相邻,故分两类情况：
一是B公司的2个产品和C公司的1个产品都在A公司的3个产品之间,
即B公司的2个产品中的1个和C公司的1个产品相邻,
共有种排法,
二是B公司的2个产品中的1个和C公司的1个产品在A公司的3个产品之间,
另一个在第一个或最后一个,共有,
所以共有种方案.
19．答案：（1）115
（2）186
解析：（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，有红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，共3种情况，
红球4个，取法有1种，
红球3个和白球1个，取法有种；
红球2个和白球2个，取法有种；
根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有种.
（2）使总分不少于情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.
第一种，4红1白，取法有种；
第二种，3红2白，取法有种，
第三种，2红3白，取法有种，
根据分类计数原理，总分不少于的取法有.