2025届高中数学一轮复习专题练 概率与统计

这是一份2025届高中数学一轮复习专题练 概率与统计，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是( )
A.B.
C.D.
2．2023贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看.小明家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为和.如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为.若小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为( )
A.B.C.D.
3．随机变量X服从若,则下列选项一定正确的是( )
A.B.
C.D.
4．某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如表：
现已求得上表数据的回归方程中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为102分钟，则m的值为( )
A.28B.29C.30D.32
5．学校开设了游泳选修课.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关，在全校学生中选取了男、女生各n人进行调查，并绘制如下图所示的等高堆积条形图.则( )
参考公式及数据：，其中.
A.参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多
B.全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多
C.若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关
D.若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关
6．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为( ).
A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等
7．在一个不透明箱子中装有10个大小､质地完全相同的球,其中白球7个,黑球3个.现从中不放回地依次随机摸出两个球,已知第二次摸出的是黑球,则第一次摸出的是白球的概率为( )
A.B.C.D.
8．如图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率为，则从A到B这部分电源能通电的概率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次，收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）( )
A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D.当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
10．甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试（满分100分），考后分别以、的方式赋分，其中，分别表示甲、乙两班原始考分，，分别表示甲、乙两班考后赋分.已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则( )
A.甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高
B.甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高
C.甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数
D.若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的原始分数高
11．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球.表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是( )
A.，B为互斥事件B.
C.D.
三、填空题
12．已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为________.
13．某高校的入学面试中有3道难度相当的题目,李华答对每道题目的概率都是,若每位面试者共有三次机会,一旦某次答对抽到的题目,则面试通过,否则就一直抽题到第3次为止,假设对抽到的不同题目能否答对是独立的,则李华最终通过面试的概率为_______________.
14．某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查,共调查了个人,得到如下列联表:
已知,若根据的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”,则n的最小值为________.
四、解答题
15．某工厂统计了某产品的原材料投入x（万元）与利润y（万元）间的几组数据如下：
（1）根据经验可知原材料投入x（万元）与利润y（万元）间具有线性相关关系，求利润y（万元）关于原材料投入x（万元）的线性回归方程；
（2）当原材料投入为100万元时，预估该产品的利润为多少万元？
附：，.
16．某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.
(1)求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率;
(2)若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以2:0领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率.
17．小王某天乘坐火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率;
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率;
（3）这三列火车恰有一列火车正点到达的概率.
18．假期中,来自沿海城市的小明和小强去四川旅游,他们发现自己带的小面包的包装袋鼓了起来.原来随着海拔升高,气压也随之降低,包装袋内的气压大于外面气压,从而使得面包袋鼓了起来.研究发现在一定范围内大气压与海拔高度是近似线性的关系.
(1)利用线性回归解题思路求y与x之间的线性回归方程;（的值精确到0.001）
(2)小明和小强打算去九寨沟,可以利用(1)中的方程,估计九寨沟A景点（海拔2800m）的大气压.（精确到0.01）
附：①对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：,.
②参考数据：,.
19．某校为了培养学生数学学科的核心素养，组织了数学建模知识竞赛，共有两道题目，答对每道题目得10分，答错或不答得0分.甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，各题答题结果互不影响.已知第一题至少一人答对的概率为.
（1）求p的值；
（2）求甲、乙得分之和为30分的概率.
参考答案
1．答案：C
解析：正态分布的正态密度曲线关于直线对称，
可得图中阴影部分可表示为，故选项A，B正确；
对C：由对称性可得，故选项C错误；
对D：由对称性可得，
所以图中阴影部分面积可表示为，故选项D正确.
故选：C.
2．答案：D
解析：设小明第一天去甲影院为事件A，第二天去甲影院为事件B，小明第一天去乙影院为事件C，第二天去乙影院为事件D.
故，，，，
由，可得，，
故，
则小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为.
故选：D
3．答案：C
解析：因为
由正态分布的对称性,可得,正态分布方差无法判断,
,,
所以ABD错误.
故选::C
4．答案：C
解析：由题意可知:，
且当时，，解得，
可知，
又因为，，
可知点在上，
即，解得.
故选:C.
5．答案：D
解析：对于A，由等高堆积条形图可知，参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数少，故A错误；
对于B，全校学生中男生和女生人数比不确定，故不能确定全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多，故B错误；
对于C，结合等高堆积条形图可得：
故，
若，则，
故依据的独立性检验，不可以认为游泳运动的喜好和性别有关，故C错误；
对于D，若，则，
依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关，故D正确.
故选：D
6．答案：C
解析：掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，
事件A与B能同时发生，故事件A与B既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误；
，，，，
因为，所以A与B独立，故选项C正确；
事件A与B不相等，故选项D错误.
故选：C.
7．答案：B
解析：设第一次摸出白球为事件,第二次摸出黑球为事件,则第一次摸出黑体为事件.因为,所以.
故选B.
8．答案：A
解析：从A到B电路不能正常工作的概率为
，
所以从A到B电路能正常工作的概率为.
故选：A.
9．答案：ABD
解析：对于A选项，采用单次传输方案，依次发送1，0，1，依次收到1，0，1的概率为，所以A选项正确.
对于B选项，采用三次传输方案，发送1，依次收到1，0，1的概率为，所以B选项正确.
对于C选项，采用三次传输方案，发送1，依次收到1，1，1（即译码为1）的概率为；发送1，依次收到1，0，1（即译码为1），0，1，1（即译码为1），1，1，0（即译码为1）的概率为，于是译码为1的概率为，所以C选项不正确.
对于D选项，采用三次传输方案，发送0，依次收到0，0，0（即译码为0）的概率为；发送0，依次收到0，0，1（即译码为0），0，1，0（即译码为0），1，0，0（即译码为0）的概率为，于是译码为0的概率为.采用单次传输方案，发送0，译码为0的概率为.依题意，有，，即，.令函数，，则在上恒成立，所以D选项正确.故选ABD.
10．答案：ACD
解析：对AB，由题知，，，
因为，，
所以，，，，
解得，，，，
所以，，故A正确，B错误；
对C，因为，，
所以，即，所以C正确；
对D，作出函数，的图象，如图所示：
由图可知，当时，有，
又因为单调递增，所以当时必有，D正确.
故选：ACD
11．答案：BD
解析：A选项:显然不成立；
B选项:当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，
，B选项正确；
D选项:当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，
，，D选项正确；
C选项:，C选项不正确.
12．答案：/0.5
解析：从5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出不再放回，
设事件A：第1次抽到代数题，事件B：第2次抽到几何题，
则，，
所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为.
故答案为：.
13．答案：
解析：依题意,李华3道题都没有答对的概率为,
所以李华最终通过面试的概率为.
故答案为：.
14．答案：3
解析：,
所以根据的独立性检验认为是不是社交电商用户与性别有关,则n的最小值为3.
故答案为:3.
15．答案：（1）
（2）原材料投入为100万元时，预计该产品的利润为1160万元.
解析：（1）设利润y（万元）关于原材料投入x（万元）的线性回归方程为，
由已知，
，
，
，
所以，，
所以利润y（万元）关于原材料投入x（万元）的线性回归方程为；
（2）由（1）当时，，
所以当原材料投入为100万元时，预计该产品的利润为1160万元.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)设每一轮罚球中，甲队球员罚进点球的事件为A，未罚进点球的事件为;乙队球员罚进点球的事件为B，未罚进点球的事件为.
设每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的事件为C，由题意，得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球，或甲、乙均罚进点球，
则，
故每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率为.
(2)因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分，即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2.
①比分为2:1的概率为
.
②比分为2:2的概率为.
③比分为3:2的概率为
.
综上，甲队第5个球员需出场罚球的概率为.
17．答案：（1）0.398
（2）0.994
（3）0.092
解析：（1）由题意得,恰好有两列火车正点到达的概率为
.
（2）由题意得,三列火车至少有一列正点到达的概率为
.
（3）由题意得,恰有一列火车正点到达的概率为
.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)由表中数据得,
,
又,
所以,
,
所以经验回归方程.
(2)当时,,
所以九寨沟在景点处（海拔）的大气压约为
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）设“甲答对第一题”，“乙答对第一题”，则，，
因为A与B相互独立，所以与相互独立.
由于事件“第一题至少一人答对”的对立事件是“第一题甲、乙都答错”，
根据对立事件的性质，得第一题至少一人答对的概率为，
由题意可知，，解得.
（2）设表示甲答对1道题目，表示甲答对2道题目；表示乙答对1道题目，表示乙答对2道题目，则；
，
设C表示甲、乙得分之和为30分的事件，则，
因为甲、乙答对与否互不影响，各题答题结果互不影响，
所以与相互独立，与相互独立，且与互斥，
则.
零件数x（个）
18
20
22
加工时间y（分）
27
m
33
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
是社交电商用户
不是社交电商用户
合计
男性
8n
12n
20n
女性
12n
8n
20n
合计
20n
20n
40n
原材料投入x（万元）
82
84
85
86
88
利润y（万元）
770
800
830
850
900
海拔高度
10
50
100
500
1000
大气压
101.2
100.6
100.2
94.8
88.2
性别
游泳
合计
喜欢
不喜欢
男生
0.6n
0.4n
n
女生
0.4n
0.6n
n
合计
n
n
2n