2025届高中数学一轮复习专题练 空间向量与立体几何

这是一份2025届高中数学一轮复习专题练 空间向量与立体几何，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．( )
A.B.C.D.
2．正三棱锥的侧面都是直角三角形,E,F分别是AB,BC的中点,则PB与平面PEF所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
3．在四棱柱中,底面ABCD是正方形,侧棱底面ABCD.已知,,E为线段AB上一个动点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
4．已知,,则在方向上的投影数量为( )
A.B.C.D.
5．如图,已知正四棱锥的所有棱长均为1,E为PC的中点,则线段PA上的动点M到直线BE的距离的最小值为( )
A.B.C.D.
6．已知空间向量,,则以为单位正交基底时的坐标为( )
A.B.C.D.
7．在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，,，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为( )
A.B.C.D.
8．如图,在直三棱柱中,是等边三角形,,,则点C到直线的距离为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在平行六面体中，若所在直线的方向向量为，则所在直线的方向向量可能为( )
A.B.C.D.
10．以下关于向量的说法正确的有( )
A.若，则
B.若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C.若且，则
D.若与共线，与共线，则与共线
11．在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则( )
A.平面的一个法向量为B.平面的一个法向量为
C.平面的一个法向量为D.平面的一个法向量为
三、填空题
12．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，当的长最小时，平面与平面夹角的正弦值为________.
13．在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数________.
14．已知直线l的一个方向向量为,若点为直线l外一点,为直线l上一点,则点P到直线l的距离为________.
四、解答题
15．如图，在棱长4的正方体中，E是的中点，点F在棱上，且.
(1)求平面与平面夹角的余弦值；
(2)若P为平面内一点，且平面，求点P到平面的距离.
16．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，.
(1)点E在侧棱上，且平面，确定E在侧棱上的位置；
(2)若平面平面，且，求二面角的余弦值.
17．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值.
18．已知M,G分别是空间四边形ABCD的两边BC,CD的中点,化简下列各式：
(1);
(2);
(3).
19．已知，，.求：
(1)；
(2).
参考答案
1．答案：D
解析：,
,
,
,
故选:D
2．答案：C
解析：因为正三棱锥的侧面都是直角三角形,
所以可以以P为原点,PA,PB,PC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
设,
因为E,F分别是AB,BC的中点,
所以,,,,,,
,,,
设平面PEF的法向量为,
则有,
所以PB与平面PEF所成角的正弦值为:,
故选:C
3．答案：B
解析：建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,.
E为线段AB上一个动点,
设,
则,,
故问题转化为求的最小值问题,即转化为求平面直角坐标系tOu中的一个动点到两定点,的距离之和的最小值的问题,如图所示.
由此可知,当M,P,N三点共线时,,
故选:B.
4．答案：C
解析：在方向上的投影数量为.
故选：C.
5．答案：D
解析：连接,,记直线,的交点为O,
由已知平面,,
以点O为原点,,,为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
由已知,,
所以,,,
则,,,,,
所以,,,
设,
则,
所以在上的投影向量的模为,
又,
所以动点M到直线BE的距离,
所以,
所以当时,动点M到直线BE的距离最小,最小值为,
故选：D.
方法二：因为为等边三角形,E为的中点,所以,
由已知,,,所以,
所以,
所以为异面直线,的公垂线段,
所以的长为动点M到直线BE的距离最小值,
所以动点M到直线BE的距离最小值为,
故选：D.
6．答案：B
解析：空间向量,,则,
故以为单位正交基底时的坐标为.
故选:B.
7．答案：A
解析：连接交于点O，
由题意，得，，
，
如图，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则,,,，
所以,,，设，
所以，
设平面的一个法向量为，则，
所以，取，
则，
设顶点B到平面距离为d，
则，
当时，
当时，，
所以当即时点B到平面距离最大为.
故选：A.
8．答案：C
解析：取AC的中点O,
则,,
以OB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,O与中点连线所在直线为z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
所以,,,
所以,,
所以在上的投影的长度为,
故点C到直线的距离为.
故选:C.
9．答案：BC
解析：由已知可得，故它们的方向向量共线，
对于B选项，，满足题意；
对于C选项，，满足题意；
由于A、D选项不满足题意.
故选：BC.
10．答案：AC
解析：若，则和的大小相等，方向相同，故A正确；
将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误；
若，，则，故C正确；
若与共线，与共线，则当时，无法判断与的关系，故D错误.
故选：AC.
11．答案：AC
解析：由题意，知，，，，，，.，平面，故A正确；
，且，不是平面的法向量，故B不正确；
，，，，又，是平面的一个法向量，故C正确；
，且，不是平面的法向量，故D不正确.
12．答案：或
解析：以B原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为，所以，，
所以，
当时，最小，此时，M，N为中点，则，，
取的中点G，连接，，则，
因为，，所以，，
所以是平面与平面的夹角或其补角，
因为，，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值是，
所以平面与平面夹角的正弦值是.
13．答案：2
解析：因为
，
又，
所以，，，.
故答案：2.
14．答案：
解析：由题意可得l的一个单位方向向量为,
,
故点P到直线l的距离.
故答案为:.
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）以D为坐标原点，,,所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,,，,.
设平面的法向量为，则，
取，则,，得.
因为平面，所以平面的一个法向量为，
则平面与平面夹角的余弦值为.
（2）设，则.
因为平面，所以，则，得,，即.
因为，所以点P到平面的距离为.
16．答案：(1)E为侧棱上靠近B处的三等分点；
(2)
解析：（1）连接，设，连接，则平面平面，
平面，面，
底面是直角梯形，，且，
，则，
E为侧棱上靠近B处的三等分点；
（2）平面平面，且，
，平面平面，平面，
平面，（O为中点）
如图所示建立空间直角坐标系，
依题意有，，，
，则，
，，显然是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，则，
取得，
，
二面角的大小的余弦值为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）三棱锥的体积V为三棱柱体积的，即.
设点A到平面的距离为h，则.
由解得.
故点A到平面的距离为.
（2）如图，连接，交于点E，因为，所以.
又平面平面，所以平面，.
由（1）知，点A到平面的距离为，故，，.
在直三棱柱中，平面ABC，所以，
又，所以平面，故，.
由已知得，所以.
以B为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，.
设为平面DAB的法向量，
则即可取.
因为平面，所以为平面DCB的一个法向量，有.
设二面角的平面角为，则，
故二面角的正弦值为.
18．答案：(1);
(2)
(3).
解析：(1)如图所示,.
(2)取BD的中点H,连接MG,GH.
因为M,G分别为BC,CD的中点,
所以,,
所以BMGH为平行四边形,
所以,
从而.
(3)分别取AB,AC的中点S,N,连接SM,AM,MN,
则易证得ASMN为平行四边形,
所以,
所以.
19．答案：(1)；
(2)
解析：(1)，
；
(2).