2025届高中数学一轮复习专题练 立体几何初步

这是一份2025届高中数学一轮复习专题练 立体几何初步，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．如图，在二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l，当，，，时，则四面体外接球的半径为( )
A.B.C.D.
2．水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图是直角梯形,如图所示.其中,则原平面图形的面积为( )
A.B.C.D.
3．已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为( )
A.B.C.D.
4．若正三棱锥的所有棱长均为3,则该正三棱锥的体积为( )
A.3B.C.D.
5．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,高为3,且该圆台的体积为,则该圆台的母线长为( )
A.B.C.D.
6．已知某圆锥的侧面积是其底面积的两倍，则圆锥的高与底面半径的比值为( )
A.3B.C.D.
7．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,,,,,则球O的表面积为( )
A.B.C.D.
8．如图,正三柱的底面是边长为3的正三角形,侧棱,一小虫从点A途经三个侧面爬到点,则小虫爬行的最短距离为( )
A.4B.5C.D.
二、多项选择题
9．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有( )
A.直径为的球体
B.所有棱长均为的四面体
C.底面直径为，高为的圆柱体
D.底面直径为，高为的圆柱体
10．已知点A,B为不同的两点,直线,,为不同的三条直线,平面,为不同的两个平面,则下列说法正确的是( )
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,,,则
D.若,,,,则直线
11．如图，G，H，M，N均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示，是异面直线的图形是( )
A.①B.②C.③D.④
三、填空题
12．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容,在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制）,多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体（四个面都是等边三角形围成的几何体）在每个顶点有3个面角,每个面角是,所以正四面体在每个顶点的曲率为,故其总曲率为.我们把平面四边形外的点P连接顶点A、B、C、D构成的几何体称为四棱锥,根据曲率的定义,四棱锥的总曲率为_________.
13．在空间直角坐标系中,点A,B,C,M的坐标分别是,,,,若A,B,C,M四点共面,则___________.
14．如图，在几何体中，，，，侧棱，，均垂直于底面，，，，则该几何体的体积为______.
四、解答题
15．日常生活中,较多产品的包装盒呈正四棱柱状,烘焙店的包装盒如图所示,正四棱柱的底面ABCD是正方形,且,.
店员认为在彩绳扎紧的情况下,按照图A中的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）.则图A比图B最多节省的彩绳长度为_______________.
16．如图所示,在边长为的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆,使之恰好围成一个圆锥,则圆锥的高为_____________.
17．如图①,在菱形中,且,E为的中点.将沿折起使,得到如图②所示的四棱锥,求证：平面
18．设P为多面体M的一个顶点,定义多面体M在点P处的离散曲率为,其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点,且平面,平面,,平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面.已知在直四棱柱中,底面为菱形,且.
（1）求直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和;
（2）若直四棱柱在点A处的离散曲率为x,直四棱柱体积为,求函数的解析式及单调区间.
19．如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,分别为的中点.
（1）证明:平面;
（2）在线段上是否存在一点,使得平面?若存在,指出点位置,并证明你的结论;若不存在,说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意，设平面与平面的夹角为，
，，
，，
，
，
，即，
，即平面与平面的夹角为.
过D作的平行线，过A作的平行线，与所成的角为，过B作的平行线，连接，，，
四面体的外接球与三棱柱的外接球相同，
在中，，，
外接圆半径为，
四面体外接球的半径为.
故选：A.
2．答案：C
解析：由直角梯形中,且,作于P,
则四边形为正方形,为等腰直角三角形,故,.
故原图为直角梯形,且上底,高,下底.
其面积为.
故选：C.
3．答案：B
解析：圆台的侧面展开图是个扇环，，
所以圆台的高，
则，
故选：B.
4．答案：C
解析：如图,正三棱锥,,
取BC中点D,连接AD,取等边三角形ABC的中心O,连接PO,
由正四面体的性质可知,顶点与底面中心连线垂直底面,
平面ABC
即三棱锥的高为PO,
,
,,
,
.
故选:C
5．答案：C
解析：如图所示,
设圆台较大的底面半径为,较小的底面半径为,
则,解得,
过点B作垂直于点,
则母线长,
故选:C.
6．答案：B
解析：设圆锥的高与底面半径以及母线长依次为h、r、l，
则由题意，即，
所以由圆锥结构特征得.
故选：B.
7．答案：A
解析：如图:
在中,,,
由余弦定理:,
所以,所以外接圆半径为,即.
在直角三角形PQB中,,,所以.
设棱锥外接球半径为R,在直角三角形OQB中,,
解得:.
所以球O的表面积为:.
故选:A
8．答案：C
解析：三柱的侧面展开图为一个矩形,如图所示,因为正的边长为3,侧棱,
所以,,所以,
即小虫爬行的最短距离为.
故选：C
9．答案：ABD
解析：对于A选项，正方体内切球的直径为，故A符合题意；
对于B选项，如图①，正方体内部最大的正四面体棱长为，，故B符合题意；
对于C选项，圆柱底面直径为，可忽略不计，高为，圆柱可看作长度为的线段.如图②，正方体的体对角线为，故C不符合题意；
对于D选项，圆柱高为，可忽略不计，底面直径为，圆柱可看作直径为的圆.如图③，E，F，G，H，I，J为各棱的中点，六边形EFGHIJ为正六边形，其边长为，其内切圆直径，，故D符合题意.故选ABD.
10．答案：AC
解析：若,则垂直于任一条平行于的直线,又,则,故A正确;
若,不能推出,故B错误;
若,则,,又,故,故C正确;
若,,则AB为内的一条直线,不一定对,故D错误.
11．答案：BD
解析：异面直线的判定定理：“经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线.”
根据异面直线的判定定理可知：在图②④中，直线、是异面直线；
在图①中，由G、M均为棱的中点可知：；
在图③中，G、M均为棱的中点，四边形为梯形，则与相交.
故选：BD.
12．答案：
解析：由定义可得多面体的总曲率顶点数各面内角和,
因为四棱锥有5个顶点,5个面,分别为4个三角形和1个四边形,
所以任意四棱锥的总曲率为.
故答案为：.
13．答案：6
解析:由题意,得,,,
又A,B,C,M四点共面,则存在x,,使得,
即,即,解得,
所以.
故答案为:6.
14．答案：24
解析：在上取点M，在上取点N，使得，连接，，，
又由已知侧棱，，均垂直于底面，
得，即，
故四边形与四边形都为平行四边形，
所以，，
又平面，且平面，
则平面，
同理，平面，，
平面，平面，
故平面平面，且平面，
则几何体为直三棱柱.
因为，，，
所以，
所以是以为直角的直角三角形，，
由侧棱垂直于底面，得，
，平面，且平面，
故平面，则平面，
又，，，，
则多面体是四棱锥，且高为，
又，则，四边形为直角梯形，
所以几何体是由三棱柱和四棱锥组合而成的，
，
，
所以该几何体的体积为.
故答案为：24.
15．答案：
解析：对于图（A）,沿彩绳展开正四棱柱,则彩绳长度的最小值为;
对于图（B）,彩绳长度的最小值为,
因为,所以图A比图B最多节省的彩绳长度.
故答案为：.
16．答案：
解析：如图1,过圆心F作于E,于G,
则四边形为正方形,设小圆半径为r,扇形半径为R,则,
小圆周长为,扇形弧长为,
剪下一个扇形和圆恰好围成一个圆锥,,解得,
即,,
正方形铁皮边长为,,
, ;
在图2中,,,
由勾股定理得,圆锥的高,
故答案为：.
17．答案：证明见解析
解析：翻折前：
连接.
四边形为菱形,, 是等边三角形.
为的中点, ,.
翻折后：
,.
,,,
, ,
, ,.
又,平面,平面,
平面.
18．答案：（1）2
（2）增区间为,减区间为,
解析：（1）在直四棱柱中,,底面为菱形,
由离散曲率的定义知：A,,C,的离散曲率相等,B,,D,的离散曲率相等,
所以A处的曲率为,
而D处的曲率为,又,
所以A,D两处的曲率和为,
故直四棱柱在各个顶点的离散曲率之和
（2）由题设,A处的曲率,
故,又故
所以直四棱柱底面面积为
故直四棱柱高为1,故体积为
令,,可得,,
即,上递增;
令,,可得,,
即,上递减;
所以增区间为,减区间为,.
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明:连BD交AC于O,因为E为PD中点,所以EO是中位线,
所以,又因为平面AEC,平面AEC,所以平面AEC;
（2）点G为线段PC的中点,
连接FG,EG,由于E,G为PD,PC中点,则,即,四边形AEGF为平行四边形,
因此,平面AEC,平面AEC,则平面AEC.