重庆市南岸区四校联考2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)

这是一份重庆市南岸区四校联考2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
B.是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
C.是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；
D.是中心对称图形也是轴对称图形，故符合题意；
故选：D．
2. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A.∵，
∴，故A错误，不符合题意；
B.∵，
∴，故B正确，符合题意；
C.∵，
∴
∴，故C错误，不符合题意；
D.∵，
∴，故D错误，不符合题意；
故选：B．
3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解并且正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A.是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B.，原式因式分解错误，不符合题意；
C.是因式分解，且因式分解正确，符合题意；
D.等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
故选：C．
4. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】D
【解析】由题意得，，
解得且，故选：．
5. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是，此时满足，也满足，故选；C．
6. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A. 从左到右的变形不正确；
B. 从左到右的变形不正确；
C. 从左到右的变形不正确；
D. 从左到右的变形正确．
故选择：D．
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AC于点E，则AE的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】，，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理，可得，
解得或（舍去），
，
，
，
，
，
，
设，则，
根据勾股定理，得，
或（舍去），
，
，
故选：B．
8. 若，的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意；
B. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意；
C. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项符合题意；
D. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，
故原选项不合题意．故选：C．
9. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（ ）（用含的代数式表示）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由旋转的性质可知，，，，，
，
，，
，
．
．
．
故选：C．
10. 新定义：对非负实数x用“四舍五入”的法则精确到个位的值记为，下列说法正确的个数为（ ）
①（为圆周率）：
②如果，则实数x的取值范围为．
③若，则
④满足的所有x的值有且只有五个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】①∵
∴（为圆周率），正确，符符合题意；
②，
∴，
∴，正确，符合题意；
③∵，
∴x的小数部分小于0.5，（四舍）
∴x+0.5小数部分大于0.5，（五入）
则，正确，符合题意；
④设，k为整数，
∴，
∴，，
∴，
∴，
，
∴的所有x的值有且只有五个，符合题意；
故选：D．
二、填空题
11. 计算：____________________．
【答案】1
【解析】，
故答案为：1．
12. 分解因式：________．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
13. 若分式的值为0，则x的值为______．
【答案】
【解析】由题意可知：且，
解得且．
故答案为：．
14. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ______．
【答案】
【解析】由图可知：两条直线的交点坐标为，
∵，
∴，
∴，即直线在直线的上方，
∵当时，直线在直线的上方，
∴解集为，故答案为：．
15. 如图，将等腰直角ABC沿BC方向平移得到A1B1C1．若BC＝3，△ABC与A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1＝_______．

【答案】
【解析】设B1C=2x，
根据等腰三角形的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，

则B1C边上的高为x，
∴×x×2x=2，解得x=（舍去负值），
∴B1C=2，
∴BB1=BC-B1C=．
故答案为．
16. 若关于x的不等式组有解且最多有3个整数解，且关于y的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为____________．
【答案】
【解析】
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∵关于x的不等式组有解且最多有3个整数解，
∴，
解得；
解方程得，
∵关于y的方程的解为非负整数，
∴，且为整数，即a为奇数，
∴，且a为奇数，
∴且a为奇数，
∴满足题意的a的值为3或5或7，
∴符合条件的所有整数a的和为，
故答案为：．
17. 如图，在中，，点D是边上的一点，过点B作交的延长线于点E，延长至点F，使得，连接交于点H，连接，若，，则的长度为____________．
【答案】
【解析】如图所示，过点C作于M，
∴，
∵，
∴，∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，∴，，
∵，

∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
18. 如果一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为0，且千位与十位上的数字之差等于百位与个位上的数字之差,则称为“等差数”，将千位上的数字与十位上的数字对调,百位上的数字与个位上的数字对调,得到一个新的四位数,记，若为等差数，且，则数为______；若为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，则满足条件的最小“等差数”是______．
【答案】2659 5612
【解析】∵为等差数，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
联立，解得，∴数为；
设M的千位数字，百位数字，十位数字，个位数字分别为a、b、c、d，
∴，，
∴
，
∵为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，
∴可设（k为自然数），
∴，
∴一定是4的倍数，
∴一定要是4的倍数，且，
∴或，
又∵要满足M最小，且a、c不为0，
∴要满足a最小，且要满足b最小，
∴，
∴，
又∵a、b、c、d互不相同，
∴，
∴满足题意的M的值为5612，
故答案为：2659；5612．
三、解答题
19. 把下列各式分解因式：
（1）；
（2）．
（1）解：
；
（2）解：
．
20. （1）解不等式组：；
（2）计算：．
解：（1）
解不等式①得： ，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为；
（2）
21. 如图，，，，将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到．
（1）画出平移后的，并写出，，的坐标；
（2）画出绕点C顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标：
（3）在x轴上存在点P，使得面积为，直接写出点P的坐标．
（1）解：如图所示，即为所求，
∴，，；
（2）解：如图所示，即为所求，∴；
（3）解：∵面积为，∴，
∴，
∴，
∵，
∴或．
22. 如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F．
（1）求证：；
（2）求的度数．
（1）证明：∵绕点B按逆时针方向旋转，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在与中，
，
∴．
（2）解：由旋转可得：，
∴．
∵，
∴，
∴．
23. 如图，在中，，，D为上一点，且．动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿着匀速运动到点C时停止运动，设点P运动的时间为x秒，的面积为y．

（1）直接写出y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）请在直角坐标系中画出y的函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）若与y的图象有且只有一个交点，请直接写出t的取值范围．
（1）解：①当点P在上时，即时，
∵，，
∴；
当点P在上时，即时，
过点P作于E，如图，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
综上，；
（2）解：画出的函数图象如下：

性质：当时，函数值随x的增大而增大（答案不唯一）
（3）解：当过原点时，则；当过点时，，
则，
当在间平行移动时，直线恰好与图象有一个交点，但不与重合，
此时．

∴．
24. 某火锅店为吸引客户，推出两款双人套餐，下表是近两天两种套餐的收入统计：
（1）求这两款套餐的单价；
（2）套餐的成本约为元，套餐的成本约为元，受材料和餐位的限制，该火锅店每天最多供应个套餐，且套餐的数量不少于套餐数量的，求火锅店每天在这两种套餐上的最大利润；
（3）火锅店后续推出增值服务，每个套餐可选择再付元即可加料，即在鱼豆腐、面筋、川粉和蘑菇中任选两种涮菜．小明是这个火锅店的常客，年他共花费元购买两个套餐，其中套餐不加料的数量占总数量的，则小明选择套餐加料的数量为______个．
解：（1）设套餐销售单价为元，套餐销售单价为元，
根据题意，得
解得
答:A套餐销售单价为元，套餐销售单价为元；
（2）设售出套餐个，总利润为w元，
则＝﹣﹣﹣＝，
套餐的数量不少于套餐数量的，即，
，，随的增大而减小，为正整数，
当＝时，最大，的最大值为元；
（3）设套餐不加料数量为个，套餐加料和套餐不加料共个，则套餐加料数量为﹣个，
根据题意，得：﹣＝，
整理，得：﹣＝，且，均为正整数，
解得，
﹣＝，
即小明选择套餐加料的数量为个．
故答案为：．
25. 如图，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B．点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线的函数解析式．
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．
①若的面积为2，求点P的坐标．
②点M在线段上运动的过程中，连接，若，求点Q的坐标．
（1）解：，
当时，；当时，，
∴，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴，
设直线，
则：，解得：，∴直线；
（2）解：①设，则：，
∴，
∴，
解得：，
∴当时，；当时，；
综上：或；
②∵，，，
∴
当点M在y轴的左侧时：
∵点C与点A关于y轴对称，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，解得
∴Q为（，）；
当点M在y轴的右侧时，
同理可得Q（，）；
综上，点Q坐标为（，）或（，）．
26. 如图，已知在直角中，，为边上一点，连接，过作，交边于点．
（1）如图1，连接，若，，，求的面积；
（2）如图2，作的角平分线交于点，连接，若，求证： ；
（3）如图3，若，将沿折叠，得到，且与交于点，连接，点在边上运动的过程中，当时，直接写出的值．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在直角中，，，
∴，
∴，
∴，∴，
∴ ．
（2）证明：如图2中，过点作交的延长线于点，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
（3）解：如图所示，
∵，
∴，
当时，，
∵将沿折叠，得到，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
设，则，
∴，
∴，
∵，
在中， ，
如图所示，连接，

∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴数量
收入
套餐
套餐
第一天
次
次
元
第二天
次
次
元