湖北省荆州市公安县第三中学2024-2025学年高一上学期10月考试数学试卷

这是一份湖北省荆州市公安县第三中学2024-2025学年高一上学期10月考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则等于（ ）
A．B．C．D．
.
2．下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知集合．设，下列说法正确的是（ ）
A．p是q的充分不必要条件B．p是q的必要不充分条件
C．p是q的充要条件D．p是q的既不充分也不必要条件
4．已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若且，则
5．某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，共有24人参加比赛，其中有12人参加跳远比赛，有11人参加球类比赛，有16人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有4人，同时参加球类和跑步比赛的有5人，没有人同时参加三项比赛，则（ ）
A．同时参加跳远和跑步比赛的有4人B．仅参加跳远比赛的有3人
C．仅参加跑步比赛的有5人D．同时参加两项比赛的有16人
6．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．设且，则的最大值是（ ）
A．400 B．100 C．40 D．20
8．关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分。）
9．下列说法正确的有（ ）
A．不等式的解集是
B．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是
C．命题，，则，
D．，表示同一集合
10．若实数a，b满足，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
11．已知，下列选项正确的是（ ）
A．若，则的最小值为
B．若，则的最小值为
C．若，则的最小值为
D．的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
12．函数的定义域为 .
13．两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
14．若命题p：“，”是假命题，命题q：，，是真命题，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
16．（15分）解下列关于的不等式：
(1)； (2)； (3)；
17．（15分）某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为米.
(1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价.
(2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为元（整体报价中含固定费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.
18．（17分）学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题：
已知，，且，求的最小值.
李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同.
李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为.
韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为.
(1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由）
(2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决：
（i）设，，都是正数，求证：；
（ii）已知，，且，求的最小值.
.
19．（17分）已知，关于的不等式的解集为或.
(1)求的值；
(2)解关于的不等式；
(3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
答案;
1,【答案】B
【详解】，
所以
2.【答案】D
【详解】对于A项，两函数的对应关系不同，故A错误；
对于B项，，两函数定义域不一样，故B错误；
对于C项，的定义域为，的定义域为，
两函数定义域不一样，故C错误；
对于D项，，与，
两函数定义域一样，对应关系一样，故D正确.
3.【答案】B
【详解】由，，
故为的真子集，又，故p是q的必要不充分条件.
4.【答案】C
【详解】选项A，取，，，，则，A错误；
选项B，当，时，，但，不成立，B错误；
选项C，当时，，
C正确；
选项D，根据糖水不等式可知，再根据倒数不等式可得，D错误.
5.【答案】C
【详解】如图，同时参数跳远和跑步的有人，
仅参加跳远比赛的有人，
仅参加跑步比赛的有人，
同时参加两项比赛的有人，
故选：C．
6. 【答案】D
【详解】因为的定义域为，
所以不等式对任意的恒成立，
当时，恒成立，满足题意；
当时，则，解得；
综上，，即的取值范围是.
7.【答案】A
【详解】因为
所以
即
所以
当且仅当且，即时等号成立.
8.【答案】B
【详解】由，可得或；由 ，可得（*）.
① 若，即时，则由（*），可得，此时原不等式的解集为，显然不符合题意；
② 若时，则由（*），可得，显然不符合题意；
③ 若时，则由（*），可得，
此时要使不等式组的整数解的集合为，须使，即.
综上可得，实数的取值范围
9.【答案】BD
【详解】对于A，由可得，故，解得，
故不等式的解集是，故A错误；
对于B，命题“，”为真命题，则，
，，则，
则是命题为真命题的一个充分不必要条件，故B正确；
对于C，命题，，则，，故C错误；
对于D，，故与表示同一集合，D正确.
10.【答案】ACD
【详解】由题意，实数a，b满足，
根据不等式的性质，可得，所以A正确；
由，可得，所以，所以B不正确；
由不等式的基本性质，可得，所以C正确；
由，左右都乘以，可得，可得，所以D正确.
11.【答案】BCD
【详解】由已知，
选项A，，
当且仅当时等号成立，A错，
选项B，，则，
所以，当且仅当，
即时等号成立，B正确；
选项C，由得，
当且仅当时等号成立，又，故解得，C正确；
选项D，
，
当且仅当即时等号成立，D正确．
故选：BCD
12.【答案】
【详解】函数有意义，则，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：
13.【答案】
【详解】由不等式恒成立，只需，
又，则，
当且仅当时等号成立，故，
所以，故实数的取值范围是.
14.【答案】
【详解】因为命题是假命题，
那么它的否定是真命题.
对于二次函数，其判别式.
展开得到，解得.即.
命题是真命题，即对恒成立.
所以，解得.
综合以上两个命题的结果，取交集可得的取值范围是
15.【答案】(1)或 (2)或
【详解】（1）因为，则，
当时，则，解得，符合题意；
当时，则 ，解得；
综上所述：实数的取值范围是或.
（2）因为，
当时，由（1）知；
当时，可得或，解得或；
综上所述：实数的取值范围是或.
16.【答案】(1)； (2)；(3).
【详解】（1）不等式化为，
即，解得或，
所以原不等式的解集为.
不等式化为，即，
则，解得或，
所以原不等式的解集为
（3）不等式化为，即，
则或，解，得，
解，得，因此或，
所以原不等式的解集为.
17.【答案】(1)4m，14400元 (2)
【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，则
当且仅当时，即时等号成立.
即当宽为时，甲工程队的报价最低，最低为14400元.
（2）由题意可得.对恒成立.
即
令
.
令，
则在上单调递增.
且时，.
.即的取值范围为.
18.【答案】(1)韩梅梅解法正确，李雷解法错误，理由见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）韩梅梅解法正确，李雷解法错误，理由如下：
对于，，
当且仅当，即时取等号，
此时，不满足题意，
所以该解法错误；
（2）（i）由已知，，都是正数，
则，，，
所以，即，
当且仅当，即时等号成立；
（ii）由已知，，且，
则，即，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立
19.【答案】(1)， (2)答案见解析 (3)
【详解】（1）由题意：1，（）是方程的两根.
由；由或（舍去）.
故：，.
（2）原不等式可化为：.
若，则，解得：；
若，则，解得：或；
若，则，
当，即时，解得：；
当，即时，解得：；
当，即时，解得：.
综上可知：当时，不等式的解集为：或；
当时，不等式的解集为：；
当时，不等式的解集为：；
当时，不等式的解集为：；
当时，不等式的解集为：.
（3）问题转化为：对恒成立.
所以：.
因为恒成立，所以，.
因为.
设，则，，
且.
因为，当且仅当时取“”.
所以，所以，所以.
所以.
所以的取值范围是：.