专题16 圆锥曲线（讲义与练习）-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型 高分突破》（上海专用）

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一、填空题
1．已知椭圆的焦点坐标为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为 ．
2．双曲线的右焦点坐标是 ．
3．抛物线的准线到焦点的距离为
4．已知双曲线的左右两个焦点分别是，双曲线上一点满足，则 ．
5．若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 ．
6．斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，则直线的方程为 ．
7．已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的离心率为 .
8．极坐标系中，点与点，表示同一个点，则 .
9．动点在曲线上移动，则点和定点连线的中点的轨迹方程是 .
10．已知，双曲线的两个焦点为，，若椭圆的两个焦点是线段的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为 .
11．已知椭圆的左、右焦点分别为、.若P为椭圆上一点，且，则的面积为 .
12．已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为 .
13．已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左､右焦点，为的内心，若成立，则的值为 .
14．已知某椭圆的焦点是，，过点并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且，椭圆上不同的两点A、C满足条件：，，成等差数列，则弦AC中点的横坐标是 ，设弦AC的垂直平分线的方程为，求m的取值范围是 ．
二、单选题
15．方程表示椭圆的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．或
16．已知双曲线与共焦点，则的渐近线方程为（ ）.
A．B．C．D．
17．方程的两个根可分别作为（ ）
A．椭圆和双曲线的离心率B．两双曲线的离心率
C．两椭圆的离心率D．以上皆错
18．已知直线l经过抛物线的焦点F，交抛物线于M，N两点，若在y轴负半轴上存在一点，使得为钝角，则t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
19．已知方程的根大于，则实数满足（ ）
A．B．
C．D．
20．中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面直角坐标系中，把与定点、距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，记为曲线.关于曲线，有下列两个命题：
①曲线上的点的横坐标的取值范围是；
②若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为.
则（ ）
A．①为真命题，②为假命题B．①为假命题，②为真命题
C．①为真命题，②为真命题D．①为假命题，②为假命题
三、解答题
21．已知双曲线为双曲线上的任意点.
(1)求双曲线的两条渐近线方程及渐近线夹角的大小；
(2)求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.
22．已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图．
(1)求抛物线的方程及点M的坐标；
(2)证明：为定值；
23．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；
(2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值；
(3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？
24．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，是双曲线C上一点，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程；
(3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为、，求证：为定值.
25．已知椭圆，设过点的直线交椭圆于M，N两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点.
(1)椭圆的离心率为，求的值；
(2)若，求的取值范围；
(3)若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.