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2024-2025学年山东省淄博实验中学高一（上）第一次诊断数学试卷（10月份）（含答案）
展开这是一份2024-2025学年山东省淄博实验中学高一（上）第一次诊断数学试卷（10月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,3,6,7}，B={2,3,4,5}，则A∩(∁UB)=( )
A. {6,7}B. {1,7}C. {1,6}D. {1,6,7}
2.以下是真命题的( )
A. ∀x∈R，都有x2+3<0B. ∀x∈N，都有x2≥1
C. ∃x∈Z，有x<1D. ∃x∈Q，有x2=3
3.已知f( x+1)=x+3，则f(x)=( )
A. x2−2x+2(x≥0)B. x2−2x+4(x≥1)
C. x2−2x+4(x≥0)D. x2−2x+2(x≥1)
4.设m为给定的实常数，命题p：∀x∈R，x2−4x+2m≥0，则“m>0”是“p为真命题”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.函数f(x+1)的定义域为[−2,1]，函数g(x)=f(x) 2x+1，则g(x)的定义域为( )
A. (−12,2)B. (−1,+∞)C. (−12,0)∪(0,2)D. (−12,2]
6.已知函数fx=x2−kx+1在2,5上具有单调性，则k的取值范围是( )
A. 2,5B. 4,10
C. −∞,4∪10,+∞D. −∞,−2⋃2,+∞
7.若a>0，b>0，ab=4a+b+12，则ab的取值范围是( )
A. {x|0
A. [−4,−1]B. [−4,−2]C. (−5,−1]D. [−5,−4]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若a>b，则ac2>bc2
B. 若−3
D. 若a>b>0，c>d>0，则ac>bd
10.若关于x的不等式ax2+bx+12>0的解集为(−1,12)，则下列说法正确的是( )
A. a>0
B. a=2b
C. −ax2+12x+b≥0的解集为(−∞,−1]∪[12,+∞)
D. f(x)=ax2+bx+12的最大值为16
11.已知函数f(x)=x2−5x+6,x<2−2x+6,x≥2，若f(m)=f(n)，m
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={x,yx,1}，B={x2,x+y,0}，若A=B，则x+y= ______．
13.已知正实数x，y满足x+2y=1，则y2x+1y的最小值为______．
14.已知定义在R上的函数f(x)=−x⋅|x|，若对任意的x∈[a−1,a+1]，恒有f(x+2a)≥3f(x)，则实数a的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
集合A={x|3
(2)若x∈B是x∈A的必要条件，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2x+bax+1，点A(1,5)，B(2,4)是f(x)图象上的两点．
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)在[1,3]上的最大值和最小值．
17.(本小题15分)
中共中央政治局会议中明确提出支持新能源汽车加快发展.发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措.2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x(百辆)，需另投入成本f(x)(万元)，且f(x)=10x2+100x,0
(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
18.(本小题17分)
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)−f(x)=2x−1，且f(1)=−4．
(1)求f(x)的解析式；
(2)解关于x的不等式f(x)≤nx+n；
(3)集合A={x|f(x)+(2+m)x<0}，B={x|−1
已知集合A={1,2,3,…,n}，其中n∈N∗，A1，A2，…，Am都是A的子集且互不相同，记Mi=Ai的元素个数，Nij=(Ai∩Aj)的元素个数(i,j∈{1,2,…,m}，i
(2)若n=5，且对任意1≤i
(3)若n≥7，Mi≤3(i=1,2,…,m)且对任意1≤i
1.A
2.C
3.B
4.B
5.D
6.C
7.D
8.A
9.BCD
10.BC
11.ABD
12.−1
13.2+ 2
14.− 33
15.解：(1)若m=2，则B={x|2≤x≤5}，
∵A={x|3
∴m≤32m+1≥6，∴52≤m≤3，
∴实数m的取值范围为[52,3]．
16.解：(1)因为点A(1,5)，B(2,4)在f(x)的图象上，
所以2+ba+1=54+b2a+1=4，解得a=1b=8，
所以a=1，b=8；
(2)由(1)可知f(x)=2x+8x+1=2+6x+1，
易知f(x)在[1,3]上单调递减，
所以f(x)max=f(1)=5，f(x)min=f(3)=72，
所以函数f(x)在[1,3]上的最大值为5，最小值为72．
17.解：(1)由题意知，利润g(x)=收入−总成本，
所以利润g(x)=5x×100−2500−f(x)=−10x2+400x−2500,0
g(x)=−10x2+400x−2500,0
当x≥40时，g(x)=−x−10000x+2300≤−2 x⋅ 10000x+2300=2100，
当且仅当x=10000x，即x=100时取得等号；
综上，当产量为100(百辆)时，取得最大利润，最大利润为2100万元．
18.解：已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)−f(x)=2x−1，且f(1)=−4，
(1)由题有a(x+1)2+b(x+1)+c−(ax2+bx+c)=2ax+a+b=2x−1，
则2a=2a+b=−1，得a=1，b=−2，
所以f(x)=x2−2x+c，
又f(1)=−4，所以1−2+c=−4，得到c=−3，
所以f(x)=x2−2x−3．
(2)由(1)知f(x)=x2−2x−3，由f(x)≤nx+n，得到x2−2x−3≤nx+n，
即x2−(2+n)x−3−n≤0，变形得到[(x−(3+n)](x+1)≤0,
令[(x−(3+n)](x+1)=0,
则x=3+n或x=−1，
当3+n=−1，即n=−4时，原不等式的解集为{x|x=−1}，
当3+n>−1，即n>−4时，原不等式的解集为[−1,3+n]，
当3+n<−1，即n<−4时，原不等式的解集为[3+n,−1]，
(3)由f(x)+(2+m)x<0，得到x2−2x−3+(2+m)x<0，即x2+mx−3<0，
令g(x)=x2+mx−3，因为B={x|−1
19.解：(1)因为N13=N23=1，则A1∩A3和A2∩A3的元素个数均为1，
又因为n=4，A1={1,2}，A2={1,3}，则A={1,2,3,4}，
若A1∩A3={1}，A2∩A3=1，则A3={1}或A3={1,4}；
若A1∩A3={2}，A2∩A3={3}，则A3={2,3}或A3={2,3,4}；
综上A3={1}或A3={1,4}或A3={2,3}或A3={2,3,4}．
(2)集合A={1,2,3,4,5}共有32个不同的子集，将其两两配对成16组Bi，Ci(i=1,2,…,16)，
使得Bi∩Ci=⌀，Bi∪Ci=A，则Bi，Ci不能同时被选中为子集Aj(j=1,2,…,m)，故m≤16．
选择A的16个含有元素1的子集：A1={1}，A2={1,2}，A3={1,3}，……，A16=A，符合题意．
综上，mmax=16．
(3)结论：mmax=n，令A1={1}，A2={1,2}，A3={1,3}，…，An={1,n}，集合A1～An符合题意．
证明如下：
①若A1～Am中有一元集合，不妨设A1={1}，则其它子集中都有元素1，且元素2～n都至多属于1个子集，
所以除A1外的子集至多有n−1个，故m≤n．
②若A1～Am中没有一元集合，但有二元集合，不妨设A1={1,2}，其它子集分两类：
Bj={1,bj}或{1,bj,b′j}(j=1，2，…，s)，和Cj={2,cj}或{2,cj,c′j}(j=1，2，…，t)，
其中s≥t，bj，b′j互不相同，cj，c′j互不相同且均不为1，2．
若t=0，则s≤n−2，有m=1+s+t≤n−1
因为C1中除2外至多还有2个元素，所以s≤2，
所以m=1+s+t≤1+2+2
Bj={1,bj,b′j}(j=1，2，…，s)，Cj={2,cj,c′j}(j=1，2，…，t)，Dj={3,dj,d′j}(j=1，2，⋯，r)，其中s≥t≥r．
若t=r=0，则s≤n−32(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合B1～Bs)，
所以m=1+s≤1+n−32
又B1，B2，…，Bs中除1外无其它公共元素，所以s≤2，
所以m=1+s+t+r≤1+2+2+2=7≤n．
综上，mmax=n．
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