2024-2025学年江西省部分学校高二（上）质检数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年江西省部分学校高二（上）质检数学试卷（10月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线l：x−y−2025=0的倾斜角为( )
A. −π4B. π6C. π4D. π3
2.已知圆C的方程是x2+y2+4x−2y−11=0，则圆心C的坐标是( )
A. (−2,1)B. (2,−1)C. (−4,2)D. (4,−2)
3.已知焦点在x轴上的椭圆C：x28+y2b2=1(b>0)的短轴长为4，则其离心率为( )
A. 12B. 14C. 32D. 22
4.在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax+y+b=0和直线l2：bx+y+a=0的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.若圆C1：x2+y2+4x−4y+7=0与圆C2：x2+y2−4x+2y+m=0相切，则实数m=( )
A. −11B. −31C. 11或31D. −11或−31
6.已知点A(1,4)，B(3,−1)，若直线l：mx+y+2m−1=0与线段AB相交，则m的取值范围是( )
A. (−∞,−1]∪[25,+∞)B. [−1,25]
C. (−∞,−25]∪[1,+∞)D. [−25,1]
7.莱莫恩(Lemine)定理指出：过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB所在直线交于点P，Q，R，则P，Q，R三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemine线.在平面直角坐标系xOy中，若三角形的三个顶点坐标分别为(0,1)，(2,0)，(0,−4)，则该三角形的Lemine线的方程为( )
A. 2x−3y−2=0B. 2x+3y−8=0
C. 3x+2y−22=0D. 2x−3y−32=0
8.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，A为椭圆的右焦点，过点A在x轴上方作两条斜率分别为1和−1的射线，与E分别交于B，C两点，且△ABC的面积为13，则a2=( )
A. 23或2B. 2或3C. 2D. 23
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线m：2x+y−1=0与直线n平行，且两条直线之间的距离为 5，则直线n的方程为( )
A. 2x+y+4=0B. 2x+y−4=0C. 2x+y+6=0D. 2x+y−6=0
10.已知椭圆C1：x29+y25=1，将C1绕原点O沿逆时针方向旋转π2得到椭圆C2，将C1上所有点的横坐标沿着x轴方向、纵坐标沿着y轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆C3，动点P，Q在C1上且直线PQ的斜率为−12，则( )
A. 顺次连接C1，C2的四个焦点构成一个正方形
B. C3的面积为C1的4倍
C. C3的方程为4x29+4y25=1
D. 线段PQ的中点R始终在直线y=109x上
11.若点P的坐标是(a,b)，圆M：x2+y2+2x−4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，Q(m,n)是圆M上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 点P在直线x−y−3=0上
B. 2m+n的取值范围是[− 5, 5]
C. 以PM为直径的圆过定点R(2,−1)
D. 若直线PA与圆M切于点A，则|PA|>4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如果方程2x2+ky2=k表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是______．
13.已知直线l：kx−y−3k−2=0，点P是圆O：x2+y2=1上的一点，则点P到直线l的距离的最大值为______．
14.在△ABC中，顶点A(2,3)，点B在直线l：3x−y+1=0上，点C在x轴上，则△ABC周长的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
直线l1：x+2y−11=0与直线l2：2x+y−10=0相交于点P，直线l经过点P．
(1)若直线l⊥l2，求直线l的方程；
(2)若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
16.(本小题15分)
已知A(−2,0),B(1,32)在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，F1，F2分别为C的左、右焦点．
(1)求a，b的值及C的离心率；
(2)若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形PF1QF2的周长及四边形PF1QF2的面积的取值范围．
17.(本小题15分)
已知圆C1：x2+y2=r2(r>0)，圆C2：(x−3)2+y2=16．
(1)讨论圆C1与圆C2的位置关系；
(2)当r=2时，求圆C1与圆C2的公切线的方程．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长与焦距均为2，A，B是椭圆上的动点，O为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线OA与OB斜率的乘积为−12，动点P满足OP=OA+λOB，(其中实数λ为常数)，若存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|=2 6，求F1，F2的坐标及λ的值．
19.(本小题17分)
已知圆O：x2+y2=4，直线l1：y=x+b与圆O交于A，B两点，过A，B分别作直线l2：x=m(m∈R)的垂线，垂足分别为C，D(C,D分别异于A，B)．
(1)求实数b的取值范围；
(2)若m=−4，用含b的式子表示四边形ABDC的面积；
(3)当b=m−1时，若直线AD和直线BC交于点E，证明点E在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程．
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.B
5.D
6.B
7.B
8.C
9.AD
10.ABD
11.AC
12.(2,+∞)
13. 13+1
14.2 13
15.解：(1)联立x+2y−11=02x+y−10=0，解得x=3y=4，即P(3,4)．
∵l⊥l2，不妨设直线l的方程为x−2y+λ=0，
将点P(3,4)代入x−2y+λ=0，得λ=5，
∴直线l的方程为x−2y+5=0．
(2)当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是y=43x，即4x−3y=0；
当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为xa+ya=1，
将点P(3,4)代入xa+ya=1，得a=7，
∴直线l的方程为x7+y7=1，即x+y−7=0．
综上所述，直线l的方程是4x−3y=0或x+y−7=0．
16.解：(1)∵A(−2,0),B(1,32)在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，
∴(−2)2a2+02b2=112a2+(32)2b2=1a>b>0，解得a=2,b= 3，
∴c= a2−b2=1，椭圆C的离心率e=ca=12．
(2)∵动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，
∴由椭圆的定义，得四边形PF1QF2的周长为4a=8，
∴四边形PF1QF2的面积为12⋅|F1F2|⋅(|yP|+|yQ|)=|yP|+|yQ|∈(0,2b]=(0,2 3],
∴四边形PF1QF2的面积的取值范围是(0,2 3]．
17.解：(1)|C1C2|=3，两圆的半径分别为r和4，
①当|C1C2|<|r−4|，即07时，圆C1与圆C2内含；
②当|C1C2|=|r−4|，即r=1或r=7时，圆C1与圆C2内切；
③当|r−4|<|C1C2④当|C1C2|≥r+4时，r∈⌀，即圆C1与圆C2不可能外切也不可能外离．
(2)当r=2时，由(1)得C1与圆C2相交，
设圆C1，圆C2的公切线的方程为y=kx+m，
则|3k+m| k2+1=4，|m| k2+1=2，
所以2|m|=|3k+m|，
所以m=3k或m=−k，代入|m| k2+1=2，
得m=±2 55，
所以公切线的方程为y=2 55x+6 55或y=−2 55x−6 55．
18.解：(1)根据题意可得2b=2c=2a2=b2+c2，
解得b=c=1，a= 2，
所以椭圆的标准方程为x22+y2=1．
(2)设P(x,y)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由OP=OA+λOB，可得x=x1+λx2，y=y1+λy2，
因为A，B在椭圆上，
所以x12+2y12=2，x22+2y22=2，
所以x2+2y2=(x12+λ2x22+2λx12)+2(y12+λ2y22+2λy1y2)
=(x12+2y12)+λ2(x22+2y22)+2λ(x1x2+2y1y2)=2+2λ2+2λ(x1x2+2y1y2)，
因为kOA⋅kOB=y1y2x1x2=−12，
所以x1x2+2y1y2=0，
所以x2+2y2=2+2λ2，即x22+2λ2+y21+λ2=1，
所以点P是椭圆x22+2λ2+y21+λ2=1上的点，
所以两定点F1，F2是该椭圆上的两焦点，
由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2 2+2λ2=2 6，
所以λ=± 2，
又因为 1+λ2= 3，
所以两定点坐标分别为F1(− 3,0)，F2( 3,0)或F1( 3,0)，F2(− 3,0)．
19.解：(1)∵圆O的方程为：x2+y2=4，
∴其圆心为O(0,0)，半径为2，
又直线l1：y=x+b与圆O交于A，B两点，
∴圆心O到直线l1的距离d∴d=|b| 12+(−1)2<2，
解得−2 2∴实数b的取值范围为(−2 2,2 2)；
(2)当m=−4时，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则C(−4,y1)，D(−4,y2)，
联立x2+y2=4y=x+b，可得2x2+2bx+b2−4=0，
∴x1+x2=−b，x1x2=b2−42，∴y1−y2=x1−x2，
∴|y1−y2|= (x1−x2)2= (x1+x2)2−4x1x2= 8−b2，
∵四边形ABDC为直角梯形，
∴四边形ABDC的面积为SABDC=12(|AC|+|BD|)|y1−y2|
=12(x1+4+x2+4)|y1−y2|=(8−b) 8−b22；
(3)证明：由(2)可知A(x1,y1)，B(x2,y2)，
∴C(m,y1)，D(m,y2)，且直线AD、BC的斜率存在，
当b=m−1时，由(2)知：
x1+x2=−b=1−m，x1x2=b2−42=m2−2m−32，y1=x1+m−1，y2=x2+m−1，
∴直线AD的方程为y−y2y1−y2=x−mx1−m，直线BC的方程为y−y1y2−y1=x−mx2−m，
∵AD、BC相交，∴kAD≠kBC，即y1−y2x1−m≠y2−y1x2−m，x1+x2≠2m，
∴1−m≠2m，∴m≠13，
联立y−y2y1−y2=x−mx1−my−y1y2−y1=x−mx2−m，
可得y=y2x1+x2y1−my1−my2x1+x2−2m=(x2+m−1)(x1−m)+(x2−m)(x1+m−1)x1+x2−2m
=2x1x2−(x1+x2)−2m(m−1)x1+x2−2m=m2−2m−3−1+m−2m(m−1)1−m−2m=m2−m+43m−1，
x=x1x2−m(x1+x2)+m2x1+x2−2m+m=x1x2−m2x1+x2−2m=m2−2m−32−m21−m−2m=m2+2m+32(3m−1)，
∴2x−y=3m−13m−1=1，
∴点E在定直线2x−y−1=0上运动．