2024-2025学年甘肃省白银八中高二（上）第一次段考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年甘肃省白银八中高二（上）第一次段考数学试卷（10月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x+ 3y+2=0的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=2，a5+12=a8，则S10=( )
A. 158B. 160C. 162D. 164
3.已知等差数列{an}和等比数列{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且SnTn=2n+1，则a3b5=( )
A. 9B. 10C. 11D. 12
4.已知直线l1：2x+5y+2=0，直线l2是直线l1绕点(−1,0)逆时针旋转45°得到的直线，则直线l2的方程是( )
A. 3x−7y+3=0B. 3x−7y−3=0C. 7x−3y+3=0D. 7x−3y−3=0
5.用数学归纳法证明“1+12+13+…+12n−11)”的过程中，从n=k(k∈N∗,k>1)到n=k+1时，左边增加的项数为( )
A. 2kB. 2k−1C. 2k−1D. k
6.过定点A的直线ax+y−2=0与过定点B的直线x−ay+4a−2=0交于点P(P与A，B不重合)，则△PAB周长的最大值为( )
A. 2+4B. 2 2+4C. 6D. 8
7.已知数列{an}满足an+1=3an+2n，a1=0，关于数列{an}有下述四个结论：
①数列{an+1−an+1}为等比数列；
②an=3n−1−2n+12；
③an+1>an；
④若Sn为数列{an}的前n项和，则Sn=3n+1−2n2−4n−34．
其中所有正确结论的编号是( )
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
8.图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1=0.5，CC1DC1=k1，BB1CB1=k2，AA1BA1=k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3=( )
A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.9
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线 3x+y+1=0的倾斜角为120°
B. 方程k=y−2x+1与方程y−2=k(x+1)可表示同一直线
C. 经过点P(2,1)，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为x−y−1=0
D. 过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线都可用方程(x2−x1)(y−y1)=(y2−y1)(x−x1)表示
10.已知Sn是an的前n项和，a1=2，an=1−1an−1(n≥2)，则下列选项正确的是( )
A. a2021=2B. S2021=1012
C. a3n⋅a3n+1⋅a3n+2=1D. an是以3为周期的周期数列
11.“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数x，如果x是奇数就乘以3再加1，如果x是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设k∈N∗，各项均为正整数的数列{an}满足a1=1，an+1=an2,an为偶数,an+k,an为奇数,则( )
A. 当k=5时，a5=4B. 当n>5时，an≠1
C. 当k为奇数时，an≤2kD. 当k为偶数时，{an}是递增数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l1：mx+y−5=0，l2：3x−y−4=0，且直线l1和l2平行，则实数m的值是______．
13.已知数列{an}满足：a1=1,a2=12，且an+2=an+12an+an+1(n∈N∗)，则数列{an}的通项公式是______．
14.设m∈R，过定点A的动直线x+2+m(y−7)=0和过定点B的动直线mx−y−m+3=0交于点P(x,y)，则|PA|+|PB|的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知数列{an}的首项为1，且an+1=2an(n∈N∗)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=2n−1(an+1)(an+1+1)，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
已知△ABC的两顶点坐标为A(1,−1)，C(3,0)，B1(0,1)是边AB的中点，AD是BC边上的高．
(1)求BC所在直线的方程；
(2)求高AD所在直线的方程．
(3)求过点C且与直线AB平行的直线方程．
17.(本小题15分)
已知直线l1：kx−y−3−4k=0(k∈R)过定点P．
(1)求过点P且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l2方程；
(2)若直线l1交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，△ABO的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l1的方程．
18.(本小题15分)
已知数列{an}满足a1=2，an+1=3an+2(n∈N∗)．
(1)求证：数列{an+1}为等比数列；
(2)设bn=n(an+1)，求数列{bn}的前n项和Sn．
19.(本小题17分)
对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为an；若n为奇数，则对3n+1不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为an.若an=1，则称正整数n为“理想数”．
(1)求20以内的质数“理想数”；
(2)已知am=m−9.求m的值；
(3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列{bn}，记{bn}的前n项和为Sn，证明：Sn0，
O为坐标原点，设△AOB的面积为S，
则S=12⋅OA⋅OB=12⋅4k+3k⋅(4k+3)=12⋅(16k+24+9k)≥12⋅(24+2⋅ 16k⋅9k)=24，
当且仅当16k=9k时，即k=34时取等号，
故S的最小值为24，此时k=34，
直线l1：3x−4y−24=0．
18.解：(1)证明：由a1=2，an+1=3an+2(n∈N∗)，
可得an+1+1=3(an+1)，
则数列{an+1}首项和公比均为3的等比数列；
(2)bn=n(an+1)=n⋅3n，
数列{bn}的前n项和Sn=1⋅3+2⋅32+3⋅33+...+n⋅3n，
3Sn=1⋅32+2⋅33+3⋅34+...+n⋅3n+1，
上面两式相减可得−2Sn=3+32+33+...+3n−n⋅3n+1
=3(1−3n)1−3−n⋅3n+1=(1−2n)⋅3n+1−32，
则Sn=3+(2n−1)⋅3n+14．
19.解：(1)易知a1=1，a2=1，a3=5，a4=1，a5=1，⋯(后续直到20都不满足条件)，
∴2和5为两个质数“理想数”；
(2)由题设可知am=m−9必为奇数，∴m必为偶数，
∴存在正整数p，使得m2p=m−9，即m=92p−1+9：
∵92p−1∈Z，且2p−1≥1，
∴2p−1=1，或2p−1=3，或2p−1=9，解得p=1，或p=2，
∴m=921−1+9=18，或m=922−1+9=12，即m的值为12或18．
(3)证明：显然偶数“理想数“必为形如2k(k∈N∗)的整数，
下面探究奇数“理想数“，不妨设置如下区间：(20,22]，(22,24]，(24,26]，⋯，(22k−2,22k]，
若奇数m>1，不妨设m∈(22k−2,22k]，
若m为“理想数“，则3m+12s=1(s∈N∗，且s>2)，即m=2s−13(s∈N∗，且s>2)，
①当s=2t(t∈N∗，且t>1)时，m=4t−13=(3+1)t−13∈Z；
②当s=2t+1(t∈N∗)时，m=2×4t−13=2×(3+1)t−13∉Z；
∴m=4t−13(t∈N∗，且t>1)，
又22k−2