2024-2025学年河南省信阳市淮滨高级中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

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这是一份2024-2025学年河南省信阳市淮滨高级中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“∀x>0，2x2+x>0”的否定为( )
A. ∀x>0，2x2+x≤0B. ∀x<0，2x2+x≤0
C. ∃x>0，2x2+x<0D. ∃x>0，2x2+x≤0
2.已知集合A={x|−2≤x≤7}，B={x|m+1A. −2≤m≤4B. −23.命题“2x2−5x−3<0”的一个充分不必要条件是( )
A. −124.集合M满足{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4,5}，则集合⫋M的个数为( )
A. 3B. 6C. 7D. 8
5.已知x∈R，则“−1≤x≤2”是“x−2x+1≤0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.若变量x，y满足约束条件3≤2x+y≤96≤x−y≤9则z=x+2y的最小值为( )
A. −10B. −6C. −4D. 0
7.若两个正实数x，y满足1x+4y=1，且不等式x+y4A. {m|−13}
C. {m|−44}
8.定义b−a为集合{x|a≤x≤b}的长度.已知集合M={x|x2−2mx−3m2≤0}，N={x|x2+mx−2m2≤0}，若集合M∩N的长度为4，则M∪N的长度为( )
A. 3B. 4C. 5D. 10
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有( )
A. c20
10.下列说法正确的是( )
A. 若ac2>bc2，则a>bB. 若a>b，c>d，则a−c>b−d
C. 若b>a>0，c>0，则b+ca+c>baD. 若a>b>0，则a+1b>b+1a
11.下列说法正确的有( )
A. 若x<12，则2x+12x−1的最大值是−1
B. 若x∈R，则 x2+4+1 x2+4的最小值为2
C. 若a，b，c均为正实数，且a+b+c=2，则1a+b+4b+c+1a+c的最小值是4
D. 已知a>0，b>0，且a2+ab−2b2=1，则4a−b最小值是2 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a∈R，b∈R，若集合A={a,ba,1}，B={a2,a+b,0}，A⊆B且B⊆A，则a2023+b2023的值为______．
13.不等式x−2x−1≥2的解集是：______．
14.已知实数x，y满足x>y>0，若z=x2+16(x−y)y，则z的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|a(1)求B∪C，B∩C；
(2)设a>0，若“x∈A”是“x∈B∩C”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
(1)若x>2，求x+2x−2的最小值．
(2)若a>0，b>0且a+b=4，求2a+3b的最小值．
17.(本小题15分)
紫砂花盆在明清时期出现后，它的发展之势如日中天，逐渐成为收藏家的收藏目标，随着制盆技术的发展，紫砂花盆已经融入了寻常百姓的生活，某紫砂制品厂准备批量生产一批紫砂花盆，厂家初期投入购买设备的成本为10万元，每生产一个紫砂花盆另需27元，当生产x千件紫砂花盆并全部售出后，厂家总销售额P(x)=5.7x+19,010.(单位：万元)．
(1)求总利润r(x)(单位：万元)关于产量x(单位：千件)的函数关系式；(总利润=总销售额−成本)
(2)当产量x为多少时总利润最大？并求出总利润的最大值．
18.(本小题17分)
设y=ax2+(1−a)x+a−2．
(1)若a=−2，求y=ax2+(1−a)x+a−2<0的解集；
(2)若不等式y≥−2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(3)解关于x的不等式ax2+(1−a)x+a−219.(本小题17分)
已知有限集A={a1,a2,…,an}(n≥2，n∈N)，如果A中的元素ai(i=1,2,…,n)满足a1+a2+…+an=a1×a2×…×an，就称A为“完美集”．
(1)判断：集合{−1− 3,−1+ 3}是否是“完美集”并说明理由；
(2)a1、a2是两个不同的正数，且{a1,a2}是“完美集”，求证：a1、a2至少有一个大于2；
(3)若ai为正整数，求：“完美集”A．
参考答案
1.D
2.D
3.D
4.C
5.B
6.B
7.D
8.D
9.AD
10.AD
11.AD
12.−1
13.[0,1)
14.16
15.解：(1)由B={x|2−x≤0}得2−x≤0，所以x≥2；由C={x|x−3≤0}得x−3≤0，所以x≤3，
所以B∪C=R，B∩C={x|2≤x≤3}．
(2)因为a>0，所以A={x|a因为“x∈A”是“x∈B∩C”的必要不充分条件，所以(B∩C)⫋A，
所以a<23a>3a<3a，解得：1即实数a的取值范围为{1|116.解：(1)∵x>2，∴x−2>0，
∴x+2x−2=x−2+2x−2+2≥2 (x−2)⋅2x−2+2=2 2+2，
当且仅当x−2=2x−2，即x=2+ 2时等号成立，
故x+2x−2的最小值为2+2 2；
(2)∵a>0，b>0，a+b=4，
∴2a+3b=14×(2a+3b)(a+b)=14(2+3+2ba+3ab)≥14(5+2 2ba×3ab)=5+2 64，
∴2a+3b≥5+2 64，
当且仅当2ba=3aba+b=4，即a=4 63(3− 6)b=4(3− 6)时等号成立，
故2a+3b的最小值为5+2 64．
17.解：(1)由题意得当0当x>10时，r(x)=108−10003x−(2.7x+10)=98−10003x−2710x，
综上所述，r(x)=3x+9,010；
(2)由(1)得r(x)=3x+9,010，
则当0当x>10时，r(x)=98−10003x−2710x=98−(10003x+2710x)⩽98−2 10003x×2710x=38(万元)，当且仅当10003x=2710x，即x=1009时等号成立，
又1000x为整数，则此时r(x)<38(万元)，
故当产量x为10千件时总利润最大，且总利润的最大值为39万元．
18.解：(1)若a=−2，则y=−2x2+3x−4<0，对应函数开口向下，
因为Δ=9−4×2×4<0，
所以不等式的解集为R；
(2)由题意可得ax2+(1−a)x+a−2≥−2⇒ax2+(1−a)x+a≥0对一切实数成立，
当a=0时，x≥0不满足题意；
当a≠0时，得a>0(1−a)2−4a2≤0⇒a≥13，
所以实数a的取值范围为{a|a≥13}；
(3)由题意可得ax2+(1−a)x+a−2当a=0时，不等式可化为x<1，所以不等式的解集为{x|x<1}，
当a>0时，ax2+(1−a)x−1<0⇒(ax+1)(x−1)<0⇒−1a当a<0时，ax2+(1−a)x−1<0⇒(ax+1)(x−1)<0，
①当a=−1，解集{x|x≠1}，
②当−1−1a}，
③当a<−1，解集为{x|x>1或x<−1a}．
综上所述，
当a<−1，不等式的解集为{x|x>1或x<−1a}，
当a=−1，不等式的解集为{x|x≠1}，
当−1−1a}，
当a=0时，不等式的解集为{x|x<1}，
当a>0时，不等式的解集为{x|−1a19.解：(1)由(−1− 3)+(−1+ 3)=−2，(−1− 3)(−1+ 3)=−2，则集合{−1− 3,−1+ 3}是“完美集”，
(2)若a1、a2是两个不同的正数，且{a1,a2}是“完美集”，
设a1+a2=a1⋅a2=t>0，
根据根和系数的关系知，a1=2和a2相当于x2−tx+t=0的两根，
由Δ=t2−4t>0，解得t>4或t<0(舍去)，
所以a1⋅a2>4，又a1，a2均为正数，
所以a1、a2至少有一个大于2．
(3)不妨设A中a1由a1a2⋅⋅⋅an=a1+a2+⋅⋅⋅+an当n=2时，即有a1<2，又ai为正整数，所以a1=1，
于是1+a2=1×a2，则a2无解，即不存在满足条件的“完美集”；
当n=3时，a1a2<3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，
于是“完美集”A只有一个，为{1,2,3}．
当n≥4时，由a1a2⋅⋅⋅an−1≥1×2×3×⋅⋅⋅×(n−1)，即有n>1×2×3×⋅⋅⋅×(n−1)，
而n−(n−1)(n−2)=−n2+4n−2=−(n−2)2+2<0，
又(n−1)(n−2)≤1×2×3×⋅⋅⋅×(n−1)，因此n<1×2×3×⋅⋅⋅×(n−1)，故矛盾，
所以当n≥4时不存在完美集A，
综上知，“完美集”A为{1,2,3}．

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