2024-2025学年山东省滨州市北镇中学高二（上）第三次月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省滨州市北镇中学高二（上）第三次月考数学试卷（10月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知两条直线ax−y−2=0和(a+2)x−y+1=0互相垂直，则a等于( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
2.椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为( )
A. x29+y216=1B. x225+y216=1
C. x225+y216=1或x216+y225=1D. x216+y225=1
3.设点M是z轴上一点，且点M到A(1,0,2)与点B(1,−3,1)的距离相等，则点M的坐标是( )
A. (−3,−3,0)B. (0,0,−3)C. (0,−3,−3)D. (0,0,3)
4.方程x2+xy=x表示的曲线是( )
A. 一个点B. 一条直线C. 两条直线D. 一个点和一条直线
5.已知双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2.则其渐近线的方程为( )
A. x± 3y=0B. 3x±y=0C. 2x±y=0D. x±y=0
6.平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，∠A1AD=∠A1AB=π3，AA1=AB=1，E为C1D1的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为( )
A. 0
B. 32
C. 12
D. 34
7.M(x0,y0)为圆x2+y2=a2(a>0)内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为( )
A. 相切B. 相交C. 相离D. 相切或相交
8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15)，则双曲线C的离心率为( )
A. 2B. 32C. 3 55D. 52
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. 直线x−ay−2=0经过定点(2,0)
B. 过(x1,y1)，(x2,y2)两点的所有直线的方程为y−y1y2−y1=x−x1x2−x1
C. 经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2=0
D. 直线x−y−4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是8
10.已知双曲线x2−y23=1，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于A，C和B，D四点(A,B,C,D四点逆时针排列)，且两直线斜率之积为−13，则下列结论正确的是( )
A. 四边形ABCD一定是平行四边形B. 四边形ABCD可能为菱形
C. AB的中点可能为(2,2)D. tan∠AOB的值可能为4 33
11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，E，F分别为棱AA1，CC1，BC的中点，O为侧面正方形AA1B1B的中心，则下列结论正确的是( )
A. 直线AC/​/平面PEF
B. 直线PF与平面POE所成角的正切值为 55
C. 三棱锥O−PEF的体积为23
D. 三棱锥P−BCE的外接球表面积为9π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知△ABC的顶点A(3,0)，B(−3,0)，且周长为16，求顶点C的轨迹方程______．
13.已知双曲线x2−y23=1，与直线y=kx−k+2只有一个公共点，符合题意的直线个数为______．
14.设F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，M在椭圆上运动时，至少有两个位置使得MF1⊥MF2，则椭圆C的离心率范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的顶点A(1,5)，边AB上的中线CM所在的直线方程为2x−y−5=0，边AC上的高BH所在直线方程为x−2y−5=0，求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程．
16.(本小题15分)
如图，三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=15，AC=20.M是棱BC上一点，且AM=12．
(1)证明：BC⊥平面PAM；
(2)若PA=10，求PA与平面PBC所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
圆C过(0,3)、(4,5)两点，且圆心C在直线x−y+8=0上．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍，且被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x− 2y=0，焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线C的标准方程．
(2)已知斜率为−12的直线l与双曲线C交于x轴上方的A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为−18，求△OAB的面积．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为5 23．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)已知动直线y=k(x+1)与椭圆C相交于A、B两点.
①若线段AB中点的横坐标为−12，求斜率k的值；
②若点M(−73,0)，求证：MA⋅MB为定值．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.C
5.A
6.A
7.C
8.B
9.BC
10.AD
11.ABD
12.x225+y216=1(y≠0)
13.3
14.[ 22,1)
15.解：(1)由于BH⊥AC，且BH的直线方程为x−2y−5=0，所以kBH=12，
故kAC=−2，
所以AC所在的直线方程为y=−2x+7；
由于AB边上的中线CM所在的直线的方程为2x−y−5=0，
所以y=−2x+7 2x−y−5=0 ，解得x=3 y=1 ；
故点C(3,1)．
(2)设点B(m,n)，则AB的中点M的坐标(m+12,n+52)，
由于点M在直线2x−y−5=0上，
所以2×m+12−n+52−5=0，整理得2m+2−n−5−10=0，即2m−n−13=0，
同时点M在直线x−2y−5=0，即m−2n−5=0；
故2m−n−13=0 m−2n−5=0 ，解得m=7 n=1 ，
即点B(7,1)，所以kBC=0，
则直线BC的方程为y=1．
16. 证明：(1)因为AB⊥AC，AB=15，AC=20，所以BC=25，
因为AM⋅BC=AB⋅AC=300，
所以AM⊥BC，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
又AM，PA⊂平面PAM，
所以BC⊥平面PAM；
(2)由条件，AB，AC，AP两两垂直，以AB,AC,AP方向为x，y，z轴正方向建系如图，
则B(15,0,0)，C(0,20,0)，P(0,0,10)，BC=(−15,20,0)，BP=(−15,0,10)，
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，
则BC⋅n=0BP⋅n=0，−3x+4y=0−3x+2z=0，所以n=(4,3,6)，
则cs〈n,AP〉=60 61×10=6 61=6 6161，
故PA与平面PBC所成角的正弦值为6 6161．
17.解：(1)两点(0,3)，(4,5)的中垂线方程为：2x+y−8=0，
联立x−y+8=0，解得圆心C(0,8)，
则r=5，
故圆C的方程为：x2+(y−8)2=25；
(2)由直线l且被圆C截得的弦长为6，
故圆心C到直线l的距离为d= 52−32=4，
①若直线过原点，可知直线的斜率存在，设直线为：y=kx，
d=|8| 1+k2=4⇒k=± 3，此时直线l的方程为： 3x±y=0，
②若直线不过原点，设直线为：x2a+ya=1⇒x+2y−2a=0，
d=|16−2a| 1+22=4⇒a=8±2 5，
此时直线l的方程为：x+2y−16−4 5=0，x+2y−16+4 5=0，
综上：直线l的方程为： 3x±y=0，x+2y−16−4 5=0，x+2y−16+4 5=0．
18.解：(1)设双曲线C的焦点F(c,0)，则F到直线x− 2y=0的距离为1，
则|c| 3=1，
则c= 3，
双曲线渐近线的斜率k=ba= 22，
又a2+b2=3，
所以a= 2，b=1，
所以双曲线C的方程：x22−y2=1；
(2)设直线l：y=−12x+t(t>0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=−12x+tx22−y2=1，
消去y，整理得x2+4tx−4(t2+1)=0，
则Δ=16t2+16(t2+1)>0，
所以x1+x2=−4t，x1x2=−4(t2+1)，
所以kOA⋅kOB=y1x1⋅y2x2=(−12x1+t)(−12x2+t)x1x2=14+−t2(x1+x2)+t2x1x2=14+−t2×(−4t)+t2−4(t2+1)=−18，
解得t=1或t=−1(舍去)，
所以x1+x2=−4，x1x2=−8，
由直线l的方程：y=−12x+1，
令x=0，
得y=1，
所以|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2= 16+32=4 3，
所以S△AOB=12×|OD|×(|x1|+|x2|)=12×|OD|×|x1−x2|=12×1×4 3=2 3，
所以△OAB的面积2 3．
19.解：(Ⅰ)因为x2a2+y2b2=1(a>b>0)满足a2=b2+c2，ca= 63，
由已知得12×b×2c=5 23．
联立以上三式，解得a2=5,b2=53，
所以椭圆方程为x25+y253=1．
(Ⅱ)证明：①将y=k(x+1)代入x25+y253=1中，
消元并整理得(1+3k2)x2+6k2x+3k2−5=0，
△=36k4−4(3k2+1)(3k2−5)=48k2+20>0，
设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，∴x1+x2=−6k23k2+1，
因为AB中点的横坐标为−12，所以−3k23k2+1=−12，解得k=± 33．
②由①知x1+x2=−6k23k2+1，x1x2=3k2−53k2+1，
所以MA⋅MB=(x1+73,y1)(x2+73,y2)=(x1+73)(x2+73)+y1y2
=(x1+73)(x2+73)+k2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(73+k2)(x1+x2)+499+k2
=(1+k2)3k2−53k2+1+(73+k2)(−6k23k2+1)+499+k2=−3k4−16k2−53k2+1+499+k2=49，
故MA⋅MB为定值．