2024-2025学年吉林省多校高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年吉林省多校高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A. {x|x=2020}B. {y|(y−2020)2=0}
C. {x=2020}D. {2020}
2.判断下面结论正确的个数是( )
①函数y=1x的单调递减区间是(−∞,0)∪(0,+∞)；
②对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且f(x1)−f(x2)x1−x2>0，则函数f(x)在D上是增函数；
③函数y=|x|是R上的增函数；
④已知f(x+1)=x2+2x+2，则f(x)=x2+1．
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
3.下列关于集合运算的结论，错误的是( )
A. ∁U(A∪B)=∁UA∩∁UBB. A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
C. A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)D. A∪(B∩C)=(A∩B)∪(A∩C)
4.已知集合A={x|ax2−3x+2=0,a∈R}，若集合A中至多有一个元素，则实数a的值是( )
A. a=0 B. a≥98
C. a=0或a≥98 D. 不确定
5.定义集合A，B的一种运算：A⊗B={x|x=b2−a,a∈A,b∈B}，若A={1,4}，B={−1,2}，则A⊗B中的元素个数为( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
6.映射由德国数学家戴德金在1887年提出，曾被称为“基础数学中最为美妙的灵魂”，在计算机科学、数学以及生活的方方面面都有重要的应用.例如，在新高考中，不同选考科目的原始分要利用赋分规则，映射到相应的赋分区间内，转换成对应的赋分后再计入总分.下面是某省选考科目的赋分规则：
等级原始分占比赋分区间
若小华选考政治的原始分为82，对应等级A，且等级A的原始分区间为[81,87]，则小华的政治成绩对应的赋分为( )
A. 91B. 92C. 93D. 94
7.设a，b∈R，则“1a>b>0”是“a<1b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且当x2>x1≥1时，恒有f(x2)−f(x1)x2−x1<0，则不等式f(x−1)>f(2x+1)的解集为( )
A. (−2,0)B. (−2,23)
C. (−∞,−2)∪(23,+∞)D. (−∞,−2)∪(0,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出以下四个判断，其中正确的是( )
A. −5∈N
B. 函数y=x与y= x2不是同一函数
C. 若f(x)的定义域为[−2,2]，则f(2x−1)的定义域为[−12,32]
D. 若函数f(x+1x)=x2+1x2，则f(x)=x2−2，x∈(−∞,−2]∪[2,+∞)
10.函数f(x)=|x|a+1+ax(a∈R，且a≠−1)的图象可能是( )
A. B. C. D.
11.已知x，y均为正实数，则( )
A. xyx2+y2的最大值为12
B. 若x+y=4，则x2+y2的最大值为8
C. 若2x+y=1，则x+1y的最小值为3+2 2
D. 若x2+y2=x−y，则x+y+1x+2y的最小值为169
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=x+1x2−2x+6(x≥0)的最大值为______．
13.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+2x−3，则x∈R时，f(x)= ______．
14.设函数f(x)=x2−ax+a+3，g(x)=ax−2a.若存在x0∈R，使得f(x0)<0与g(x0)<0同时成立，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合U={x|−5≤x≤4}，M={x|−2≤x<3}，∁UN={x|−3(1)集合N；
(2)集合N∩(∁UM)；
(3)集合M∩N，M∪N．
16.(本小题15分)
已知集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}．
(1)是否存在m的值，使得x∈B是x∈A的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由．
(2)若x∈B是x∈A的充分条件，求m的取值范围．
(3)若A∩B=⌀，求m的取值范围．
17.(本小题15分)
我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(m,n)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+m)−n为奇函数.若函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，且当x∈[0,1]时，f(x)=x2−2ax+2a．
(1)求f(0)+f(2)的值；
(2)设函数g(x)=x2−x．
①证明函数g(x)的图象关于点(2,−1)对称；
②若对任意x1∈(0,2)，总存在x2∈(0,2)，使得f(x1)=g(x2)成立，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
阅读材料：
差分和差商
古希腊的著名哲学家芝诺，曾经提出“飞矢不动”的怪论.他说箭在每一个时刻都有一个确定的位置，因而在每一时刻都没有动.既然每个时刻都没有动，他怎么能够动呢？为了驳倒这个怪论，就要抓住概念，寻根究底.讨论有没有动的问题，就要说清楚什么叫动，什么叫没有动.如果一个物体的位置在时刻u和后来的一个时刻v不同，我们就说他在时刻u和v之间动了，反过来，如果他在任意时刻t∈[u,v]有相同的位置，就说它在u到v这段时间没有动.这样，芝诺怪论的漏洞就暴露出来了.原来，动或不动都是涉及两个时刻的概念.芝诺所说“在每一个时刻都没有动”的论断是没有意义的!函数可以用来描述物体的运动或变化.研究函数，就是研究函数值随自变量变化而变化的规律.变化的情形至少要看两个自变量处的值，只看一点是看不出变化的.设函数y=f(x)在实数集S上有定义.为了研究f(x)的变化规律，需要考虑它在S中两点处的函数值的差.定义(差分和差商)称f(v)−f(u)为函数f(x)从u到v的差分，这里若无特别说明，均假定u≠v.通常记ℎ=v−u，ℎ叫做差分的步长，可正可负.差分和它的步长的比值f(v)−f(u)v−u叫做f(x)在u和v的差商.显然，当u和v位置交换时，差分变号，差商不变.随着f(x)所描述的对象不同，差商可以是平均速度，可以是割线的斜率，也可以是曲边梯形的平均高度.一般而言，当u(1)计算一次函数f(x)=kx+c的差商．
(2)请通过计算差商研究函数f(x)=x22+1x的增减性．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=(a2−4)x2+4bx−b2(a∈R,b∈R)．
(1)问题：若关于x的方程f(x)=(a2−3)x2+(a−3+4b)x+a−b2，_____，求实数a的取值范围；
从下面给出的①②③三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．
①有两个不等正实根；②有两个相异负实根；③有1个正实根和1个负实根．
(若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分.)
(2)当b=1时，解关于x的不等式f(x)≤0；
(3)当0参考答案
1.C
2.C
3.D
4.C
5.C
6.C
7.A
8.C
9.BCD
10.ABD
11.ACD
12.12
13.x2+2x−3,x>00,x=0−x2+2x+3,x<0
14.(7,+∞)
15.解：(1)借助数轴可得，

∴N={x|−5≤x≤−3或1(2)∵M={x|−2≤x<3}，

∴∁UM={x|−5≤x<−2或3≤x≤4}．

N∩(∁UM)={x|−5≤x≤−3或3≤x≤4}．
(3)M∩N={x|1
M∪N={x|−5≤x≤−3或−2≤x≤4}．
16.解：(1)若存在m的值满足x∈B是x∈A的充要条件，则A=B，
得−2=m+15=2m−1，解得m=−3m=3，无解，
故不存在这样的m符合题意；
(2)若x∈B是x∈A的充分条件，则A⊆B，
当B=⌀时，m+1>2m−1，解得m<2；
当B≠⌀时，m+1≤2m−1−2≤m+12m−1≤5，解得2≤m≤3，
综上，m≤3，即实数m的取值范围为(−∞,3]；
(3)若A∩B=⌀，
当B=⌀时，m+1>2m−1，解得m<2；
当B≠⌀即m+1≤2m−1即m≥2时，
2m−1<−2或54，
综上，m<2或m>4，即实数m的取值范围为(−∞,2)∪(4,+∞)．
17.解：(1)∵y=f(x+1)−1为奇函数，
∴f(x+1)−1=−f(−x+1)+1，得f(x+1)+f(1−x)=2，
则令x=1，得f(0)+(2)=2；
(2)
①证明：令t(x)=g(x+2)+1=x+22−(x+2)+1=−2x，
∵t(x)=−2x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称，
且t(−x)=2x=−t(x)，
∴t(x)为奇函数，
∴函数g(x)的图象关于点(2,−1)对称．
②g(x)=22−x−1在区间(0,2)上单调递增，∴g(x)在区间(0,2)上的值域为(0,+∞)，记f(x)在区间(0,2)上的值域为B，
由对∀x1∈(0,2)，总∃x2∈(0,2)，使得f(x1)=g(x2)成立知B⊆(0,+∞)，
(i)当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递增，由对称性知，f(x)在(1,2)上单调递增，∴f(x)在(0,2)上单调递增，
只需f(0)=2a≥0即可，得a≥0，∴a=0满足题意；
(ii)当0∴f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,2−a)上单调递增，在(2−a,2)上单调递减，
∴B=[f(a),f(2−a)]或B=(f(2),f(0))，
当00，f(2)=2−f(0)=2−2a>0，
∴0(iii)当a≥1时，f(x)在(0,1)上单调递减，由对称性知，f(x)在(1,2)上单调递减，∴f(x)在(0,2)上单调递减，
只需f(2)=2−2a≥0即可，得a≤1，∴a=1满足题意．
综上所述，a的取值范围为[0,1]．
18.解：(1)一次函数f(x)=kx+c的定义域内任取u，v∈R，且u≠v，
∵f(v)−f(u)=kv+c−ku−c=k(v−u)，
∴差商为f(v)−f(u)v−u=kv−kuv−u=k，
一次函数f(x)=kx+c的差商处处为k；
(2)函数f(x)=x22+1x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
设u计算f(x)在[u,v]的差商为f(v)−f(u)v−u=v22+1v−(u22+1u)v−u=v2−u22+u−vvuv−u=v+u2−1vu，
当u从而f(v)−f(u)v−u=v+u2−1vu<0，
故函数f(x)在(−∞,0)递减；
当0从而f(v)−f(u)v−u=v+u2−1vu<0，
故函数f(x)在(0,1]递减；
当1≤u则v+u2>1>1vu，
从而f(v)−f(u)v−u=v+u2−1vu>0，
故函数f(x)在[1,+∞)递增；
综上所述，函数f(x)=x22+1x在(−∞,0)和(0,1]递减，在[1,+∞)递增．
19.解：(1)方程f(x)=(a2−3)x2+(a−3+4b)x+a−b2等价于x2+(a−3)x+a=0．
若选①，原问题等价于(a−3)2−4a>03−a>0a>0，解得0若选②，原问题等价于(a−3)2−4a>03−a<0a>0，解得a>9，即实数a的取值范围为(9,+∞)．
若选③，原问题等价于(a−3)2−4a>0a<0，解得a<0，即实数a的取值范围为(−∞,0)．
(2)当b=1时，不等式f(x)≤0等价于(a2−4)x2+4x−1≤0．
①当a2−4=0，即a=±2时，不等式化为4x−1≤0，解得x≤14；
②当a2−4>0，即a<−2或a>2时，(a2−4)x2+4x−1=0的两根为x1=12−a，x2=12+a．
若a>2，则12−a<0<12+a，解不等式(a2−4)x2+4x−1≤0，得12−a≤x≤12+a；
若a<−2，则0<12+a<12−a，解不等式(a2−4)x2+4x−1≤0，得12+a≤x≤12−a．
③a2−4<0，即−2若−2若0若a=0时，则不等式(a2−4)x2+4x−1≤0等价于−4x2+4x−1≤0，即(2x−1)2≥0，解集为R．
综上所述，当a>2时，不等式的解集为[12−a,12+a]；
当0当a=0时，不等式的解集为R；当−2当a<−2时，不等式的解集为[12+a,12−a]；当a=±2时，不等式的解集为(−∞,14].
(3)f(x)≤0，等价于[(a+2)x−b][(a−2)x+b]≤0．
因为解集中整数解恰有2023个，所以a+2与a−2均为正数，可得a>2．
由0则2023个整数解为0，−1，−2，…，−2022，
可得−2023结合0结合a>2，得23%
[91,100]
B+
79%
[81,90]
B
16%
[71,80]
C+
24%
[61,70]
C
24%
[51,60]
D+
16%
[41,50]
D
7%
[31,40]
E
3%
[21,30]
转换对应赋分T的公式：Y2−YY−Y1=T2−TT−T1
其中，Y1，Y2，分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；T1，T2，分别表示原始分对应等级的赋分区间下限和上限(T的结果按四舍五入取整数)