2024-2025学年福建省莆田四中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省莆田四中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={−1,0,2,m}，B={−1,2,m2}，且A∪B=A，则m等于( )
A. 0或1B. 0C. 1D. −1或0
2.下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是( )
A. y=1xB. y=−x|x|C. y=ex−e−xD. y=−lnx
3.“a≥5”是“∀x∈[−3,2]，x2−3−a≤0”成立的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数f(x)=−2x2+ax−2a,x>1−ex−1−x,x≤1在R上单调递减，则a的取值范围为( )
A. [−2,4]B. [4,+∞)C. (−∞,4]D. [0,4]
5.嘉兴河流众多，许多河边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线(Catenary).已知函数f(x)=a2(exa+e−xa)(a>0)的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是( )
A. f(x)为奇函数B. f(x)的最大值是a
C. f(x)在(−∞,+∞)上单调递增D. 方程f(x)=2a有2个实数解
6.已知四面体P−ABC的每条棱长都为2，若球O与它的每条棱都相切，则球O的体积为( )
A. 26πB. 23πC. 2 23πD. 2π
7.19世纪美国天文学家西蒙⋅纽康和物理学家本⋅福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本⋅福特定律，即在大量10进制随机数据中，以n(n∈N+)开头的数出现的概率为P(n)=lgn+1n，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若n=k19P(n)=lg38−lg32lg32+lg35(k∈N+,k≤19)(说明符号k=ijak=ai+ai+1+⋯+aj(k,i,j∈N+))，则k的值为( )
A. 3B. 5C. 7D. 9
8.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)−2f(x)(x+1)2的解集为( )
A. (−1, e−1)B. (−1, e)C. (−1,e)D. ( e,e)
9.已知a、b、c均为实数，且 a> b，则下列不等式正确的是( )
A. ac2>bc2B. ( 22)a>( 22)bC. ba>abD. b+2a+2>ba
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.在圆锥PO中，PO为高，AB为底面圆的百径，圆锥的底面半径为 2，母线长为2点C为PA的中点，圆锥底面上点M在以AO为直径的圆上(不含A、O两点)，点H在PM上，且PA⊥OH，当点M运动时，则( )
A. PA⊥CH
B. AM+MO≤2
C. 直线OA与平面PAM所成的角可能为60°
D. 三棱锥M−PAO的外接球体积为定值
11.定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=f(3axx2+a)，其值域是M.若对于任何满足上述条件的f(x)都有{y|y=f(x),x∈[0,1]}=M，则实数a的取值必可以为( )
A. 14B. 12C. 34D. 1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正四棱锥P−A1B1C1D1中，PB1⊥PD1.用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体ABCD−A1B1C1D1，AB=1，A1B1=2，则几何体ABCD−A1B1C1D1的体积为______．
13.已知函数f(x)的定义域是R，f(32+x)=f(32−x)，f(x)+f(6−x)=0，当0⩽x⩽32时，f(x)=4x−2x2，则f(2024)= ______．
14.已知函数f(x)=4x+(a−2)x⋅2x−2ax2有4个不同的零点，则a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，PC=PD=5，点E，G分别是DC，DP的中点，点F在棱AB上且AF=3FB．
(1)求证：FG//平面BPE；
(2)求直线FG与平面PBC所成的角的正弦值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2alnx+34x2−(a+3)x.(a∈R)
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为f(x)=−x+b，求a和b的值；
(2)讨论f(x)的单调性．
17.(本小题15分)
已知f(x)=2x+a2x+b是定义在R上的奇函数．
(1)试判断函数f(x)的单调性；
(2)已知g(x)=1+f(x)1−f(x)，若对任意x∈R且x≠0，不等式g(2x)+1g(2x)≥m(g(x)+1g(x))−18恒成立，求实数m的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CA⊥CB，侧面AA1B1B为菱形，△AB1C为等边三角形．
(1)求证：CB⊥AB1；
(2)若CA=CB=4，点E是侧棱CC1上的动点，且平面AB1E与平面ABC的夹角的余弦值为14，求点B到平面AB1E的距离．
19.(本小题17分)
定义：如果函数f(x)在定义域内，存在极大值f(x1)和极小值f(x2)，且存在一个常数k，使f(x1)−f(x2)=k(x1−x2)成立，则称函数f(x)为极值可差比函数，常数k称为该函数的极值差比系数.已知函数f(x)=x−1x−alnx．
(1)当a=52时，判断f(x)是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在a使f(x)的极值差比系数为2−a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
(3)若3 22≤a≤52，求f(x)的极值差比系数的取值范围．
参考答案
1.C
2.B
3.B
4.D
5.D
6.B
7.B
8.A
9.D
10.ABD
11.AB
12.7 26
13.2
14.(−∞,−2)∪(−2,−eln2)
15.解：(1)证明：因为PC=PD=5，点E是DC的中点，所以PE⊥CD，

又侧面PCD⊥底面ABCD，侧面PCD∩底面ABCD=CD，PE⊆平面PCD，所以PE⊥平面ABCD，
如图以点E为坐标原点，直线EC，EP为y轴和z轴建立空间直角坐标系，
则E(0,0,0),P(0,0,4),F(6,32,0),D(0,−3,0),B(6,3,0),C(0,3,0)
所以G(0,−32,2)，所以FG=(−6,−3,2),EP=(0,0,4),EB=(6,3,0)
设平面BPE的一个法向量为m=(x,y,z)，则n⋅EP=4z=0n⋅EB=6x+3y=0，
取y=2得x=−1，z=0，所以n=(−1,2,0)，所以FG⋅n=−1×(−6)+2×(−3)=0，即FG⊥n，
又FG不在平面BPE内，所以FG//平面BPE．
(2)由(1)知，FG=(−6,−3,2),BP=(−6,−3,4),BC=(−6,0,0)
设n=(x,y,z)是平面PBC的一个法向量，则n⋅BC=−6x=0n⋅BP=−6x−3y+4z=0，
取z=3得x=0，y=4，所以n=(0,4,3)，
所以cs〈n,FG〉=n⋅FG|n||FG|=−12+6 36+9+4×5=−635，
设直线FG与平面PBC所成的角为θ，则sinθ=|cs〈n,FG〉|=|−635|=635，
所以直线FG与平面PBC所成的角的正弦值为635．
16.解：(1)f(x)=2alnx+34x2−(a+3)x，则f′(x)=2ax+32x−a−3，
曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为f(x)=−x+b，
则f′(1)=a−32=−1，解得a=12，
由f(1)=−a−94=−1+b，解得b=−74．
(2)f(x)=2alnx+34x2−(a+3)x，函数定义域为(0,+∞)，
则f′(x)=2ax+32x−a−3=(3x−2a)(x−2)2x，
令f′(x)=0，解得x=2或x=2a3，
若a≤0，则当x∈(0,2)时，f′(x)0，f(x)单调递增，
若02，不妨设x11，
由于f(x1)−f(x2)=x1−1x1−alnx1−(x2−1x2−alnx2)
=(x1−x2)(1+1x1x2)−alnx1x2
=2(x1−x2)−alnx1x2=(2−ax1−x2lnx1x2)(x1−x2)，
所以2−a=2−ax1−x2lnx1x2，从而1x1−x2lnx1x2=1，
得x2−1x2−2lnx2=0,(∗)
令g(x)=x−1x−2lnx(x>1),g′(x)=x2−2x+1x2=(x−1)2x2>0，
所以g(x)在(1,+∞)上单调递增，有g(x)>g(1)=0，
因此(∗)式无解，即不存在a使f(x)的极值差比系数为2−a．
(3)由(2)知极值差比系数为2−ax1−x2lnx1x2，
即2−x1+x2x1−x2lnx1x2，不妨设00，
所以p(t)在[14,12]上单调递增，所以p(14)≤p(t)≤p(12)，
即2−103ln2≤p(t)≤2−3ln2．
故f(x)的极值差比系数的取值范围为[2−103ln2,2−3ln2]．