上海市静安区2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试卷(解析版)

这是一份上海市静安区2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试卷(解析版)，共10页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有10题，满分35分，其中1~5题每题3分，6~10题每题4分.）
1. 已知向量，则______．
【答案】
【解析】，故.
故答案为：.
2. 若复数满足（为虚数单位），则______．
【答案】
【解析】，故，故.
故答案为：.
3. 已知（其中为正整数）是公比为的等比数列，且，则______．
【答案】3
【解析】由题意可知，故，所以.
故答案为：3.
4. 已知角的终边经过点，则______．
【答案】
【解析】由题得，
故由三角函数定义得，
所以.
故答案为：.
5. 已知向量，且，则实数______．
【答案】2
【解析】由题，又，故，.
故答案为：.
6. 已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是______．
【答案】
【解析】设，则，
故，即，解得，
故点的坐标为.
故答案为：.
7. 在中，若，则___________
【答案】
【解析】由正弦定理，且，则，
设，
由余弦定理，可得.
故答案为：.
8. 设是正实数，将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到的曲线仍然是某个函数的图象，则的最大值______．
【答案】
【解析】如图：
函数在第一象限的射线的倾斜角为，图象关于轴对称，
将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，当时，
所得图象与垂直于的直线还是只有1个交点，所以仍然是函数的图象；
当时，旋转所得的图象是一段为，
一段是轴的正半轴（包括原点），不是函数图象；
当时，如图所示，则图形不是函数的图象，又，故的最大值为.
故答案为：.
9. 已知角的终边经过点，则______．
【答案】
【解析】角的终边经过点，
可得，
因为，，所以，可得.
故答案为：.
10. 函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则______．
【答案】
【解析】由图可得，又，故，
，又，故，
则有，，即，，
又，则，即，
由，则，
即，
故或，，
即或，，
又，故，
则.
故答案：.
二、选择题（本大题共有3题，满分12分，每题4分.）
11. 已知，则角的终边所在的象限为第（ ）象限．
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】C
【解析】由，则角的终边所在的象限为第三象限.
故选：C.
12. 已知函数，且，则（ ）
A. 11B. 14C. 17D. 20
【答案】B
【解析】因为，故，
而，故.
故选：B.
13. 若函数在内是严格减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数在内是严格减函数，
所以，，故.
故选：D.
三、解答题（本大题共有5题，满分53分.）
14. 已知一元二次方程．
（1）在复数范围内解该方程；
（2）设这个方程的两个复数根在复平面上所对应的向量分别为（为坐标原点），求与夹角的大小．（结果用反三角函数值表示）
解：（1）因为，所以，
所以方程有一对虚数根，设为、，
又，
解得，．
（2）由（1）可得，，
所以，
所以与夹角的大小为．
15. 设是数列的前项和（其中为正整数），已知，且数列是等差数列，求．
解：设公差为，则，
又，所以，
解得，
所以，故．
16. 化简下列各式：
（1）；
（2）．
解：（1）法一：．
法2：
.
（2）
.
17. 已知函数．
（1）某同学打算用“五点法”画出函数在某一周期内的图象，列表如下：
请在答题纸上填写上表的空格处数值，并写出函数的表达式和单调递增区间；
（2）将（1）中函数的图象向下平移个单位得到的图象，若函数在闭区间上恰有两个零点，请直接写出实数的取值范围．
解：（1）根据“五点法”，完成列表：
所以表中所填的数据为：，
由表格可知：，，，
所以，
由，，
得，，
所以函数单调递增区间．
（2）根据列出得表格，可以做出函数得图象，如下：
该问题转化为方程在区间有两个交点，
又，，，
所以的取值范围是．
18. 在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为（为时间单位：秒），那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？
该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设：
1．通过路口的车辆长度都相等；
2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等；
3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶；
4．离路口信号灯最近第一辆车在绿灯亮后延迟时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止；
5．按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生．
一名建模爱好者收集数据整理如下：
1．车长设为，取，车距设为，取，第一辆车离停车线距离为；
2．加速度记作，取，汽车在匀加速运动时段行驶路程；
3．前后车启动延迟时间记为，取；
4．第辆车启动延迟时间；
5．该十字路口限速，换算为；
6．第辆车到达最高限速的时间为取．
设第辆车在绿灯持续时间内驶离停车线的距离为．根据上述假设与数据，，依次类推．请你解决下列问题：
（1）求；（结果保留一位小数，单位：）
（2）对于第辆车，写出函数的分段表达式；
（3）求在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口．
解：（1），
.
（2）对第辆车，列出函数的分段表达式，相当于已经解决一般化的问题，
通过对小汽车三个运动阶段的分析，整理得：
，
其中，，
或者写成.
（3）由于十字路口亮绿灯的时长为，即，
于是，该实际问题可表述为数学问题：求的最大，与计算的方法相同，计算，
，
第8辆车没有行驶到停车线时绿灯已经结束，没能通过十字路口．
在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向至多有7辆汽车通过该十字路口.0
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