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    山东省济宁市泗水县2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(解析版)

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    山东省济宁市泗水县2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(解析版)

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    这是一份山东省济宁市泗水县2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(解析版),共12页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
    1. 已知向量,,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】因为,所以=(5,7).
    故选:A.
    2. 如图,是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图(图中虚线分别与轴和轴平行),则△OAB的面积为( )
    A. B. C. 24D. 48
    【答案】D
    【解析】根据题中直观图及斜二测画法,还原出水平放置的△OAB,
    其面积为.
    故选:D.
    3. 将正弦函数的图象先向左平移个单位长度,再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,最后得到函数的图象,则( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】将函数的图象向左平移个单位长度,
    得到函数的图象,
    再将所得函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,
    得到的图象,∴.
    故选:B.
    4. 复数(为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
    A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
    【答案】B
    【解析】,对应点为,位于第二象限.
    故选:B.
    5. 若一个球的外切正方体的表面积等于6 cm2,则此球的体积为( )
    A. cm3B. cm3C. cm3D. cm3
    【答案】A
    【解析】设球的半径为R cm,正方体棱长为a cm,
    ∴6a2=6,∴a=1cm,即2R=1,∴Rcm,
    ∴球的体积
    故选:A.
    6. 已知函数在区间上有零点,则实数m的取值范围为( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】令,即,令,
    因为,所以,所以,
    即,
    依题意与在上有交点,则,所以,
    即.
    故选:D.
    7. 在中,,,,D,E分别是边上的三等分点,则的值是( )
    A. 6B. C. 8D.
    【答案】B
    【解析】因为D,E分别是边上的三等分点,不妨设,,
    所以,由可得,,即,
    同理可得,,
    所以.
    故选:B.
    8. 已知函数(,,均为正的常数)的最小正周期为,当时,函数取得最小值,则下列结论正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】依题意得,函数f(x)的周期为π,
    ∵ω>0,∴ω2,
    又∵当x时,函数f(x)取得最小值,
    ∴2φ=2kπ,k∈Z,可解得:φ=2kπ,k∈Z,
    ∴f(x)=Asin(2x+2kπ)=Asin(2x),
    ∴f(﹣2)=Asin(﹣4)=Asin(4+2π)>0,
    f(2)=Asin(4)<0,
    f(0)=AsinAsin0,
    又∵4+2π,而f(x)=Asinx在区间(,)是单调递减的,
    ∴f(2)<f(﹣2)<f(0).
    故选:A.
    二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.)
    9. 设是复数,则( )
    A. 若,则B. 若,则
    C. 若,则D. 若,则
    【答案】ABC
    【解析】对于A:若,则,所以,故A正确;
    对于B:若,根据共轭复数的定义可得,故B正确;
    对于C:∵,若,即,可得,
    故C正确;
    对于D:例如,显然成立,但,即,故D错误.
    故选:ABC.
    10. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列结论正确的是( )
    A. 若,则
    B. 若,则△ABC为等腰三角形
    C. 若,,,则符合条件的三角形有2个
    D. 若△ABC的面积,则
    【答案】ACD
    【解析】对于A:在中,由正弦定理得:,
    为的外接圆半径,
    因为,即,所以,故A正确;
    对于B:因为,即,
    展开整理得,又,
    所以或,故为直角三角形或等腰三角形,故B错误;
    对于C:因为,,,所以,所以,
    所以符合条件的三角形有两个,故C正确;
    对于D:三角形面积且可得

    因为,所以,故,所以,故D正确.
    故选:ACD.
    11. 一对不共线的向量,的夹角为θ,定义为一个向量,其模长,其方向同时与向量,垂直(如图1所示).在平行六面体中(如图2所示),下列结论正确的是( )
    A.
    B. 当时,
    C. 若,,则
    D. 平行六面体的体积
    【答案】ABD
    【解析】对于A,,而,
    故,正确;
    对于B,,当,有意义,
    则,正确;
    对于C,,,,,
    ,错误;
    对于D,的模长即为平行六面体底面OABC的面积,且方向垂直于底面,由数量积的几何意义可知,就是在垂直于底面OABC的方向上的投影向量的模长(即为高)乘以底面的面积,即为体积,正确.
    故选:ABD.
    三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.)
    12. 在复平面内,把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转,则所得向量对应的复数为______(用代数形式表示).
    【答案】
    【解析】复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转,
    则所得向量对应的复数为
    故答案:.
    13. 已知,,,且是与方向相同的单位向量,则在上的投影向量为______.
    【答案】
    【解析】设与的夹角,则,
    所以在上的投影向量为.
    故答案为:.
    14. 如图,在三棱锥中,,,过点A作截面,分别交侧棱PB,PC于E,F两点,则△AEF周长的最小值为______.
    【答案】
    【解析】如图,沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内,如图所示:
    则即为的周长的最小值,
    在中,,,
    由余弦定理得:.
    故答案为:.
    四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
    15. 已知复数,,其中是实数.
    (1)若,求实数的值;
    (2)若是纯虚数,是正实数,求.
    解:(1)∵,,,
    ∴,
    从而,解得a=2,
    所以实数a的值为2.
    (2)依题意得:

    因为是纯虚数,所以:,从而a=2或;
    又因为a是正实数,所以a=2,
    当a=2时,,
    因为,,,,……,,,,,
    (),
    所以

    所以.
    16. 函数的部分图像如图所示.
    (1)求函数的解析式;
    (2)求在上的单调递减区间及对称轴.
    解:(1)由图可得,周期为,所以,
    因为,所以;
    根据图像可得,解得,
    因为,所以,所以.
    (2)令,
    解得,
    令,
    解得对称轴方程为:;
    所以单调递减区间为;
    对称轴方程为:,
    所以在上的单调减区间为;
    在上的对称轴方程为和.
    17. 已知向量,,且与的夹角为.
    (1)求;
    (2)若与的夹角为钝角,求实数取值的集合.
    解:(1)向量,,可得,,且,
    因为与的夹角为,可得,
    解得或(舍),
    所以,则,
    所以.
    (2)由向量,,
    可得,,
    由,解得,
    当向量与共线时,可得,解得,
    所以实数的取值集合为.
    18. 记的内角的对边分别为,已知.
    (1)证明:;
    (2)若,求的周长.
    解:(1)证明:因为,
    所以,
    所以,
    即,所以.
    (2)因为,
    由(1)得,由余弦定理可得,则,
    所以,故,所以,
    所以的周长为.
    19. 设函数,将函数的图象向右平移个单位长度后图象关于原点对称.
    (1)求函数的单调递增区间;
    (2)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,
    ①若,求的值;
    ②若,,求c的取值范围.
    解:(1)依题意,,

    而函数的图象关于原点对称,
    则有,即,而,则,
    因此,
    由,得,
    所以函数的单调递增区间是.
    (2)由(1)知,,即,
    在中,,即,则,解得,
    ①,由余弦定理得:
    ,因此,
    所以.
    ②中,,则有,得,
    又,因此,由正弦定理,
    得,
    显然,即,从而,
    所以c的取值范围是.

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