辽宁省辽阳市2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)

这是一份辽宁省辽阳市2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
2. 下列各式：，，，，，，其中分式共有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】，分母中不含字母，不是分式；
，是分式；
，是整式，不是分式；
，是分式；
，是分式；
，是单项式，属于整式，不是分式，是常数；
∴分式共有3个，
故选： B．
3. 如图，沿边所在直线向右平移得到，则下列结论不一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据平移，，则A正确，不符合题意；
根据对应角相等，则，则B正确，不符合题意；
根据平移的性质，，则，C正确，不符合题意；
根据平移可得，，与不一定相等，则D错误，符合题意；
故选： D．
4. 牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一，我们用反证法证明命题“三角形中不能两个直角”，应先假设（ ）
A. 三角形中有一个内角是直角B. 三角形中有两个内角是直角
C. 三角形中有三个内角是直角D. 三角形中不能有内角是直角
【答案】B
【解析】用反证法证明：“三角形中不能两个直角”时，
第一步先假设三角形中有两个内角是直角，故选：B．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A.，原选项错误，不符合题意；
B.当时，，原选项错误，不符合题意；
C.，原选项错误，不符合题意；
D.，原选项正确，符合题意；
故选：D ．
6. 用图1中的正方形和长方形纸片可拼成图2所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由图可知，四个图形拼成了正方形，他们面积相等，则
，
故选：B．
7. 解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
整理得，
等式两边同时乘以去分母得，，
整理得，，
故选：C ．
8. 如图，正比例函数(k是常数，)的图象与一次函数的图象相交于点P，点P的纵坐标为4，则不等式的解集是( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵一次函数的图象经过点P，点P的纵坐标是4，
∴，
∴，即，
由图可得，不等式的解集是．故选B．
9. 绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水吨数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】原来每天的用水量为：，
现在每天的用水量为：，
∴现在比原来每天节约用水吨数是：，故选：．
10. 在的正方形网格中，点A、B、C均为小正方形的顶点，老师要求同学们作边上的高. 现有无刻度的直尺和圆规，两同学提供了如下两种方案，对于方案，，下列说法正确的是（ ）
A. I可行、不可行B. I不可行、可行
C. I、都可行D. I、都不可行
【答案】C
【解析】方案I是过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法，故方案I可行，
方案是根据网格线的特征作图，故方案可行，
故选：C．
第二部分非选择题
二、填空题
11. 已知分式（其中为常数）满足表格中的信息：
则的值为______．
【答案】
【解析】当时，分式无意义，则，
解得，；
当时，，
解得，；
∴当时，，且
解得，，
检验，当时，原分式方程有意义，
∴是分式方程的解，
故答案为： ．
12. 已知在家庭电路中电灯两端的电压U为，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过．设所选用灯泡的电阻为R（），则R的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题意，得，
解得．
的取值范围是．
故答案为：．
13. 如图，在中，是边的垂直平分线，分别交于点两点，连接，，，则的度数是______°．
【答案】
【解析】∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为： ．
14. 定义一种新运算“*”：．如：．则下列结论：①；②的解是；③的解是；④若，则．其中错误的结论是______（填序号）．
【答案】②④
【解析】∵，
∴，
∴①（），计算正确，不符合题意；
②，
解得，，
检验，当，原分式方程有意义，
∴原分式方程解为，故原式计算错误，符合题意；
③，，
∴，解得，，
检验，当时，原分式方程有意义，
∴原分式方程的解为，故计算正确，不符合题意；
④，
解得，，
检验，当时，原分式方程的分母不为零，
∴是原分式方程的解，原式计算错误，符合题意；
综上所述，错误的有②④，故选：②④ ．
15. 如图，在中，，，，点为边上一点，点与点关于直线对称，连接，若是直角三角形，则的长为______．
【答案】或
【解析】在中，，
∴，
第一种情况，如图所示，当时，是直角三角形，
∵点是点关于的对称点，
∴，，
当时，，
∴点三点共线，
∴，，
∴，
∵对称，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，；
第二种情况，如图所示，当，是直角三角形，延长，过点作的延长线于点，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，，
∴，，
∵对称，∴，，
在中，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
第三种情况，如图所示，当时，是直角三角形，
∵对称，∴，，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，与点在上矛盾，
∴此情况不符合题意；
综上所述，的长为或，
故答案为： 或．
三、解答题
16. 计算
（1）解不等式组：；
（2）因式分解：．
（1）解：，
解不等式①得；
解不等式②得；
原不等式组的解集为；
（2）解：
．
17. 先化简，再求值：，其中．
解：
，
当，∴原式．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
（1）把向左平移个单位后得到对应的，请画出；
（2）把绕原点旋转后得到对应的，请画出；
（3）观察图形：判断与是否成中心对称？如果是，请直接写出它们的对称中心的坐标；如果不是，请说明理由；
（4）请求出的面积．
（1）解：根据平移的性质，作图如下，
（2）解：根据旋转的性质，作图见图示；
（3）解：根据中心对称图形的性质，连接对应点的连线交于点，
∴与是中心对称图形，对称中心的坐标为；
（4）解：，
∴的面积为．
19. “垃圾分类一小步，低碳生活一大步”，某单位积极响应垃圾分类的号召，从批发市场购进了甲、乙两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知乙品牌垃圾桶比甲品牌垃圾桶每个贵50元，用3200元购买甲品牌垃圾桶的数量是用2600元购买乙品牌垃圾桶数量的2倍．
（1）购买一个甲品牌、一个乙品牌的垃圾桶各需多少元？
（2）若该单位决定再用不超过5800元购进甲、乙两种品牌垃圾桶共60个，恰逢批发市场对这两种品牌垃圾桶的售价进行调整；甲品牌比上一次购买时售价提高了，乙品牌按上一次购买时售价的八折出售，那么该单位此次最少购买多少个甲品牌垃圾桶？
（1）解：设一个甲品牌的垃圾桶需要元，则一个乙品牌的垃圾桶需要元．
根据题意，得，
解得：，
经检验，是该分式方程的解．
∴．
答：购买一个甲品牌的垃圾桶需要80元，购买一个乙品牌的垃圾桶需要130元．
（2）解：设该单位此次购买个甲品牌垃圾桶，则购买个乙品牌垃圾桶．
根据题意，得，
解得：
∵取整数，
∴的最小值为28．
答：该单位此次最少购买28个甲品牌垃圾桶．
20. （1）小明同学用三角尺可以画角平分线；如图所示，在已知的两边上分别取、使、再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线相交于点，那么时线就是的平分线．请你证明这一结论．
（2）小华同学认为直线也是线段的垂直平分线．你认为小华同学的判断正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由．
（1）证明：由题意得，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴射线为的平分线；
（2）解：正确．
理由：连接，交于点D，
∵，
∴为等腰三角形，
∵为的平分线，
∴垂直平分，
即直线是线段的垂直平分线．
21. 甲、乙两辆摩托车从相距的两地相向而行，图中，分别表示甲、乙两辆摩托车离地的距离与行驶时间之间的函数关系．求：

（1）哪辆摩托车的速度较快？
（2）求甲、乙两辆摩托车从相遇到两辆摩托车之间距离再次小于的这段时间的取值范围？
（1）解：由图可得，甲、乙行驶的路程相等，乙用的时间短，故乙的速度较快；
（2）解：设直线的表达式为：，
将代入上式得：，则，
则直线的表达式为：，
同理可得，直线的表达式为：，
根据题意，得，解得：，
根据题意，得，
解得：，
∴甲、乙两辆摩托车从相遇到两辆摩托车之间距离再次小于的这段时间的取值范围为．
22. 在教科书第四章《因式分解》中，我们学会了利用提公因式法和公式法进行因式分解，课外兴趣小组活动时，数学王老师提出了如下新问题：
将因式分解．
【观察】经过独立思考，合作交流，小明所在小组得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．
类比】（1）请用分组分解法将因式分解；
【应用】
（2）已知a，b，c为等腰的三边长，且，求的周长；
（3）如图1，小长方形的长为a，宽为b，用5个图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形中，且大长方形的周长为16．
根据以上信息，先将多项式因式分解，再求值．

解：（1）原式
（2）由已知得，即，
解得：，，
∵为等腰三角形，
或，
不能构成三角形，能构成三角形，
∴，，，
∴的周长为7；
（3）原式
根据图形中边关系得：，即，
∴原式．
23. 在数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：
（1）【问题初探】如图1，在等腰中，，点在其内部，，，，求的长；
经过同学们的观察、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，探究三边之间的数量关系，…根据以上分析过程______．
（2）【类比分析】如图2，在等边中，点在其内部，且，，．求的度数．
（3）【拓展应用】①如图3，在中，，点在其内部，是等腰三角形，且．若，，求的长．
②如图4，在中，，，点为平面内一点，若，，请直接写出的值．
（1）解：已知将绕点按逆时针方向旋转，得到，
∴，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，则，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
故答案为：；
（2）解：如图所示，将绕点逆时针旋转，得，
∴，
∴，，，，
∴是等边三角形，
∴，，
在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴；
（3）解：已知是等腰三角形，，
∴，
①如图所示，将绕点顺时针旋转，得，连接，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
如图所示，过点作于点，
在中，，
∴，
，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）已知中，，
∴，
第一种情况，如图所示，点在外面，，，则，将绕点顺时针旋转，得，
∴，，
∴，则，
∴，则，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
∴；
第二种情况，如图所示，点在内部，，，，则，
将绕点顺时针旋转，得，连接，
∴，
∴，，，，
∴，则，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即是直角三角形，
∴，
∴；
综上所述，的值为或．方案I

①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；
③连接，交边于点G ，
即为所求
方案II

①取点P，点P为小正方形的顶点；
②连接交边于点Q.
即为所求．
的取值
分式
无意义
值为
值为