辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年高二下学期期末数学试卷(解析版)

这是一份辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年高二下学期期末数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，若，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解不等式，即，解得，即，
因为，且，则，所以，.
故选：B.
2. “ ”的一个充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据得为任意实数，所以A错；
由，得，当且时，有；当且时，有，不满足题意，所以B错；
因为满足，也满足，不满足题意，所以C错；
因为，所以，所以能推出，满足题意，D 正确.
故选： D.
3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意知，，
所以，
故选：D.
4. 函数在上的图象的大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数的定义域为，
，
所以，函数为偶函数，排除CD选项，
且当时，，，则，排除B选项.
故选：A.
5. 质数也叫素数，17世纪法国数学家马林-梅森曾对“”（p是素数）型素数进行过较系统而深入的研究，因此数学界将“”（p是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为，第14个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（ ）参考数据：
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，令，两边同时取常用对数得，
∴，∴，结合选项知与最接近的数为.
故选：C.
6. 若为奇函数，则实数a，b的值分别为（ ）
A. e，1B. ，1C. e，D. ，
【答案】C
【解析】，
当时，，所以和是方程的两个根，
所以，即，
因为，所以，
即，即.
故选：C
7. 已知实数a，b满足，，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，即，
又因为，即，
构造函数，则恒成立，
故在上单调递增，即存在唯一的实数，使得，
所以，所以，即，所以，
故选：C.
8. 已知函数，，若有6个零点，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可得函数图象，当或时，有两个解；
当时，有4个解；当时，有3个解；
当时，有1个解；
因为最多有两个解.
因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，.
则存在下列几种情况：
①有2个解，有4个解，即或，，显然，
则此时应满足，即 ，解得，
②有3个解，有3个解，设即，，
则应满足，无解，舍去，
综上所述，取值范围为.
故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】对A，等比数列的公比，和异号， ，故A正确；
对B，因为不确定和的正负，所以不能确定和的大小关系，故B不正确；
对C D ，和异号，且且，和中至少有一个数是负数，又， ，故D正确，一定是负数，即 ，故C不正确.
故选：AD.
10. 下面命题正确的是（ ）
A. 不等式的解集为
B. 不等式解集为
C. 不等式在时恒成立，则实数m的取值范围为
D. 函数在区间内仅有一个零点，则实数m的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A，不等式化为，
解得，则原不等式的解集为，A正确；
对于B，不等式化为，解得，
不等式的解集为，B错误；
对于C，不等式在时恒成立，当时，成立，，
，恒成立，在上单调递增，，当且仅当时取等号，
因此，则，
所以实数m的取值范围为，C正确；
对于D，函数在区间内仅有一个零点，
则当在上有等根时，，解得，
当在上只有1个根时，，
解得，
或或，解得，于是，
所以实数m的取值范围为，D正确.
故选：ACD
11. 函数和有相同的最大值b，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点的横坐标依次，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于AB，，
当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；
当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，
由，
当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；
当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，
于是有，，因此选项AB正确，
对于CD，两个函数图像如下图所示：

由数形结合思想可知：当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，
不妨设，
且，
由，又，
又当时，单调递增，所以，
又，又，
又当时，单调递减，所以，
，
，于是有，即，
因为，所以选项C错误，D正确，
故选：ABD
12. 已知函数，下列选项正确的是（ ）
A. 当有三个零点时，的取值范围为
B. 是偶函数
C. 设的极大值为，极小值为，若，则
D. 若过点可以作图象的三条切线，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，令可得，
令，则直线与函数的图象有三个交点，
，令，可得，列表如下：
如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，A对；
对于B选项，，该函数的定义域为，
，
故函数是偶函数，B对；
对于C选项，，令，可得，列表如下：
所以，，，
所以，，解得，C错；
对于D选项，设切点坐标为，则，
所以，曲线在处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程得，整理可得，
令，其中，则，
令，可得或，列表如下：
若过点可以作图象的三条切线，
则直线与函数的图象有三个交点，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，合乎题意，D对.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，且，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】由，，则，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值是.
故答案为：
14. 已知，若与的值域相同，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】，
当时，；当时，；
即函数在上单调递减，在上单调递增，
，即，
因为与的值域相同，所以.故答案为：
15. 若为奇函数，则的表达式可以为______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】函数中，必有，即或，
而函数是奇函数，即恒成立，
因此对定义域内任意实数有成立，即成立，
于是函数图象关于点对称，取，
所以的表达式可以为.
故答案为：
16. 已知定义在上的函数满足，且关于对称，当时，.若，则______.
【答案】
【解析】因为函数关于对称，则，
即，
所以，，即函数为上的偶函数，
又因为，则，
即，所以，。则，
所以，函数是周期为的周期函数，
又因为当时，，
则，①
在等式中，令可得，即，②
联立①②可得，，故当时，，
所以，.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数，若曲线在处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）求函数在上的最小值．
解：（1）由已知可得．
又，
所以．
（2）由（1）可知，，
令，解得或，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
又，，
所以函数在上的最小值为．
18. 已知数列的前项和，数列满足，.
（1）求数列、的通项公式.
（2）若，求数列的前项和.
解：（1）∵，∴，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，…，，
以上各式相加得：
，
，
又符合上式，∴；
（2）由题意得，时，,
当时，，∴.
19. 已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，.
（1）求时的解析式；
（2）求函数的值域.
解：（1）令，则，故，而，
所以，则.
（2）由（1）知：，
当，，当且仅当时等号成立，
此时；
当，单调递增，则；
综上，函数值域.
20. 为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场．根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下表
（1）根据上表数据，从①，②，③，④中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系（无需说明理由），并利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；
（2）记你所选取的函数，若对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
解：（1）由题表知，随着时间的增大，的值随的增大，先减小后增大，而所给的函数，和在上显然都是单调函数，不满足题意，故选择．
把，，分别代入，得，
解得，
∴，．
又，
∴当且仅当时，即当时，y有最小值，且．
故当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元；
（2）原不等式可以整理为：，，
因为对，都有不等式恒成立，
则．
（i）当时，，
当且仅当时，即当时， ．
∴，
解得，不符合假设条件，舍去．
（ii）当时，在单调递增，故，
只需．整理得：，
∴（舍去），综上，实数k的取值范围是．
21. 已知函数，.
（1）若的定义域为，值域为R，求a的值：
（2）在条件（1）下，当，时，总满足，求c的取值范围.
解：（1）因为的定义域为，
所以且，恒成立，
又因为值域为，所以能取到内任意实数，
故；
（2）因为，所以，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以在,上单调递减，
，
则题目可转化为： 恒成立，即，
因此，故
故的取值范围为
22. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.
解：（1）函数的定义域为，求导得则，
由得，
若，当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
若，当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减；
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由，两边取对数得，即，
由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
，而，时，恒成立，
因此当时，存在且，满足，
若，则成立；
若，则，记，，
则，
即有函数在上单调递增，，即，
于是，
而，，，函数上单调递增，因此，
即，
又，则有，
则，
所以.
增
极大值
减
极小值
增
减
极小值
增
极大值
减
减
极小值
增
极大值
减
上市时间x/天
2
6
32
市场价y/元
148
60
73