江苏省连云港市2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)

这是一份江苏省连云港市2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
B.不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
C.是中心对称图形，故该选项符合题意，
D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
2. 下列事件是随机事件的是（ ）
A. 明天太阳从东方升起B. 经过交通路口时遇到红灯
C. 花生油滴入水中会浮在水面D. 两个负数的和是一个正数
【答案】B
【解析】A.明天太阳从东方升起，是必然事件，故A不符合题意；
B.经过交通路口时遇到红灯，是随机事件，故B符合题意；
C.花生油滴入水中会浮在水面，是必然事件，故C不符合题意；
D.两个负数的和是一个正数，是不可能事件，故D不符合题意；
故选：B．
3. 下列分式是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.，原分式不是最简分式，不符合题意；
B.，原分式不是最简分式，不符合题意；
C.，原分式不是最简分式，不符合题意；
D、是最简分式，符合题意；
故选：D。
4. 如图，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后测出的中点．若的长为18米，则间的距离是（ ）

A. 9米B. 18米C. 27米D. 36米
【答案】D
【解析】根据题意，是的中位线，
∴，
∴（米），
故选：．
5. 在学习了“中心对称图形—平行四边形”之后，平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系可以用下面的关系图表示，则②处所填图形的名称应为（ ）
A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
【答案】D
【解析】由题意可知，④是平行四边形，①是矩形，③是菱形，②是正方形．
故选：D．
6. 分式（、均为正数），字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A. 扩大为原来的2倍B. 缩小为原来的
C. 不变D. 缩小为原来的
【答案】C
【解析】∵字母的值都扩大为原来的2倍为，
∴分式的值不变，
故选：C．
7. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：
（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，
而CE=DF，
∴AF=DE，
在△ABF和△DAE中
∴△ABF≌△DAE，
∴AE=BF，所以（1）正确；
∴∠ABF=∠EAD，
而∠EAD+∠EAB=90°，
∴∠ABF+∠EAB=90°，
∴∠AOB=90°，
∴AE⊥BF，所以（2）正确；
连接BE，
∵BE＞BC，
∴BA≠BE，
而BO⊥AE，
∴OA≠OE，所以（3）错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF=S△DAE，
∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，
∴S△AOB=S四边形DEOF，所以（4）正确．
故选：B．
8. 如图，在正方形中，对角线，相交于点，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】作点O关于的对称点F，连接交于G，连接交直线AB于P，连接，则，此时，最小，最小值，

∵正方形，，
∴，，，，，
∴点O关于的对称点F，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又
∴，
∴，
∴，
∴最小值为．
故选：C．
二、填空题
9. 若分式有意义，则x的取值范围是___________．
【答案】
【解析】分式有意义，则，
所以，
故答案为：．
10. 如图，，是平行四边形对角线上的两点，在不作辅助线的前提下，请你添加一个适当的条件：_____，使四边形是平行四边形．
【答案】（答案不唯一）
【解析】可添加条件：（答案不唯一）．
证明：∵四边形是平行四边形，∴
∵
∴∴
同理可证：
∴∴四边形是平行四边形．
故答案为：（答案不唯一）．
11. 某篮球队员在一次训练中共投篮80次，其中64次投篮命中，该运动员在这次训练中投篮命中的频率为___．
【答案】
【解析】某篮球队员在一次训练中共投篮80次，其中64次投篮命中，该运动员在这次训练中投篮命中的频率为，
故答案为：．
12. 如图，在菱形中，与相交于点O，点P是的中点，，则菱形的周长是_______ ．
【答案】
【解析】∵四边形是菱形，
∴，，
∵点P是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴菱形的周长是：，
故答案为：16．
13. 如图，四边形中，E，F，G，H分别是边、、、的中点．若四边形为菱形，则对角线、应满足条件_______．
【答案】
【解析】应满足的条件为：．
证明：∵E，F，G，H分别是边、、、的中点，
∴在中，为的中位线，所以且；
同理且，同理可得，
则且，
∴四边形为平行四边形，又，所以，
∴四边形为菱形．故答案为：．
14. 如图，在平行四边形中，于点，于点．若，，且平行四边形的周长为40，则平行四边形的面积为_____．
【答案】48
【解析】∵平行四边形的周长为40，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为；48．
15. 如图，门上钉子处挂着一个“欢迎光临”的长方形挂牌，测得，．（如图1），当挂牌水平悬挂（即与地面平行）时，测得挂绳．将该门挂的挂绳长度缩短后重新挂上，此时不小心把挂牌弄斜了（如图2），发现与地面平行，且点、、三点在同一直线上，则点的高度下降了______．
【答案】
【解析】如图1，作，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴到的垂直距离为；
如图2，作于，作于，
由题意知，缩短后，
∵长方形挂牌，点、、三点在同一直线上，
∴，
由勾股定理得，，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，即，
解得，，
∴到的垂直距离为；
∴点的高度下降了，
故答案为：．
16. 如图，为AD上的中点，则BE＝______．

【答案】
【解析】延长BE交CD于点F,
∵AB平行CD，则∠A=∠EDC，∠ABE=∠DFE，
又E为AD上的中点，∴AE=DE,
所以.
∴
∴
在直角三角形BCF中，BF==.
∴.

三、解答题
17. 计算下列各题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
18. 先化简， ，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值．
解：原式=•=•=x﹣2，
当x=3时，原式=3﹣2=1．
19. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．
（1）画出将关于原点的中心对称图形；
（2）将绕点逆时针旋转得到，画出；
（3）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为_______．
解：（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）根据旋转的性质可得，旋转中心为和垂直平分线的交点，图中点P即为旋转中心，
∴，
故答案为：．
20. 如图，在中，对角线AC所在直线上有两点E、F，满足，连接、、、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，则当 °时，四边形是菱形．
（1）证明：连接，交于点O，
∵四边形是平行四边形，
，，
又，
，
即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：当时，四边形是菱形．
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，
即，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．故答案为：30．
21. 今年的4月15日是第八个“全民国家安全教育日”，某校为了解学生的安全意识，在全校范围内抽取部分学生进行问卷调查．根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次类别，并绘制如下两幅尚不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题∶
（1）这次调查一共抽取了 名学生，请将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，m ，“较强”层次类别所占圆心角的为 °；
（3）若该校有900名学生，现需要对安全意识为“淡薄”和“一般”的学生强化安全教育，请根据以上调查结果估算，全校需要强化安全教育的学生共有多少名？
（1）解：，∴这次调查一共抽取了200名学生，
∵较强层次的人数为（人），∴补全条形统计图如下，

（2）解：
∴，
扇形统计图中，“较强”层次所占圆心角为；
故答案为：55,72；
（3）解：，
∴估计全校需要强化安全教育的学生人数为225名．
22. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点N．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明．
（1）证明：，
，
是外角的平分线，
，
，
，
，
四边形为矩形；
（2）解：当是等腰直角三角形时，四边形是一个正方形，
由（1）知四边形为矩形，
是等腰直角三角形，，
，∴四边形是正方形．
23. 如图，，平分，交于点．

（1）动手操作：作的角平分线（尺规作图，保留作图痕迹），交于点，交于点，连接；
（2）探究求证：四边形是菱形；
（3）应用练习：若，，则菱形的面积为_________．
（1）解：如图所示：

（2）证明：如图所示：

∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
在和中
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（3）解：平行四边形是菱形，，
，
在中，由勾股定理得，
，
菱形的面积．
24. 【阅读】在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式子的分析来解决问题，我们称之为分离整式法．
例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：设，则．
原式
∴．
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
【应用】
（1）使用分离整式法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；
（2）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；
【拓展】
（3）已知分式的值为整数，求正整数x的值．
解：（1），
故答案为：；
（2）设，则，
∴
∴，
故答案为：；
（3）设，则，
∴
∵分式的值为整数，且x是正整数，∴，，
由，得或
由，得或（舍）
∴正整数x的值为4或2或16．
25. 如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为ts(0≤t≤5)
（1）若G、H分别是AB、DC的中点，且t≠2.5，则以E、G、F、H为顶点的四边形一定是 ．
（2）在（1）的条件下，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是矩形，请明理由．
（3）若G、H分别是折线A--B--C，C--D--A上的动点，分别从A、C开始，与E、F相同的速度同时出发，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是菱形，请直接写出t的值．
（1）解：在矩形ABCD中：AB=CD，ABCD，ADBC，∠B=90°，
∴∠BAC=∠DCA，
∵AB=6cm，BC=8cm，
∴AC=10cm，
∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG=AB，CH=CD，
∴AG=CH，
∵E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为ts，
∴AE=CF，
如图，当没相遇前，
∵AE=CF，
∴AF=CE，
∵∠BAC=∠DCA，AG=CH，
∴△AGF≌△CHE，
∴GF=HE，∠AFG=∠CEH，
∴GFHE，
∴四边形是平行四边形；
如图，当相遇后，
∵AE=CF，∴AF=CE，
∵∠BAC=∠DCA，AG=CH，∴△AGF≌△CHE，
∴GF=HE，∠AFG=∠CEH，
∴∠EFG=∠FEH，∴GFHE，
∴四边形是平行四边形；
综上所述：以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
（2）如图1，连接GH，由（1）可知四边形EGFH是平行四边形，
∵G、H分别是AB，DC的中点，
∴GH=BC=8cm，
∴当EF=GH=8cm时，四边形EGFH是矩形，
∴如图，当没相遇前，
∵AE=CF=2t，则EF=10-4t=8，
解得：t=0.5，
如图，当相遇后，
∵AE=CF=2t，
∴EF=2t+2t-10=8，
解得：t=4.5，
综上所述：当t为4.5秒或0.5秒时，四边形EGFH是矩形；
（3）如图2，连接AG、CH，
∵四边形GEHF是菱形，
∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，
∵AF=CE，
∴OA=OC，
∴四边形AGCH是菱形，
∴AG=CG，
设AG=CG=x，则BG=8-x，
由勾股定理得：，
即，
解得：x=，
∴BG=8-=，
∴AB+BG=6+=，
t=÷2=，
即t为秒时，四边形EGFH是菱形．
26. 如图1，是等腰直角三角形，，正方形与有公共顶点，当绕点旋转时，边、分别与（或延长线图3）、（或延长线图3）相交于点、，连接，数学兴趣小组的同学们在研究图1时，发现有这么一个结论：；为了解决这个问题，他们经过讨论，采取了以下方案：延长到，使，连接，得到图2，请你根据他们的思路，结合图2，解决下列问题：
（1）证明：
①；
②；
（2）根据图3，
①结论是否成立，如不成立，写出线段、、的数量关系并证明．
②若，，求正方形的边长并直接写出中边上的高．
（1）证明：①延长到，使，连接，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，，
；
②，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，，
，，
，；
（2）解：①不成立，三线段、、的数量关系是，
证明：在上取，连接，
在和中，，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，，
，
，
，
；
②解：设正方形的边长是，则，
，，
在中，
由勾股定理得：
，
解得：，即正方形的边长是6．
∴，
∵，
如图3，过F点于H，
∴，中边上的高是．