江苏省南京市五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(解析版)

这是一份江苏省南京市五校联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数 (为虚数单位)，则复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
所以复数的虚部是.
故选：C.
2. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若m⊥α，n⊥α，则
C. 若，，且，，则
D. 若α⊥β，，m⊥n，则n⊥β
【答案】B
【解析】A选项，若，，则或异面，A错误；
B选项，若m⊥α，n⊥α，则，B正确；
C选项，若，则不能得到，C错误；
D选项，如图，满足α⊥β，，m⊥n，，
但不能推出n⊥β，D错误.
故选：B.
3. 已知数据的平均数为10，方差为5，数据的平均数为，方差为，则（ ）
A. =10，=14B. =9，=44
C. =29，=45D. =29，=44
【答案】C
【解析】原来数据平均值为，方差为则
，
方差为
．
故选：C．
4. 向量与不共线，， ()，若与共线，则应满足（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为与不共线，且与共线，则，即，即.
故选：C.
5. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件“第一枚向上点数为奇数”，事件“第二枚向上点数为偶数”，事件“两枚骰子向上点数之和为8”，事件“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则（ ）
A. 与C互斥B. A与C相互独立
C. B与D互斥D. B与D相互独立
【答案】C
【解析】记表示基本事件：第一枚骰子点数为，第二枚骰子的点数为，
对A：对事件、都包含基本事件，所以与不互斥，故A错误；
对B：因为，，事件包含基本事件，，
所以，
因为，所以不独立，故B错误；
对C：若第二枚骰子的点数是偶数，则两枚骰子的点数之积不可能为奇数，
所以事件和互斥，故C正确；
对D：因为，，，因为，
所以不独立，故D错误.
故选：C.
6. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．若，，，则实数a的值为（ ）
A. 6B. 3C. D.
【答案】C
【解析】因为，由正弦定理得，
，化简得，
因为，所以，
可得，又，所以，
由正弦定理得，.
故选：C.
7. 如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（ ）
A. 26πB. 28π
C. 34πD. 14π
【答案】C
【解析】如图，因为面，四边形为正方形，
所以可将四棱锥补成长方体，
则四棱锥的外接球也是长方体的外接球，
由面，所以就是与平面所成的角，
则，所以，
设四棱锥的外接球的半径为，
因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径，
所以，所以，
所以四棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
8. 已知，，若，则实数的值（ ）
A B. 3C. 2D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，
因为，所以，
则，上述等式两边平方可得，
因为，所以，所以，解得.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设复数(i为虚数单位)，则下列结论正确的是（ ）
A. 的共轭复数为B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限D.
【答案】ACD
【解析】因为，所以，故A正确；
因为，故B错误；
因为，所对应点为，故C正确；
因为，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A 若，则
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则为锐角三角形
D. 若的三角形有两解
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，则由正弦定理可得，
，所以，即，故A正确；
对于B，由余弦定理得，
化简得，故为等腰三角形，故B正确；
对于C，由余弦定理，
因为，所以，故只能判断为锐角，无法判断，故C错误；
对于D，若，则由正弦定理得，
因为，所以三角形有两解，故D正确.
故选：ABD.
11. 如图，在棱长为的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（ ）
A. M，N，B，四点共面
B. 若，则异面直线与MN所成角的正弦值为
C. 平面PMN截正方体所得截面为等腰梯形
D. 若，则三棱锥的体积为
【答案】AD
【解析】A选项，连接，，因为M，N分别是，的中点，所以，
又，故，所以M，N，B，四点共面，A正确；
B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则异面直线与MN所成角的余弦值为，
故正弦值为，B错误；
C选项，如图所示，设的中点分别为，连接，
故平面PMN截正方体所得截面为正六边形，C错误；
D选项，连接，则，故，
其中，⊥平面，
所以，D正确.
故选：AD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
12. 一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是_______．
【答案】
【解析】根据题意，设2个白球的编号为，1个红球的编号为c，3个黄球编号为，
从中1次随机摸出2个球，共有：
，共15种基本事件，
其中满足恰有一球是黄球的基本事件有9种，故所求概率，
故恰有一球是黄球的概率为：．
故答案为：．
13. 已知，，，则______．
【答案】
【解析】因为，，，
所以，，
所以，
又，所以，即，所以.
故答案为：.
14. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，是的中线，且，则的最大值为_______．
【答案】4
【解析】由题意得，，
因为是的中线，所以，
所以，所以，
所以，当且仅当时取等号，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以，得，当且仅当时取等号，
所以的最大值为4.
故答案为：4.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）因为，所以，
所以，所以.
（2）因为，所以，
因为，所以，
所以
.
16. 某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率直方图．
（1）求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩；
（2）若成绩在 的为A等级，的为B等级，其他为C等级，
①在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中抽取25人，求从B等级中抽取的人数．
②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概率．（注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取）
解：（1）由频率直方图知(0.004＋0.022＋0.030＋0.028＋m＋0.004)×10＝1，
∴0.012，
易知，，，，，相应的频率分别为
0.04，0.22，0.30，0.28，0.12，0.04，
∴100名同学的平均成绩估计值为：
0.04×45＋0.22×55＋0.30×65＋0.28×75＋0.12×85＋0.04×95＝68.4.
（2）①由(1)知A等级的频率为0.04，A等级的人数为100×0.04＝4人，
B等级的频率为(0.28＋0.12)＝0.4，B等级的人数为100×0.4＝40人，
C等级的频率为(0.04＋0.22＋0.30)＝0.56，C等级的人数为100×0.56＝56人，
∴抽取25人中B等级中的人数为25×＝10人.
②用频率代替概率，所以抽取一次，B等级被抽中的概率为0.4，
抽取三次都没有抽中B等级的概率＝(1－0.4)3＝0.216，
所以随机抽取3人至少有一人为B等级的概率＝1－0.216＝0.784.
17. 如图，在平行四边形中，，垂足为P，E为中点，
（1）若·=32，求的长；
（2）设||＝，||＝，＝－，＝x＋y，求的值．
解：（1），∴是在方向上的投影向量，
∴·＝，即.
法二：，∴·||·||||·||，
即.
（2）在中，
，
所以，
＝＝，
因为，所以，，
以P为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，建系如图：
易知因为E为中点，所以，
，，，
∵＝x＋y，∴，
由平面向量基本定理得：，解得：，所以：.
法二：在中，
，
所以，
＝＝，
因为，所以，，
因为，所以，
又∵
由平面向量基本定理得：，解得：，所以：.
18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，在棱上且侧面，，垂足为．
（1）求证：平面；
（2）若平面与直线交于点，证明：；
（3）侧面为等边三角形时，求二面角的平面角的正切值．
解：（1）如图：
因为侧面，平面，所以，
又因为四边形为正方形，所以，
又，平面，
所以平面，
因为侧面，所以，
因，且，平面，
所以平面.
（2）因为底面为正方形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以.
（3）如图：
由题为等边三角形，，故为中点，
在线段上取点，使得，
因为是正方形，所以，
又，所以，
又因为底面，底面，所以，
又，平面，，所以平面，
又平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
设，不妨设等边的边长为2，
则，，
所以在中，.
19. 已知函数f(x)＝sin x＋m cs x.
（1）若函数 f(x) 的图象关于直线x=轴对称，求实数m的值．
（2）已知锐角△ABC的角A，B，C对边分别是a，b，c，c=且当m=1时满足 f(A)= .
（i）若∠BCA的角平分线交边AB于D，且CD=，求△ABC的周长；
（ii）求的取值范围．
解：（1）因为图象关于直线轴对称，所以，
所以
解得：
经检验：此时满足
即时图象关于直线轴对称.
法二：因为图象关于直线轴对称，
所以对任意都成立，
即化简得：
对任意都成立，所以m＝3.
（2）（i）由正弦定理得： ，
∴，
∴，
∵∴，∴，
∴ ，即
而，解得：
因为是的角平分线，所以
，
，
，∴，
，
所以的周长.
（ii），
，
，
，
由正弦定理得：，，，
，
，，，
，，即，
，
即的取值范围为