湖北省黄冈市文海大联考2024届高三下学期临门一卷(三模)数学试卷(解析版)

这是一份湖北省黄冈市文海大联考2024届高三下学期临门一卷(三模)数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，则.
故选：D
2. 若复数的实部大于0，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，
代入，得，
解得：，所以.故选：D.
3. 在平面直角坐标系中，点在直线上.若向量，则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意设直线的方向向量为，则，
而，则，即为直线的法向量，
又O到直线的距离为，
故在上的投影向量为，

故选：C
4. 设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
【答案】B
【解析】对于A中，若，，，则相交或平行，所以A错误；
对于B中，若，，由线面平行的性质可得，所以 B正确；
对于C中，若，，，当两两相交时，两两相交，所以C错误；
对于D中，若，，则或，所以D错误.
故选：B.
5. 将1至8这8个整数排成一列，要求任意相邻两项互质，则不同的排列方法有（ ）
A. 1296种B. 1728种C. 2304种D. 2592种
【答案】B
【解析】由于任意相邻两项互质，所以偶数必须隔开，
所以先把四个奇数排成一列有种方法，然后把偶数插空进去，
四个偶数中只有不能与相邻，其他偶数可以随意插空，
所以先考虑把插空，有种选择，
剩下的个偶数在剩下的个空中随意插空，
所以共有：.
故选：B.
6. 已知为锐角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为为锐角，所以，，
又，所以，
而，所以，
所以，
因此.
故选：D．
7. 已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为为等差数列，且，所以，
又数列为递增数列，所以从第二项开始，各项均为正数.
由.
因为恒成立，
所以数列为常数数列或递增数列，所以.
综上，.
故选：A
8. 双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点.若，且，则直线与的斜率之积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，则，
由双曲线定义得，，
在中，由余弦定理得
，
解得，
则，，
在中，由余弦定理得
，
解得，则，，
设，
则，
将代入得，
则直线与的斜率之积为.
故选：D.
二、多项选择题
9. 甲在一次面试活动中，7位考官给他的打分分别为：61、83、84、87、90、91、92．则下列说法正确的有（ ）
A. 去掉一个最低分和一个最高分后，分数的平均数会变小
B. 去掉一个最低分和一个最高分后，分数的方差会变小
C. 这7个分数的平均数小于中位数
D. 这7个分数的第70百分位数为87
【答案】BC
【解析】A.7个数的平均数是，
去掉最高分和最低分后的平均数是，平分数变高了，故A错误；B.去掉最高分和最低分，波动变小了，所以方差会变小，故B正确；
C.这7个数的中位数是，，故C正确；
D.，所以这7个数的70百分位数位第5个数字，故D正确.故选：BC
10. 已知函数的图象向左平移个单位后到函数的图象（如图所示），则（ ）
A.
B. 在上为增函数
C. 当时，函数在上恰有两个不同的极值点
D. 是函数的图象的一条对称轴
【答案】BCD
【解析】根据平移性质，可设，
由图象可得，即，解得，
所以，又，
所以，即，
对于A，则，即，故A错误；
对于B，当时，，由正弦函数单调性知，在上为增函数，故B正确；
对于C，，当时，，
因为，所以，
显然能取到，不能取到，所以函数在上恰有两个不同的极值点，
故C正确；
对于D，因为
，
所以当时，取得最大值，所以是函数的一条对称轴，故D正确.
故选：BCD
11. 已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且，则（ ）
A. 的图象关于点中心对称B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】由题意可得，两式相减可得①，
所以的图象关于点成中心对称，故A错误；
由②，②式两边对求导可得，
可知是偶函数，以替换①中的可得，
可得，所以是周期为4的周期函数，故B正确；
因为，可知也是周期为4的周期函数，
即，两边求导可得，所以，故C正确；
因为，令，则，即，
又因为是偶函数，所以，又因为是周期为4的周期函数，
则，由可得，
所以，D正确.故选：BCD.
三、填空题
12. 已知集合，函数.若函数满足：对任意，存在，使得，则的解析式可以是_______.（写出一个满足条件的函数解析式即可）
【答案】（满足，且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正确）
【解析】，，
，，
，，
所以，则的解析式可以为.
经检验，满足题意.
故答案为：（答案不唯一）.
13. 已知抛物线的焦点为,，是抛物线上关于其对称轴对称的两点，若，为坐标原点，则点的横坐标为_____________.
【答案】
【解析】因为抛物线的焦点为，则，
又因为，是抛物线上关于其对称轴对称的两点，
设，因为，
则，
所以，
解得（舍）或.即点的横坐标为，
故答案为：.
14. 如图，在直三棱柱中，，分别为线段，的中点，，，平面平面，则四面体ABMN的外接球的表面积为______．

【答案】
【解析】如图，取BN的中点，连接CD，

因为，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面ABN，又平面ABN，所以，
依题意平面ABC，平面ABC，所以，
又，，平面，所以平面，
又BN，平面，所以，，
所以，所以，
连接，则，所以，
又，所以，所以，
所以与共斜边，所以四面体ABMN的外接球的球心为的中点，且外接球半径，所以该球的表面积．
四、解答题
15. 为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1．
（1）根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为，求随机变量的分布列与数学期望．
解：（1）由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，
日均阅读时间的平均数为：
（分钟）
（2）由题意，在[60，80），[80，100），[100，120]三组分别抽取3，2，1人
的可能取值为：0，1，2
则，，
所以的分布列为：
16. 已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）当时，求函数的最小值．
解：（1）由，
得，
所以，，
函数在处的切线方程
（2）
令，
当时，，则，
所以 ，所以，
所以在单调递减；
当时，，
则，
此时，
所以在单调递增，
所以当时，函数取得最小值；
所以当时，函数的最小值为
17. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面平面ABCD，，点E是线段AD的中点，.
（1）证明：//平面BDM；
（2）求平面AMB与平面BDM的夹角.
（1）证明；如图，连接交于，
连接,由是的中点可得，
易得与相似，所以，
又，所以//，
又平面平面，所以//平面；
（2）解：因平面平面，且平面平面，由，点E是线段AD的中点可得
又平面，故得平面.如图，取的中点为,分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系.
则，，
，则，.
设平面的法向量为，由，
则，
故可取；
设平面的法向量为，由，
则，故可取.
故平面与平面的夹角余弦值为，
所以平面与平面的夹角为.
18. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于对称．
（ⅰ）证明：直线过定点；
（ⅱ）求面积的最大值．
（1）解：点在椭圆上，且垂直于轴，则有
设椭圆的焦距为，则，
点代入椭圆方程，有，
解得，
则，
所以椭圆的方程为.
（2）（ⅰ）证明：设直线l的方程为，由，
消去y，整理得，
因为l交椭圆C于两点，所以，
设，所以，
因为直线和直线关于对称，
所以
所以
所以
解得.
所以直线l的方程为，
所以直线l过定点.
（ⅱ）解：设直线l的方程为，由，
消去，整理得，
因为l交椭圆C于两点，所以，
解得，
，
所以，
所以
令
则，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为.
19. 数列满足：是等比数列，，且
．
（1）求；
（2）求集合中所有元素和；
（3）对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列是否是“和稳定数列”．若是，求出所有的值；若不是，说明理由．
（1）解：，
又，，解得：
因为是等比数列，所以的公比，
又当时，，
作差得：
将代入，化简：，
得：
是公差的等差数列，
（2）解：记集合的全体元素的和为，
集合的所有元素的和为，
集合的所有元素的和为，
集合的所有元素的和为，则有
对于数列：
当时，是数列中的项
当时，不是数列中的项
，其中
即（其中表示不超过实数的最大整数）
（3）①解：当时，是的正整数倍，
故一定不是数列中的项；
当时，，不是数列中的项；
当时，，是数列中的项；
综上，数列是“和稳定数列”，；
②解：数列不是“和稳定数列”，理由如下：
不妨设：，则，且
故不是数列中的项.
数列不是“和稳定数列”.
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