贵州省黔东南州从江县宰便中学2024-2025学年 九年级上学期期中质量监测数学试卷

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一、选择题(每小题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个 选项，其中只有一个选项正确)
1．中国传统文化博大精深．下列是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2．在平面直角坐标系中，点A(－1，2)和点B(1，m)关于原点对称，则m的值为( )
A．2 B．－2 C．－1 D．1
3．开口向上，顶点坐标为(－9，3)的抛物线可能为( )
A．y＝2(x－9)2－3 B．y＝2(x＋9)2＋3
C．y＝－2(x－9)2－3 D．y＝－2(x＋9)2＋3
4．把抛物线y＝x2＋1向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为( )
A．y＝(x＋3)2－1 B．y＝(x＋3)2＋3 C．y＝(x－3)2－1 D．y＝(x－3)2＋3
5．若关于x的一元二次方程(3a＋6)x2＋3(a2－4)x＝2没有一次项，则a的值为( )
A．－2或2 B．－2 C．2 D．0
6．已知抛物线y＝a(x－b)(x－1)(a≠0)经过点P(3，0)，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为( )
A．(－1，0) B．(0，0) C．(1，0) D．(3，0)
7．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为25万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是( )
A．16(1＋x)2＝25 B．25(1－x)2＝16 C．25－25(1－x)2＝16 D．25(1－2x)＝16
8．若关于x的方程ax2－3x＋c＝0有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是( )
A．a＝1，c＝3 B．a＝－2，c＝－4 C．a＝－1，c＝3 D．a＝5，c＝1
9．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，连接AA′.若A′B′⊥AC，则∠AA′B′的度数为( )
A．20° B．25° C．30° D．18°
10．如图，在平面直角坐标系中，有E，F，G，H四个点，则恰好在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象上的三个点是( )
A．E，F，G B．E，F，H C．E，G，H D．F，G，H
11．如图，二次函数y＝ax2＋x－6的图象与x轴交于点A(－3，0)，B两点，下列说法正确的是( )
A．抛物线的对称轴为直线x＝1 B．抛物线的顶点坐标为(－ eq \f(1,2)，6)
C．A，B两点之间的距离为5 D．当x＜－1时，y随x的增大而增大
12．如图，在平面直角坐标系中，A(3，2)，连接OA，作如下变换：第一次：将点A绕原点O逆时针旋转90°得到点A1；第二次：作点A1关于x轴的对称点A2；第三次：将点A2绕点O逆时针旋转90°得到A3；第四次：作点A3关于x轴的对称点A4……按照这样的规律，点A2 025的坐标是( )
A．(－3，2) B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(3，－2)
二、填空题(每小题4分，共16分)
13．由一个等腰直角三角形旋转若干次形成的图形如图所示，则每次旋转的度数是_______．
14．二次函数y＝2x2－4x＋4的顶点坐标是___________．
15．设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2 024＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n的值为__________．
16．如图，抛物线y＝－ eq \f(1,2)x2＋2x的顶点为A，抛物线y＝ eq \f(1,2)x2＋2x的顶点为B，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，则阴影部分的面积为____．
三、解答题(本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)
(1)解方程：x2＋2x＝3；
(2)已知点(5，0)在抛物线y＝－x2＋(k＋1)x－k上，求抛物线的对称轴．
18．(本题满分10分)如图，在正方形网格中，等腰三角形ABC与等腰三角形A1B1C1的顶点均在格点上，且△ABC与△A1B1C1关于某点成中心对称．已知A，C1，C三点的坐标分别为A(0，4)，C1(0，3)，C(0，2).
(1)求对称中心的坐标；
(2)画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到的△A2BC2，并写出点A的对应点A2的坐标．
19．(本题满分10分)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋1经过点(2，3).
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)将该抛物线向下平移n(n>0)个单位长度，使得平移后的抛物线经过点(0，0)，求n的值．
20.(本题满分10分)如图，△ABO与△CDO关于点O中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE，连接DF，BE.求证：DF＝BE.
21．(本题满分10分)已知二次函数y＝x2－(m＋2)x＋2m－1.
(1)求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个交点；
(2)若该函数图象与y轴交于点(0，3)，则当0＜x＜5时，求y的取值范围．
22．(本题满分10分)如图，O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA.
(1)求∠ODC的度数；
(2)若OB＝4，OC＝5，求OA的长．
23．(本题满分12分)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(b－c)＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果△ABC是等边三角形，求这个一元二次方程的解．
24．(本题满分12分)如图①，有一张长40 cm，宽20 cm的矩形硬纸片，裁去2个小正方形和2个小长方形(图中阴影部分)之后，恰好折成如图②所示的有盖纸盒．
(1)若纸盒的高是4 cm，求纸盒底面矩形的长和宽；
(2)若纸盒的底面积是150 cm2，求纸盒的高．
25．(本题满分12分)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且抛物线与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点，与y轴交于点C(0，3).
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；
(3)设P为直线BC上方抛物线上的一个动点，求使△PBC面积最大时点P的坐标，并求出最大面积．