吉林省白城市实验高级中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

这是一份吉林省白城市实验高级中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 下列说法中正确的是( )
A. 已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B. 已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C. 平面到两点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D. 平面到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆
2. 若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A. B. 1 C. D.
3. “”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 过P(12，－6)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是( )
A. 2x＋3y－6＝0 B. 2x＋3y－6＝0或3x＋4y－12＝0
C. x＋y－6＝0 D. 3x＋2y－12＝0或4x＋3y－30＝0
5. 若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为( )
A. 2 B. C. D.
6. 若直线l过点和，且点在直线l上，则b的值为（ ）
A. 183 B. 182 C. 181 D. 180
7. 设抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离为d1，到直线l：3x＋4y＋12＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为( )
A. 2 B. C. D. 3
8. （2023·天津市河北区期中）如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9. 我们把离心率为的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为的双曲线称为黄金双曲线，则( )
A. 曲线－＝1是黄金双曲线
B. 如果双曲线－＝1(a>0，b>0)是黄金双曲线，那么b2＝ac(c为半焦距)
C. 如果双曲线－＝1(a>0，b>0)是黄金双曲线，那么右焦点F到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一
D. 过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且垂直于实轴的直线l交C于M，N两点，O为坐标原点，若∠MON＝90°，则双曲线C是黄金双曲线
10. (多选)过点(1,1)且＝的双曲线的标准方程是( )
A. －y2＝1 B. x2－＝1 C. －x2＝1 D. y2－＝1
11. (2023·江西省赣西外国语学校期中)已知过点的直线与椭圆交于A、两点，则弦长可能是( )
A. 1 B. C. D. 3
12. 已知直线和圆，则( )
A. 直线恒过定点
B. 存在使得直线与直线垂直
C. 直线与圆相交
D. 直线被圆截得的最短弦长为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. (2023·山东省滨州市惠民县期中)已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数______.
14. 已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.
15. 已知A(－3，－5)，B(1,3)，C(5,11)三点，这三点________(填“是”或“否”)在同一直线上．
16. (2023·江西省宜春市丰城市东煌学校期中)已知直线的倾斜角，直线与的交点为A，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程.
18. 如图所示，在底面是正方形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，E，F，G分别是BC，PC，CD的中点．
(1)求证：BG⊥平面PAE；
(2)在线段BG上是否存在点H，使得FH∥平面PAE？若存在，求出 BHBG的值；若不存在，说明理由．
19. 求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
20. 若a∈N，又三点，，共线，求的值．
21. 已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)判断直线l与圆C的位置关系.
(2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程.
22. 如图，在正方体 ，ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为棱 A₁A和 B₁B的中点，求CM和 D₁N所成角的余弦值.
参考答案
1. 【答案】C
【解析】|F1F2|＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段F1F2，所以A错误；平面内到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的点不存在，所以B错误；点M(5,3)到F1，F2两点的距离之和为＋＝4>|F1F2|＝8，则所求动点的轨迹是椭圆，所以C正确；平面内到点F1，F2距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．
2. 【答案】D
【解析】∵a2＋b2＝2c2，∴圆心到直线的距离d＝＝＝ 22.设弦长为l，则l＝2＝.
3. 【答案】A
【解析】直线和平行，则，
等价于，即，
故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 【答案】B
【解析】设直线在y轴上的截距为b，则在x轴上的截距为b＋1，直线方程为＋＝1，∵P(12，－6)在直线上，∴＋＝1⇒b＝3或b＝2，则直线方程为2x＋3y－6＝0或3x＋4y－12＝0．故选B．
5. 【答案】A
【解析】由题意得，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为bx±ay＝0，圆心(2,0)到渐近线的距离为d＝＝＝，化简得3a2＝b2，结合b2＝c2－a2得双曲线的离心率为2.
6. 【答案】A
【解析】因为直线l过点和，由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即.由于点直线l上，所以，解得.
故选:A.
7. 【答案】A
【解析】联立
得3y2＋16y＋48＝0，Δ＝256－12×480，b>0)是黄金双曲线，则e＝＝，
由c2＝a2＋b2，
所以b2＝－a2＝a2＝ac，故B正确；
对于C，双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，
则F(c，0)到该渐近线的距离d＝＝b，
而由B可知，b2＝ac≠c2，故C错误；
对于D，当x＝c时，y2＝b2＝，
令M，N，
则＝，＝，
所以·＝c2－＝0，则b2＝ac，
由B可知，双曲线C是黄金双曲线，故D正确.
10. 【答案】AC
【解析】∵＝，∴b2＝2a2，
当焦点在x轴上时，
设－＝1，将点(1,1)代入，得a2＝，
此时双曲线的标准方程为－y2＝1，
同理，当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为－x2＝1.
11. 【答案】BC
【解析】当直线斜率存在时，设过斜率存在的直线方程为：，
联立方程组消去，并整理得，易得，
设，，则，，
，
，
当斜率不存在时，故．
故选:BC．
12. 【答案】BCD
【解析】对：由可得，，
令，即，此时，所以直线恒过定点，故A错误；
对：因为直线的斜率为，所以当时，直线的斜率为，
此时直线与直线垂直，满足题意，正确；
对C:因为定点到圆心的距离为，
所以定点在圆内，所以直线与圆相交，正确；
对:直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为，
此时直线被圆截得的弦长最短为，D正确；
故选：.
13. 【答案】4
【解析】以为空间一组基底，
由于三个向量共面，所以存在，使得，
即，
整理得，
所以，解得.
故答案为：
14. 【答案】60°
【解析】由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，
两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝ 12|b|2，
代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，
所以cs〈a，b〉＝ a·b|a||b|＝ 12|b|2|b|2＝ 12，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以〈a，b〉＝60°.
15. 【答案】是
【解析】由题意可知直线AB的斜率kAB＝＝2，
直线BC的斜率kBC＝＝2.
因为kAB＝kBC，
即两条直线的斜率相同，
并且它们过同一点B，
所以A，B，C三点在同一直线上．
16. 【答案】
【解析】设直线的倾斜角为，因为和向上的方向所成的角为，
所以，，故．
故答案为：.
17. 【答案】解 解方程组得
所以直线l1与l相交，且交点为E(3，－2)，
故点E也在直线l2上.
在直线l1：2x＋y－4＝0上取点A(2，0)，
设点A关于直线l的对称点为B(x0，y0)，
于是有解得
即点B的坐标为.
故由两点式得直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0.
18. 【答案】(1)证明 因为四棱锥P－ABCD的底面是正方形，且PA⊥平面ABCD，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所以直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，因为E，F，G分别是BC，PC，CD的中点，所以E(2,1,0)，F(1,1,1)，G(1,2,0)，所以 BG→＝(－1,2,0)， AP→＝(0,0,2)， AE→＝(2,1,0)，所以 BG→· AP→＝0，且 BG→· AE→＝0.所以BG⊥AP，BG⊥AE，且AE∩AP＝A，AE，AP⊂平面PAE，所以BG⊥平面PAE.
(2)解 假设在线段BG上存在点H，使得FH∥平面PAE.设 BH→＝λ BG→(0≤λ≤1)，由(1)得 AB→＝(2,0,0)， AF→＝(1,1,1)，则 FH→＝ FB→＋ BH→＝ AB→－ AF→＋λ BG→＝(1－λ，2λ－1，－1)．因为FH∥平面PAE，BG⊥平面PAE，所以 FH→· BG→＝(－1)·(1－λ)＋2(2λ－1)＋0×(－1)＝5λ－3＝0，解得λ＝ 35.所以，在线段BG上存在点H，使得FH∥平面PAE.其中 BHBG＝ 35.
19. 【答案】解 圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1,0)，半径长为1.设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由题意可得解得所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
20. 【答案】解 ∵A、、三点共线，∴直线、的斜率相等，
∴，
解之得：．
21. 【答案】解 (1)将圆C的方程化标准方程为x2＋(y－1)2＝5，
所以圆心为C(0，1)，半径r＝.
圆心C(0，1)到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离D＝＝