北京市第二中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷(无答案)

这是一份北京市第二中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷(无答案)，共7页。试卷主要包含了知识，能力，如图，将绕点C顺时针旋转得到等内容，欢迎下载使用。
命题人：曲莹审核人：杨丽敏、袁博
考查目标
1.知识：人教版九年级上册《一元二次方程》、《二次函数》、《旋转》、《圆》的全部内容.
2.能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力.
第Ⅰ卷（选择题共16分）
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）
1.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列平面直角坐标系中的数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
2.抛物线的顶点坐标是（ ）
A.B.C.D.
3.若关于x的方程的一个根是，则a的值是（ ）
A.1B.C.D.
4.下表是用计算器探索函数时所得的数值：
则方程的一个解x的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
5.已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A.B.C.D.
6.如图，将绕点C顺时针旋转得到.若点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是（ ）
A.B.C.D.
7.在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ）
A.9人B.10人C.11人D.12人
8.如图，等边的边长为2，点O是的中心，绕点O旋转，分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：
①；②的面积等于的面积；
③四边形DBEO的面积始终保持不变；④的周长的最小值为3.
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A.①③B.①②④C.②③④D.①③④
第Ⅱ卷（非选择题共84分）
二、填空题（共16分，每题2分）
9.点关于原点对称的点坐标是______.
10.写出一个开口向上，并且与y轴交于点的抛物线的解析式______.
11.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是______.
12.把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______.
13.如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______.
14.已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______.
15.如图，PA，PB分别切于A，B两点，，点C是上一点，则的度数为______.
16.2024年4月1日，北京二中喜迎300年华诞，小元和小聪两名同学合作制作四个主题为“春”“夏”“秋”“冬”的书签，为校庆献礼，每个书签都先由小元进行绘画，然后再由小聪题字，两位同学完成每个书签各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示：
（1）如果按照春→夏→秋→冬的顺序制作，两位同学合作完成这四个书签的总时长最少为______分钟；
（2）若想用最短的时间完成这四个书签的制作，制作的顺序应该是______.
三、解答题（共68分，其中第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分）
17.解方程：.
18.如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，.
（1）①以点B为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的；
②以原点O为旋转中心，画出将按逆时针方向旋转后的；
（2）在（1）的条件下，可以由绕某点按顺时针方向旋转得到，则该点坐标为______，旋转角的度数为______.
（3）的外接圆半径长______.
19.如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味.图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，分米，求拱门所在圆半径的长.
图1 图2
20.下面是小宁设计的“作三角形的高”的尺规作图过程.
已知：.
求作：，垂足为D.
作法：如图所示，
①分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
②作直线PQ，交AC于点O；
③以点O为圆心，OA长为半径作圆，交线段BC于点D（点D不与点C重合），连接AD.
所以线段AD就是所求作的高.
根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：，___①___，
∴点P、Q都在线段AC的垂直平分线上，
∴直线PQ为线段AC的垂直平分线，
∴O为AC中点.
∵AC为直径，与线段BC交于点D，
∵∠ADC=___②___°.（___③___）（填推理的依据）
.
21.第十七届北京国际茶业及茶艺博览会于2024年9月6日至9日在北京全国农业展览馆举办，展览馆工作人员利用一边靠墙（墙长26米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为300平方米的封闭型长方形等候区，如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳48米.请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？
22.已知二次函数的y与x的部分对应值如表：
（1）求这个二次函数表达式；
（2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象；
（3）当x的取值范围为______时，.
23.已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程只有一个实数根为负数，求m的取值范围.
24.如图，AB为的直径，C为上一点，D是弧BC的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD.
（1）求证：DE是的切线；
（2）连接CD，若，，求CE的长.
25.2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极，具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系xOy，如果她从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系.
图1 图2
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
根据表中数据，直接写出h的值为______，满足的二次函数关系式为：______；
（2）在（1）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：，记比赛当天入水点的水平距离为，判断与的大小关系，并说明理由.
26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴为直线.
（1）______（用含a的式子表示）；
（2）已知点，在抛物线上，若，求出a的值；
（3）已知点，，在抛物线上，比较，，的大小，并说明理由.
27.如图，中，，，点D在AB上（不与A，B重合），取AD的中点F，连结CD，CF，将线段CD绕点C顺时针旋转得到线段CE，连结AE，BE.
（1）依题意，请补全图形；
（2）判断BE与CF的数量关系，并证明；
（3）当，时，设BE与CF相交于点H，则点D在AB上运动的过程中，线段AH的最小值为______.
28.在平面直角坐标系xOy中，设的半径为r，对于外一点P，给出如下定义：若上存在点M，使点P绕点M逆时针旋转后的对应点Q落在的内部或上，则称点P是点M关于的“逆转点”.
备用图
（1）如图，当，时，
①点，，中，点______是点M关于的“逆转点”；
②若点P是点M关于的“逆转点”，则点P的横坐标的最大值是______；
（2）当时，已知点P是直线上一点，记点P的横坐标为t，当点P是点M关于的“逆转点”时，求出t的取值范围.考生须知
1.本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共18页；其中第Ⅰ卷2页，第
Ⅱ卷8页，答题卡8页。全卷共三大题，28道小题。
2.本试卷满分100分，考试时间120分钟。
3.在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、
考号、座位号。
4.考试结束，将答题卡交回。
x
0
0.25
0.5
0.75
1
y
1.31
3
春
夏
秋
冬
小元
9
5
6
8
小聪
7
7
9
3
x
…
1
3
…
y
…
0
1
0
…
水平距离x/m
3
h
4
4.5
竖直高度y/m
10
11.25
10
6.25