新高考数学考前考点冲刺精练卷59《二项式定理》（2份，原卷版+教师版）

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一、选择题
(x＋eq \f(1,x))6的展开式中，含x4项的系数为( )
A.4 B.6 C.10 D.15
【答案解析】答案为：B
解析：(x＋eq \f(1,x))6的展开式通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)·x6﹣k·(eq \f(1,x))k＝Ceq \\al(k,6)·x6﹣2k，令6﹣2k＝4，解得k＝1，
因此，展开式中含x4项的系数为Ceq \\al(1,6)＝6.
(x2﹣x)(1＋x)6的展开式中x3项的系数为( )
A.﹣9 B.9 C.﹣21 D.21
【答案解析】答案为：A
解析：展开式中x3项的系数为Ceq \\al(1,6)﹣Ceq \\al(2,6)＝﹣9.
已知正整数n≥7，若(x﹣eq \f(1,x))(1﹣x)n的展开式中不含x5的项，则n的值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案解析】答案为：D
解析：(1﹣x)n的二项展开式中第k＋1项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)(﹣1)kxk，又因为(x﹣eq \f(1,x))(1﹣x)n＝x(1﹣x)n﹣eq \f(1,x)(1﹣x)n的展开式不含x5的项，所以xCeq \\al(4,n)(﹣1)4x4﹣eq \f(1,x)Ceq \\al(6,n)(﹣1)6x6＝0，Ceq \\al(4,n)x5﹣Ceq \\al(6,n)x5＝0，即Ceq \\al(4,n)＝Ceq \\al(6,n)，所以n＝10.
在(x2＋2x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A.60 B.30 C.15 D.12
【答案解析】答案为：A
解析：由(x2＋2x＋y)5＝[(x2＋2x)＋y]5，由通项公式可得Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)(x2＋2x)5﹣kyk，∵要求x5y2的系数，故k＝2，此时(x2＋2x)3＝x3·(x＋2)3，其对应x5的系数为Ceq \\al(1,3)21＝6.∴x5y2的系数为Ceq \\al(2,5)×6＝60.
(1﹣eq \f(1,x2))(1＋2x)5的展开式中，含x3的项的系数是( )
A.﹣112 B.﹣48 C.48 D.112
【答案解析】答案为：C
解析：由(1﹣eq \f(1,x2))(1＋2x)5＝(1＋2x)5﹣eq \f(1,x2)(1＋2x)5，(1＋2x)5展开式的通项公式为Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)(2x)k＝2kCeq \\al(k,5)xk，其中k＝0,1,2,3,4,5，(1＋2x)5展开式中含x3项的系数为23Ceq \\al(3,5)＝80，eq \f(1,x2)(1＋2x)5展开式中含x3项的系数为25Ceq \\al(5,5)＝32，所以(1﹣eq \f(1,x2))(1＋2x)5的展开式中，含x3的项的系数为80﹣32＝48.
已知(2x﹣1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|等于( )
A.1 B.243 C.121 D.122
【答案解析】答案为：B
解析：令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①
令x＝﹣1，得﹣a5＋a4﹣a3＋a2﹣a1＋a0＝﹣243，②
①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝﹣242，即a4＋a2＋a0＝﹣121.
①﹣②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.
所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.
设a∈Z，且0≤a≤13，若512 021＋a能被13整除，则a等于( )
A.0 B.1 C.11 D.12
【答案解析】答案为：B
解析：因为a∈Z，且0≤a≤13，所以512 021＋a＝(52﹣1)2 021＋a＝Ceq \\al(0,2 021)522 021﹣Ceq \\al(1,2 021)522 020＋Ceq \\al(2,2 021)522 019﹣…＋Ceq \\al(2 020,2 021)52﹣Ceq \\al(2 021,2 021)＋a，因为512 021＋a能被13整除，结合选项，所以﹣Ceq \\al(2 021,2 021)＋a＝﹣1＋a能被13整除，所以a＝1.
在n的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是( )
A.eq \f(55,2) B.﹣eq \f(55,2) C.﹣28 D.28
【答案解析】答案为：B
解析：展开式中，只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以n＝12，展开式的通项为若为常数项，则12﹣eq \f(4,3)k＝0，所以k＝9 ，得常数项为T10＝Ceq \\al(9,12)(﹣1)9(eq \f(1,2))12﹣9＝﹣eq \f(220,8)＝﹣eq \f(55,2).
二、多选题
(多选)在()n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则( )
A.二项式系数和为64 B.各项系数和为64
C.常数项为﹣135 D.常数项为135
【答案解析】答案为：ABD
解析：在()n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，令x＝1，得各项系数和为2n，二项式系数和为2n，则2×2n＝128，得n＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B正确；
()6展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)·(3x)6﹣k·k＝，令6﹣eq \f(3,2)k＝0，得k＝4，因此展开式中的常数项为T5＝Ceq \\al(4,6)·(﹣1)4·32＝135.故D正确.
(多选)已知(1﹣2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022x2 022，下列命题中正确的是( )
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 022
B.展开式中所有奇次项系数的和为eq \f(32 022－1,2)
C.展开式中所有偶次项系数的和为eq \f(32 022＋1,2)
D.eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋eq \f(a3,23)＋…＋eq \f(a2 022,22 022)＝﹣1
【答案解析】答案为：ACD
解析：选项A，由二项式知，Ceq \\al(0,2 022)＋Ceq \\al(1,2 022)＋…＋Ceq \\al(2 022,2 022)＝(1＋1)2 022＝22 022，A正确；
当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 022＝1，
当x＝﹣1时，有a0﹣a1＋a2﹣a3＋…﹣a2 021＋a2 022＝32 022，
选项B，由上可得a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝eq \f(1－32 022,2)，B错误；
选项C，由上可得a0＋a2＋a4＋…＋a2 022＝eq \f(32 022＋1,2)，C正确；
选项D，令x＝eq \f(1,2)可得a0＋eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋eq \f(a3,23)＋…＋eq \f(a2 022,22 022)＝0，
又a0＝1，所以eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋eq \f(a3,23)＋…＋eq \f(a2 022,22 022)＝﹣1，D正确.
(多选)已知(x﹣3)8＝a0＋a1(x﹣2)＋a2(x﹣2)2＋…＋a8(x﹣2)8，则下列结论正确的有( )
A.a0＝1 B.a6＝﹣28
C.eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a8,28)＝﹣eq \f(255,256) D.a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝128
【答案解析】答案为：ACD
解析：对于A，取x＝2，得a0＝1，A正确；
对于B，(x﹣3)8＝[﹣1＋(x﹣2)]8展开式中第7项为Ceq \\al(6,8)(﹣1)2(x﹣2)6＝28(x﹣2)6，
即a6＝28，B不正确；
对于C，取x＝eq \f(5,2)，得a0＋eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a8,28)＝(eq \f(5,2)﹣3)8＝eq \f(1,256)，则eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a8,28)＝eq \f(1,256)﹣a0＝﹣eq \f(255,256)，
C正确；
对于D，取x＝3，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7＋a8＝0，
取x＝1，得a0﹣a1＋a2﹣a3＋…﹣a7＋a8＝(﹣2)8＝256，两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝256，即a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝128，D正确.
(多选)在(eq \f(2,x)﹣x)6的展开式中，下列说法正确的是( )
A.常数项为160
B.第4项的二项式系数最大
C.第3项的系数最大
D.所有项的系数和为64
【答案解析】答案为：BC
解析：展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)·(eq \f(2,x))6﹣k·(﹣x)k＝26﹣k(﹣1)k·Ceq \\al(k,6)x2k﹣6，由2k﹣6＝0，得k＝3，所以常数项为23(﹣1)3Ceq \\al(3,6)＝﹣160，A错误；展开式共有7项，所以第4项二项式系数最大，B正确；第3项的系数最大，C正确；令x＝1，得(eq \f(2,x)﹣x)6＝1，所有项的系数和为1，D错误.
三、填空题
(x3﹣eq \f(1,x))4的展开式中常数项为________.
【答案解析】答案为：﹣4
解析：(x3﹣eq \f(1,x))4的展开式的通项Tk＋1＝Ceq \\al(k,4)(x3)4﹣k·(﹣eq \f(1,x))k＝(﹣1)kCeq \\al(k,4)x12﹣4k，令k＝3得常数项为T4＝(﹣1)3Ceq \\al(3,4)＝﹣4.
(y﹣)6的展开式中二项式系数最大的项为第________项，系数最大的项为________.
【答案解析】答案为：4 240x﹣8y2
解析：因为(y﹣)6的展开式中二项式系数的最大值为Ceq \\al(3,6)，所以二项式系数最大的项为第4项.因为(y﹣)6的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)·y6﹣k(﹣)k＝Ceq \\al(k,6)·(﹣2)kx﹣2ky6﹣k，所以展开式中系数最大的项为奇数项.展开式中第1,3,5,7项的系数分别为Ceq \\al(0,6)·(﹣2)0，Ceq \\al(2,6)·(﹣2)2，Ceq \\al(4,6)·(﹣2)4，Ceq \\al(6,6)·(﹣2)6，即1,60,240,64，所以展开式中系数最大的项为240x﹣8y2.
在(2x3＋eq \f(1,x))6的展开式中，x6的系数是________.
【答案解析】答案为：160
解析：(2x3＋eq \f(1,x))6的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)(2x3)6﹣k·(eq \f(1,x))k＝26﹣kCeq \\al(k,6)·x18﹣4k，令18﹣4k＝6，解得k＝3，所以x6的系数是23Ceq \\al(3,6)＝160.
已知(x﹣eq \f(2,x))n的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中x3项的系数是________.
【答案解析】答案为：84.
解析：依题意，2n＝128，解得n＝7，(x﹣eq \f(2,x))7的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,7)x7﹣k·(﹣eq \f(2,x))k＝(﹣2)kCeq \\al(k,7)x7﹣2k(k∈N，k≤7)，由7﹣2k＝3得k＝2，所以所求展开式中x3项的系数是(﹣2)2Ceq \\al(2,7)＝4×eq \f(7×6,2×1)＝84.
若(x＋)n的展开式中共有7项，则常数项为________(用数字作答).
【答案解析】答案为：240.
解析：因为(x＋)n的展开式中共有7项，所以n＋1＝7，可得n＝6，
所以(x＋)6展开式的通项为Tk＋1＝ SKIPIF 1 < 0 错误！未找到引用源。
令6﹣eq \f(3,2)k＝0，可得k＝4，所以常数项为Ceq \\al(4,6)24＝15×16＝240.
已知多项式(x﹣1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________，a2＋a3＋a4＝________.
【答案解析】答案为：5 10
解析：(x﹣1)3展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,3)x3﹣r·(﹣1)r，(x＋1)4展开式的通项Tk＋1＝Ceq \\al(k,4)x4﹣k，则a1＝Ceq \\al(0,3)＋Ceq \\al(1,4)＝1＋4＝5；a2＝Ceq \\al(1,3)(﹣1)1＋Ceq \\al(2,4)＝3；a3＝Ceq \\al(2,3)(﹣1)2＋Ceq \\al(3,4)＝7；a4＝Ceq \\al(3,3)(﹣1)3＋Ceq \\al(4,4)＝0.所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.
已知多项式(1﹣2x)＋(1＋x＋x2)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a1＝______，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝______.
【答案解析】答案为：1 23
解析：根据题意，令x＝1，则(1﹣2)＋(1＋1＋1)3＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＝26，令x＝0，a0＝1＋1＝2，由于(1﹣2x)＋(1＋x＋x2)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，a1为展开式中x项的系数，考虑一次项系数a1＝﹣2＋Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,2)×12＝1，所以a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26﹣1﹣2＝23.
设(x﹣1)(2＋x)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＝_______，2a2＋3a3＋4a4＝_______.
【答案解析】答案为：﹣4 31
解析：因为x·Ceq \\al(0,3)·23·x0﹣Ceq \\al(1,3)·22·x1＝﹣4x，所以a1＝﹣4，
对所给等式，两边对x求导，可得(2＋x)3＋3(x﹣1)(2＋x)2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3，
令x＝1，得27＝a1＋2a2＋3a3＋4a4，所以2a2＋3a3＋4a4＝31.