广西平果市铝城中学2024-2025学年高二上学期10月份月考数学测试卷

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1．C【详解】，
所以该圆的圆心是，半径.故选：C
2．A【详解】根据题意，向量，2，，，x，，且，
则设，即，x，，2，，则有，则，，
则，，，故；故选：A．
3．B【详解】依题意，与点的距离为1的直线始终与以点为圆心，1为半径的圆相切，而此直线与圆相切，因此该直线是圆与圆的公切线，又圆的圆心，半径为2，显然，所以两圆外切，它们有3条公切线，即所求切线条数是3.故选：B
4．C【详解】，，
设边上的高的斜率为，则，故选：C
5．B【详解】把（1）转化为，圆心，半径，则，，
圆的方程为（2），（1）（2），得．故选：B.
6．C【详解】由图形可知，点在正方体的上底面上，设正方体的棱长为1，则点的坐标为（1,1,1），则与共线的向量的坐标可以是，故选：C
7．D【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，
设平面的法向量为，
则，令，得，所以，
故，设直线与平面所成角为，
则，所以.故选：D
8．C【详解】因为，分别是，的中点，所以，，
所以.
故选：C
9．BD【详解】因为，，，
所以，所以不成立，故A错误；
因为，所以，故B正确；
因为，同时显然，不共线，所以为锐角，故C错误；
在方向上的投影向量为，故D正确.
故选：BD．
10．ABC
【详解】对于A，，令，解得，故直线过定点，A正确；
对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，B正确；
对于C，直线即为，，直线为，故两平行直线间的距离为，C正确；
对于D，若经过定点的直线垂直于x轴时，不能用方程表示，D错误.
故选：ABC
11．BCD
【详解】以为原点，，，所在直线分别为x轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由正方体棱长为，则，，，，.
对于，，设，，
所以，，，
，
所以时，，故A错误；
对于B，，则是上靠近的三等分点，，
取上靠近的三等分点，则，.
显然与平面的法向量垂直，因此平面，
所以截面与平面的交线与平行，作交于点，
设，则，由，可得，解得，
则与重合，因此取中点，易得，所以截面为，且为等腰梯形，
，，，
梯形的高为，截面面积为，故B正确；对于C，过作的垂线，垂足为，连接，则为所求角．
设，则，由余弦定理知，.
因为为线段上的动点，所以.
当时，.
，
当时，，，所以，故，C正确；
对于D，，，，，，，
则，，同理.
所以是平面的一个法向量，即平面，
设垂足为，则，
是正方体的外接球的直径，
因此正方体绕旋转角度后与其自身重合，至少旋转，故D正确．
故选：BCD．
12．
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心，半径为，
两圆有公共点，则，
即，解得或，
故实数m的取值范围是
故答案为：
13．
【详解】向量和向量都是某直线的方向向量，
所以向量与向量共线，所以，解得.故答案为：.
14．0
【详解】因为，所以四边形为平行四边形，
所以，所以直线与直线所成角和直线与直线所成的角相等，
又因为，所以
，
所以直线与直线垂直，即直线与直线所成角的余弦值为0.
故答案为：0.

15．
【详解】（1）将点代入圆的方程，可得，
即，即，故或，
又，故；
（2）由，故，
圆心为，半径为，
又直线过原点，当直线斜率不存在时，直线方程为，
代入圆方程，可得，解得或，
此时有，不符合要求；
当直线斜率存在时，设直线方程为，
则圆心到直线的距离为，
由垂径定理可得，故有，
即，整理可得，即，故或，
综上所述，或，故直线方程为或.
16．
【详解】（1）因为 平面， 且平面，所以 .
在正方形 中，.
而, 平面，
故 平面.
（2）以为坐标原点，分别以为轴， 建立如图所示空间直角坐标系.
设 ，则，
从而.
设平面 的法向量为，
，令 ， 则.
设直线 与平面所成的角为，则，
故直线 与平面的所成角的正弦值为.
17．
【详解】（1）由题意知，圆的圆心坐标为(-1，2)，半径为2，
表示圆上的点（x，y）与点A（4，0）连线的斜率，
设圆的切线斜率为k，圆的切线方程为y﹣0＝k（x﹣4），
即kx﹣y﹣4k＝0，由2，k＝0或，
结合图形知，的最大值为0，最小值为.
（2）令2x+y＝t，即y＝﹣2x+t，故t表示过圆上的点且斜率等于﹣2的直线在y轴上的截距，
当直线2x+y＝t和圆相切时，有2，∴t＝±，
故2x+y的最大值为，最小值为.
18．
【详解】（1）因为平面，平面，平面，
所以，，又，
∴以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，.
设平面的一个法向量为，
则，则且，
令，则，，
∵，∴平面.
（2）由（1）知平面的一个法向量为，
设，则，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，得，，得，
所以，
所以，解得，即长为.
19．
【详解】（1）证明：中，，是中点，，
且．
在中，连接，，
且，
在中，，，，
，故，平面，，
平面；
（2）解：取中点，连接、、，
中，、分别为、中点，
，且．
在中，、分别为、的中点，
且．
异面直线与所成角等于（或其补角）．
又是斜边上的中线，，
等腰中；
（3）解：因为平面，，以为坐标原点建立
如图的空间直角坐标系，设平面的法向量为，，，
，
，，
则，即，
令，得．
又，
点到平面的距离．

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
C
B
C
D
C
BD
ABC
题号
11









答案
BCD