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贵州省黔东南州榕江县乐里中学2024-2025学年 九年级上学期期中质量监测数学试卷
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这是一份贵州省黔东南州榕江县乐里中学2024-2025学年 九年级上学期期中质量监测数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
2.下列方程一定属于一元二次方程的是（ ）
A.B.C.D.
3.平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A.B.C.D.
4.一元二次方程的根是（ ）
A.B.C.，D.，
5.二次函数的顶点坐标为（ ）
A.B.C.D.
6.一元二次方程的根的情况是（ ）
A.有一个实数根B.有两个相等的实数根
C.有两个不等的实数根D.无实数根
7.将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A.B.
C.D.
8.某品牌手机三月份销售量为400万部，四、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率.设四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率为，根据题意可列方程为（ ）
A.B.
C.D.
9.如图，将绕点顺时针旋转到处，此时点刚好落在边上，且，若，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
10.已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
11.如图是一次函数的图象，则二次函数的图象可能为（ ）
ABCD
12.等腰三角形的一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ）
A.8B.9C.8或9D.12
二、填空题（每小题4分，共16分）
13.二次函数的图象开口方向是________（填“向上”或“向下”）.
14.已知关于的方程的一根为，则方程的另一根为________.
15.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为________.
16.如图，在中，，，，是直角边上一动点（点不与点，重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，则线段的最小值是________.
三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分12分）用适当的方法解下列方程：
（1）；（2）.
18.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，已知点，.
（1）画出关于原点对称的；
（2）画出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的对应点的坐标.
19.（本题满分10分）已知关于的一元二次方程.
（1）求证：无论取何值，方程总有两个不等的实数根；
（2）若方程的两个实数根为，，且，求的值.
20.（本题满分10分）如图，抛物线与直线相交于点和点.
（1）求和的值；
（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集.
21.（本题满分10分）如图，正方形的边长为2，是正方形内一点，绕点顺时针旋转到的位置，点的对应点是点，点的对应点是点.
（1）求旋转角的度数；
（2）若，，求线段的长.
22.（本题满分10分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，设降价元.
（1）若降价后的销售量为件，则与之间的函数解析式为________________；（不要求写出自变量的取值范围）
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
23.（本题满分12分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形（如图①），她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面.建立如图②所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中（单位：）是水柱距喷水头的水平距离，（单位：）是水柱距地面的高度.
（1）求抛物线的解析式；
（2）小红站在水柱正下方且距喷水头水平距离处，身高的哥哥在水柱下方走动，当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，求小红与哥哥的水平距离.
24.（本题满分12分）已知二次函数.
（1）若二次函数的图象经过点，求二次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，当时，求二次函数的最大值与最小值；
（3）在（1）的条件下，若点，在二次函数的图象上，且位于对称轴的两侧，当时，求的取值范围.
25.（本题满分12分）【观察猜想】
（1）如图①，在和中，，，，点在线段上，连接，，则和的数量关系是________________.
【探索证明】
（2）如图②，将绕点顺时针旋转，点落在线段上，其他条件不变，此时的度数是________，探究线段，，的关系，写出探究过程.
【拓展应用】
（3）如图③，是等腰直角三角形，，为外一点，且，连接，若，，请求出线段的长.
答案：
1.D 2.C 3.C 4.B 5.C 6.D 7.C 8.D 9.A 10.C 11.C 12.B 13.向上 14.
15.， 16.2
17.解：（1），. （2），.
18.解：（1）如图，即为所求.
（2）如图，即为所求，点的坐标为.
19.（1）证明：因为，
所以无论取何值，方程总有两个不等的实数根.
（2）解：由根与系数的关系，得，.
由，得，解得.
20.解：（1）因为抛物线经过点，
所以，所以.
因为直线经过点，
所以，所以.
（2）由（1）知抛物线的解析式为，直线的解析式为.联立解得或
所以点的坐标为.
结合图象可知，不等式的解集为.
21.解：（1）由题意，得旋转角为.四边形为正方形，旋转角为.
（2）正方形的边长为2，.在中，，，..
由题意可得，.
22.（1）
（2）解：依题意，得.
整理，得.
解得，.
当时，，，符合题意.
当时，，，不符合题意，舍去.
答：当每件商品降价10元时，该商品每天销售利润为1200元.
23.解：（1）由题意知，抛物线顶点为，所以抛物线的解析式为.
将代入，得，解得.
所以抛物线的解析式为.
（2）当时，，解得，，
所以小红与哥哥的水平距离为或.
答：当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，小红与哥哥的水平距离是或.
24.解：（1）因为二次函数的图象经过点，
所以.解得.
所以二次函数的解析式为.
（2）因为，，
所以当时，函数有最小值.
当时，函数有最大值，是，
所以当时，二次函数的最大值是5，最小值是.
（3）因为，所以二次函数的图象开口向上.
由（1）可知二次函数图象的对称轴为直线.
若点在直线的左侧，点在直线的右侧.
由题意可得
所以.
若点在直线的左侧，点在直线的右侧.
由题意可得
此不等式组无解.综上所述，的取值范围为.
25（1）
（2）解：（2）.探究过程如下：
，.
又，，.
，.
，，，
，.
.
..
（3）（3）如图③，过点作，且，连接，，
，，.
.
，，.
.
，.
.易得.
一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
2.下列方程一定属于一元二次方程的是（ ）
A.B.C.D.
3.平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A.B.C.D.
4.一元二次方程的根是（ ）
A.B.C.，D.，
5.二次函数的顶点坐标为（ ）
A.B.C.D.
6.一元二次方程的根的情况是（ ）
A.有一个实数根B.有两个相等的实数根
C.有两个不等的实数根D.无实数根
7.将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A.B.
C.D.
8.某品牌手机三月份销售量为400万部，四、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率.设四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率为，根据题意可列方程为（ ）
A.B.
C.D.
9.如图，将绕点顺时针旋转到处，此时点刚好落在边上，且，若，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
10.已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
11.如图是一次函数的图象，则二次函数的图象可能为（ ）
ABCD
12.等腰三角形的一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ）
A.8B.9C.8或9D.12
二、填空题（每小题4分，共16分）
13.二次函数的图象开口方向是________（填“向上”或“向下”）.
14.已知关于的方程的一根为，则方程的另一根为________.
15.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为________.
16.如图，在中，，，，是直角边上一动点（点不与点，重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，则线段的最小值是________.
三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分12分）用适当的方法解下列方程：
（1）；（2）.
18.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，已知点，.
（1）画出关于原点对称的；
（2）画出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的对应点的坐标.
19.（本题满分10分）已知关于的一元二次方程.
（1）求证：无论取何值，方程总有两个不等的实数根；
（2）若方程的两个实数根为，，且，求的值.
20.（本题满分10分）如图，抛物线与直线相交于点和点.
（1）求和的值；
（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集.
21.（本题满分10分）如图，正方形的边长为2，是正方形内一点，绕点顺时针旋转到的位置，点的对应点是点，点的对应点是点.
（1）求旋转角的度数；
（2）若，，求线段的长.
22.（本题满分10分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，设降价元.
（1）若降价后的销售量为件，则与之间的函数解析式为________________；（不要求写出自变量的取值范围）
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
23.（本题满分12分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形（如图①），她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面.建立如图②所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中（单位：）是水柱距喷水头的水平距离，（单位：）是水柱距地面的高度.
（1）求抛物线的解析式；
（2）小红站在水柱正下方且距喷水头水平距离处，身高的哥哥在水柱下方走动，当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，求小红与哥哥的水平距离.
24.（本题满分12分）已知二次函数.
（1）若二次函数的图象经过点，求二次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，当时，求二次函数的最大值与最小值；
（3）在（1）的条件下，若点，在二次函数的图象上，且位于对称轴的两侧，当时，求的取值范围.
25.（本题满分12分）【观察猜想】
（1）如图①，在和中，，，，点在线段上，连接，，则和的数量关系是________________.
【探索证明】
（2）如图②，将绕点顺时针旋转，点落在线段上，其他条件不变，此时的度数是________，探究线段，，的关系，写出探究过程.
【拓展应用】
（3）如图③，是等腰直角三角形，，为外一点，且，连接，若，，请求出线段的长.
答案：
1.D 2.C 3.C 4.B 5.C 6.D 7.C 8.D 9.A 10.C 11.C 12.B 13.向上 14.
15.， 16.2
17.解：（1），. （2），.
18.解：（1）如图，即为所求.
（2）如图，即为所求，点的坐标为.
19.（1）证明：因为，
所以无论取何值，方程总有两个不等的实数根.
（2）解：由根与系数的关系，得，.
由，得，解得.
20.解：（1）因为抛物线经过点，
所以，所以.
因为直线经过点，
所以，所以.
（2）由（1）知抛物线的解析式为，直线的解析式为.联立解得或
所以点的坐标为.
结合图象可知，不等式的解集为.
21.解：（1）由题意，得旋转角为.四边形为正方形，旋转角为.
（2）正方形的边长为2，.在中，，，..
由题意可得，.
22.（1）
（2）解：依题意，得.
整理，得.
解得，.
当时，，，符合题意.
当时，，，不符合题意，舍去.
答：当每件商品降价10元时，该商品每天销售利润为1200元.
23.解：（1）由题意知，抛物线顶点为，所以抛物线的解析式为.
将代入，得，解得.
所以抛物线的解析式为.
（2）当时，，解得，，
所以小红与哥哥的水平距离为或.
答：当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，小红与哥哥的水平距离是或.
24.解：（1）因为二次函数的图象经过点，
所以.解得.
所以二次函数的解析式为.
（2）因为，，
所以当时，函数有最小值.
当时，函数有最大值，是，
所以当时，二次函数的最大值是5，最小值是.
（3）因为，所以二次函数的图象开口向上.
由（1）可知二次函数图象的对称轴为直线.
若点在直线的左侧，点在直线的右侧.
由题意可得
所以.
若点在直线的左侧，点在直线的右侧.
由题意可得
此不等式组无解.综上所述，的取值范围为.
25（1）
（2）解：（2）.探究过程如下：
，.
又，，.
，.
，，，
，.
.
..
（3）（3）如图③，过点作，且，连接，，
，，.
.
，，.
.
，.
.易得.
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