初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）第四章 基本平面图形3 多边形和圆的初步认识课后练习题

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1.掌握多边形和正多边形的定义；
2.掌握多边形的角平分线的规律；
3.掌握圆的相关计算问题.
知识点01 多边形
三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形.
【说明】（1）内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角.
（2）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
（3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
（4）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，所以正多边形同时具有各边相等，各角相等的性质.
知识点02 多边形的对角线
知识点03 圆
（1）圆上任意两点 A，B 间的部分叫做圆弧，简称弧，记作 AB，读作“圆弧 AB ”或“弧 AB ”；
（2）圆的周长公式：；圆的面积公式：.
题型01 多边形的概念与分类
【典例1】（2023秋·全国·八年级专题练习）下列图形中，不是多边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据多边形的定义，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、该图形是由4条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意；
B、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意；
C、该图形是由线段、曲线首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它不是多边形．故本选项符合题意；
D、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形，熟练掌握由条线段首尾顺次连接而成的封闭图形是多边形是解题的关键．
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】A
【分析】根据多边形定义，逐个验证即可得到答案．
【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体，
属于多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个，
故选：A．
【点睛】本题考查多边形定义，熟记多边形定义是解决问题的关键．
【变式2】（2023春·七年级单元测试）下列判断：（1）各边长相等的多边形是正多边形；（2）各角都相等的多边形是正多边形；（3）等边三角形是正多边形：（4）长方形是正多边形．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】各个角都相等，各个边都相等的多边形叫做正多边形．依据正多边形的概念进行判断即可．
【详解】解：（1）菱形各边相等，但不是正四边形，故说法错误；
（2）长方形各角都相等，但不是正四边形，故说法错误；
（3）等边三角形三条边都相等，三个角都相等，是正多边形，故说法正确；
（4）长方形的四个角相等，但长与宽不一定相等，所以不一定是正多边形，故说法错误．
故正确的有：1个．
故说：A．
【点睛】本题考查了正多边形的概念，各个角都相等，各个边都相等的多边形叫做正多边形．
题型02 多边形对角线的条数问题
【典例2】（2023秋·八年级课时练习）已知过多边形的某一个顶点可以作2023条对角线（不是一共有2023条对角线），则这个多边形的边数是（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
【答案】D
【分析】根据从n边形的一个顶点出发可以引条对角线进行求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n．
根据题意，得，
解得．
答案：D．
【点睛】本题主要考查了多边形对角线问题，熟知从n边形的一个顶点出发可以引条对角线是解题的关键．
【变式1】（2023春·山东淄博·六年级统考期中）从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形，则的值为( )
A．9B．8C．6D．5
【答案】B
【分析】边形从一个顶点出发可引出条对角线，它们把边形分成个三角形，由此即可计算．
【详解】解：从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形，
，，
的值为．
故选：B．
【点睛】本题考查多边形的对角线，关键是掌握：边形从一个顶点出发可引出条对角线，把边形分成个三角形．
【变式2】（2022·广东深圳·坪山中学校考模拟预测）多边形的对角线共有20条，则下列方程可以求出多边形边数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由边形从一个顶点出发可引出条对角线，再根据边形对角线的总条数为，即可求出结果．
【详解】解：设多边形边数为，
从一个顶点出发可引出条对角线，
再根据边形对角线的总条数为，
即，
，
故答案选：D．
【点睛】本题考查了多边形的对角线公式，根据多边形对角线公式列等式是解答本题的关键．
题型03 对角线分成三角形个数问题
【典例3】（2021秋·陕西渭南·八年级校考阶段练习）从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】设这个多边形的边数是边形，根据从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形，由此可得，进行计算即可得到答案
【详解】解：设这个多边形的边数是边形，
根据题意可得：，
解得：，
这个多边形的边数是7，
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形，解题的关键是掌握从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形．
【变式1】（2023秋·八年级课时练习）要使得一个多边形具有稳定性，从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点转化得到2023个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．2021B．2025C．2024D．2026
【答案】C
【分析】可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解．
【详解】解：根据多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数多边形的边数，根据题干得到2023个三角形，则这个多边形的边数为．
故选：C．
【点睛】本题考查了从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数=多边形的边数-1这一性质，熟练掌握本性质是解题的关键．
【变式2】（2023秋·八年级课时练习）（1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形，四边形共有 条对角线；
（2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形，五边形共有 条对角线；
（3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形，六边形共有 条对角线；
（4）从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形，n边形共有 条对角线．
【答案】 1 2 2 2 3 5 3 4 9
【分析】画出图形得到各图形从一个顶点出发引的对角线的条数、三角形的个数及对角线的总条数，进而结合规律，得到n边形的结果．
【详解】解：画出图形观察图形可得：

（1）从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形，四边形共有2条对角线；
故答案为：1，2，2；
（2）从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形，五边形共有5条对角线；
故答案为：2，3，5；
（3）从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形，六边形共有9条对角线；
故答案为：3，4，9；
（4）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将n边形分成个三角形，n边形共有条对角线．
故答案为：，，．
【点睛】此题考查规律型：图形的变化，解题关键在于找到其规律．
题型04 用七巧板拼图形
【典例4】（2023秋·湖南岳阳·七年级统考开学考试）用边长为的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是（ ）．

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据图示可知，“小天鹅”图案是由边长是1分米的正方形切拼而成，所以“小天鹅”图案的面积等于这个正方形的面积．根据阴影部分的面积占整个正方形面积的分率求解即可．
【详解】解：如图：

（平方分米）
答：阴影部分的面积为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查组合图形的面积，关键是分清阴影部分与整个图形的关系．
【变式1】（2023春·山东青岛·七年级统考期末）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．

【答案】/
【分析】根据七巧板中各部分面积的关系可得小三角形的面积为大正方形的，平行四边形的面积以为小三角形的面积的2倍，即可求解．
【详解】∵图2是由边长为的正方形分割制作的七巧板拼摆成的，
∴大正方形面积，
由图形可知，阴影部分面积为小三角形的面积与平行四边形的面积之和，即
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了七巧板，正方形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键．
【变式2】（2023春·江西鹰潭·九年级校考阶段练习）七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图所示的两幅图是由同一个七巧板拼成的．已知七巧板拼成的大正方形（如图）的边长为，若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积记为．则 ．

【答案】
【分析】利用七巧板的各边之间的关系即可求出，，，的长，观察图形即可求出阴影部分面积．
【详解】由图可知“小狐狸”图案中阴影部分面积为图形①②③④的面积和，

∵正方形的边长为，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了七巧板的知识，熟练掌握七巧板各边的关系是解题的关键．
题型05 平面镶嵌
【典例5】（2023春·广东佛山·八年级校考期末）在平面图形正三角形、正六边形、正四边形、正五边形中，能单独镶嵌平面的有（ ）种图形．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】分别求出等腰三角形的内角和，各个正多边形的每个内角的度数，判断能否被360°整除即可作出判断．
【详解】解：正三角形的每个内角是，能被整除，能镶嵌平面；
正方形的每个内角是，能被整除，能镶嵌平面；
正五边形每个内角是：，不能被整除，不能镶嵌平面；
正六边形每个内角为，能被整除，能镶嵌平面，
∴可以单独镶嵌平面的有3个，
故选：C
【点睛】本题考查了一种单独镶嵌平面的正多边形，能单独镶嵌应符合一个内角度数能被整除．
【变式1】（2023秋·全国·八年级专题练习）小明家住黄山市，小明的爸爸刚在市区买了一套住房，带着小明去选地砖准备装修，看着满目美丽的正三角形，正方形、正六边形、正八边形地砖，不知道选哪种好，但是爸爸告诉小明：有一种地砖是不能单独铺满地面的，必须与另外一种形状的地砖混合使用，让小明指出这种地砖，小明略加思考便选出来了，小明选择的地砖的形状是（ ）
A．正三角形B．正方形C．正八边形D．正六边形
【答案】C
【分析】根据正多边形的镶嵌应符合一个内角能整除进行判断即可．
【详解】解：A、正三角形的每个内角是，能整除，能密铺，故A不符合题意;
B、正方形的每个内角是，4个能密铺，故B不符合题意;
C、正八边形每个内角是，不能整除，不能密铺，故C符合题意;
D、正六边形的每个内角是，能整除，能密铺，故D不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了正多边形的镶嵌，能正确求出正多边形的一个内角是解决本题的关键．
【变式2】（2020秋·广东惠州·八年级惠州市第八中学校联考阶段练习）如图，张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】若360°是正多边形的内角度数的整数倍，则可知这种正多边形的瓷砖可以铺满地面，从而可作出判断．
【详解】由于正三角形、正方形、正五边形、正六边形的内角分别是60°、90°、108°、120°，而360°分别是60°、90°、120°的6倍、4倍、3倍，因而正五边形不能铺满地面；
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的密铺，一种图形能够密铺，则拼在同一顶点处的几个角恰好组成一个周角．
题型06 圆的周长和面积问题
【典例6】（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ）

A．B．C．D．不能确定
【答案】C
【分析】根据图形的特征，四边形内角和为，可得四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积．
【详解】解：因为四边形内角和为，
所以四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积，
即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为．
故选：C
【点睛】本题主要考查了四边形的内角和以及圆面积公式，解答本题的关键是根据四边形的内角和为°得到四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积．
【变式1】（2023秋·四川绵阳·八年级校联考开学考试）滚铁环有助于提高人体的平衡性、肢体的协调性以及眼力，可以提高四肢活动能力．如图，直径为4分米的铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点，则 分米．

【答案】
【分析】根据铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点，可知为圆的周长，即可得出答案．
【详解】∵铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点，
∴分米
故答案为：
【点睛】本题考查圆的周长，正确理解题意，理解圆的周长的公式是解题的关键．
【变式2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明．
【答案】大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长，见解析
【分析】利用圆的周长公式分别求出大、小蚂蚁爬行的路程，然后比较即可．
【详解】解：大圆的周长，两个小圆的周长和，
∴大圆的周长＝两个小圆的周长和，
∴大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长．
【点睛】本题考查了圆的认识，圆的周长的计算，熟练掌握圆的周长公式是解题的关键．
一、单选题
1．（2023秋·全国·八年级专题练习）五边形经过一个顶点可以引（ ）条对角线．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据从一个边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是，进行计算即可．
【详解】解∶，
∴五边形经过一个顶点可以引2条对角线．
故选∶C．
【点睛】此题主要考查了多边形的对角线，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是．
2．（2023秋·河南周口·八年级校联考阶段练习）已知，一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的倍，则这个多边形的边数是( )
A．5B．9C．8D．6
【答案】D
【分析】设此多边形有条边，根据题意可得，解方程，即可求解．
【详解】解：设此多边形有条边，由题意，得
，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形对角线条数问题，熟练掌握从边形的一个顶点出发的对角线条数为条，是解题的关键．
3．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）有足够多的如下4种边长相等的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（ ）

A．①②④B．①②C．①④D．②③
【答案】D
【分析】只需要计算各个选项中的一个顶点处的角是否能组合成一个周角即可得出答案.
【详解】解：A、若有一个正三角形、两个正方形、一个正六边形，则在一个顶点处的角的和为，能铺满地面，故①②④的正多边形瓷砖图案可以进行平面镶嵌；
B、若有三个正三角形、两个正方形，则在一个顶点处的角的和为，能铺满地面，故①②的正多边形瓷砖图案可以进行平面镶嵌；
C、若有两个正三角形、两个正六边形，则在一个顶点处的角的和为，能铺满地面，故①④的正多边形瓷砖图案可以进行平面镶嵌；
D、由于正五边形的内角为，正方形的内角为，在一个顶点处不能构成一个周角，故不能铺满地面，故②③的正多边形瓷砖图案不可以进行平面镶嵌；
故选：D.
【点睛】本题考查了平面镶嵌，解决此类问题的关键是明确一个顶点处的角是否能组合成一个周角.
4．（2023秋·河南南阳·七年级校联考期末）七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先确定阴影部分的三角形在七巧板中所属的部分，再根据这个三角形与正方形边长的关系求出这个三角形的边长，便可以根据三角形的面积公式进行解答．
【详解】由图可知“一帆风顺”图中阴影部分是正方形右下角的等腰直角三角形，
这个等腰直角三角形的直角边的长度是正方形边长的一半，即为，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查图形的认识与面积的计算，解题的关键是寻找到阴影部分在图形中所属的部分，并熟悉等腰直角三角形的性质及三角形的面积公式．
5．（2023秋·重庆巫溪·八年级统考期末）我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（ ）

A．54B．44C．35D．27
【答案】C
【分析】根据一个n边形的对角线条数为进行求解即可．
【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线……
一个十边形共有条对角线，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对角线条数问题，解题的关键是熟练掌握一个n边形的对角线条数为．
二、填空题
6．（2023春·山东济南·六年级统考期末）若从边形的一个顶点出发，最多可以引5条对角线，则 ．
【答案】8
【分析】设多边形有条边，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设多边形有条边，
则，
解得．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了多边形的对角线．解题的关键是明确多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有条．
7．（2023秋·山西临汾·七年级山西省临汾市第三中学校校考期末）从十二边形的一个顶点出发，连结这个顶点与其余各顶点，可分割成 个三角形．
【答案】10
【分析】根据从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个n边形分割成 三角形的规律作答；
【详解】从n边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成个三角形，
从十二边形的一个顶点出发，连结这个顶点与其余各顶点，可分割成个三角形；
故答案为：10
【点睛】本题主要考查多边形的性质，解题关键是熟记多边形顶点数与分割成的三角形个数的关系．
8．（2023春·七年级课时练习）用三个正多边形镶嵌，已知其中两个的边数均为5，则第三个正多边形的边数为 ．
【答案】10/十
【分析】找到一个顶点处三种图形的内角度数加起来是的正多边形即可解答．
【详解】解：正五方形的一个内角度数为，
∴需要的多边形的一个内角度数为，
∴需要的多边形的一个外角度数为，
∴第三个正多边形的边数为．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
9．（2023春·山东泰安·六年级统考期中）过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成2023个三角形，则这个多边形的边数为 ．
【答案】2025
【分析】根据多边形的边数=三角形的个数+2，即可求解．
【详解】解：∵过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成2023个三角形，
∴这个多边形的边数为，
故答案为：2025．
【点睛】本题主要考查多边形的边数，理解多边形和三角形之间的联系是解题的关键．过n边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形．
10．（2023秋·江苏南京·九年级校考开学考试）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么 先到达B地

【答案】猫和老鼠同时到达
【分析】利用圆的周长公式即可求解．
【详解】解：以为直径的半圆的长是：；
设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，则，
则老鼠行走的路径长是：．
故猫和老鼠行走的路径长相同，同时到达，
故答案为：猫和老鼠同时到达．
【点睛】本题考查了圆的周长，熟练掌握其计算公式是解题的关键．
三、解答题
11．（2023春·上海·八年级专题练习）从一个多边形一边上的一点（不是顶点）出发，分别连接这个点与各个顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，请你观察下图，并完成后面的填空.
当多边形的边数是4时，可以把多边形分割成_______个三角形；
当多边形的边数是5时，可以把多边形分割成_______个三角形；
当多边形的边数是6时，可以把多边形分割成_______个三角形；
……
你能看出多边形边数与分割成的三角形的个数之间有什么规律吗？
【答案】3,4, 5,规律：多边形的边数比分割成的三角形的个数多1
【分析】由相应图形得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系的规律即可．
【详解】由图中可以看出：四边形被分为3个三角形，五边形被分为4个三角形，六边形被分成5个三角形，那么n边形被分为（n-1）个三角形．
∵n-(n-1)=1，
∴多边形的边数比分割成的三角形的个数多1.
【点睛】解决本题的难点是得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系．
12．（2023秋·全国·八年级课堂例题）（1）如图①，O为四边形内一点，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？

（2）如图②，点O在五边形的边上（不与端点重合），连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
（3）如图③，过点A作六边形的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
（4）若是任意一个n（，且n为整数）边形，上述三种情况分别可以将n边形分割成多少个三角形？
【答案】（1）4个，它与边数相等．（2）4个，它等于边数减1．（3）4个，它等于边数减2．（4）若点在n边形内部，则可以将n边形分割成n个三角形；若点在n边形的边上（不与端点重合），则可以将边形分割成个三角形；若点为边形的顶点，则可以将边形分割成个三角形．
【分析】（1）根据图形，求解即可；
（2）依据题中的图形，求解即可；
（3）依据题中的图形，求解即可；
（4）根据前面三种情况求解即可．
【详解】解：（1）由图形可得，可以得到4个三角形，它与边数相等；
（2）可以得到4个三角形，它等于边数减1；
（3）可以得到4个三角形，它等于边数减2；
（4）由前面的性质可得，若点在n边形内部，则可以将n边形分割成n个三角形；若点在n边形的边上（不与端点重合），则可以将边形分割成个三角形；若点为边形的顶点，则可以将边形分割成个三角形．
【点睛】此题考查了多边形的性质，解题的关键是理解题意，掌握多边形的有关性质．
13．（2023春·广西百色·八年级统考期末）观察探究及应用；
(1)观察下列图形并完成填空．
如图①一个四边形有2条对角线；
如图②一个五边形有5条对角线；
如图③一个六边形有______条对角线；
如图④一个七边形有______条对角线；

(2)分析探究：由凸n边形的一个顶点出发，可做______条对角线，一个凸n边形有______条对角线；
(3)应用：一个凸十二边形有______条对角线．
【答案】(1)9，
(2)，
(3)54
【分析】（1）分别通过计数可得答案；
（2）先探究从三角形到六边形的一个顶点出发作的对角线的数量，得到每种图形的对角线的总数量，再总结归纳出规律即可；
（3）把代入进行计算即可．
【详解】（1）解：如图③一个六边形有9条对角线；
如图④一个七边形有14条对角线；
（2）∵从三角形的一个顶点出发，可作0条对角线；共有0条对角线；
从四边形的一个顶点出发，可作1条对角线；共有条对角线；
从五边形的一个顶点出发，可作2条对角线；共有条对角线；
从六边形的一个顶点出发，可作3条对角线；共有条对角线；
∴由凸n边形的一个顶点出发，可做条对角线，一个凸n边形有条对角线．
（3）当时，
（条），
∴一个凸十二边形有54条对角线．
【点睛】本题考查的是凸多边形的对角线的数量的探究，掌握探究的方法并总结运用规律解决问题是关键．
14．（2023秋·江西九江·七年级统考期末）探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以作1条对角线；同样，经过B点可以作1条对角线；经过C点可以作1条对角线；经过D点可以作1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有________条对角线；
（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有________条对角线；图3共有________条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有________条对角线；（用含n的式子表示）
（4）特例验证：十边形有________对角线．
【答案】（1）2；（2）5、9；（3）；（4）35
【分析】（1）通过实际操作可得答案；
（2）通过实际操作可得答案；
（3）由图1，图2，图3的探究，再归纳总结可得答案；
（4）把代入总结出的规律进行计算即可．
【详解】解：（1）经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线．
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 5条对角线；
图3共有 9条对角线；
（3）探索归纳：
图1有2条对角线，而
图2共有 5条对角线；而
图3共有 9条对角线；而

归纳可得：
对于边形（n＞3），共有条对角线．
（4）特例验证：
当时，
十边形有对角线．
故答案为：（1）2；（2）5、9；（3）；（4）35．
【点睛】本题考查的是多边形的对角线的条数的探究，掌握“从具体到一般的探究方法，再总结并运用规律解决问题”是解本题的关键．
名称
三角形
四边形
五边形
六边形
n边形
图示
顶点
3
4
5
6
n
从一个顶点出发的对角线的条数
0
1
2
3
n-3
对角线的总条数
0
2
5
9
分割成三角形的个数
0
2
3
4
n-3